《2023年九年级数学中考专题训练圆的计算和证明含答案解析.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2023年九年级数学中考专题训练圆的计算和证明含答案解析.pdf(33页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、中考专题训练圆的计算和证明 1如图,在ABC中,ABAC,以 AB为直径作O,交 BC 于点 D,交 AC 于点 E,过点 B 作O的切线交 OD的延长线于点 F (1)求证:ABOF;(2)若4AB,1DF,求 AE 的长 2如图,AB 是O的直径,点 C 在O上,ABC的平分线与 AC相交于点 D,与O过点 A的切线相交于点 E (1)猜想EAD的形状,并证明你的猜想;(2)若8AB,6AD,求 BD 的长 3 如图所示,RtABC中ACB90,斜边 AB 与O相切于 D,直线 AC过点 O并于O相交于 E、F 两点,BC 与 DF 交于点 G,DHAC 于 H (1)求证:B2F;(2)
2、若 HE4,cosB35,求 DF 的长 4如图,O的直径2 3AB,点C为O上一点,CF为O的切线,OEAB于点O,分别交AC,CF于D,E两点 (1)求证:EDEC;(2)若30A,求图中两处(点C左侧与点C右侧)阴影部分的面积之和 5已知PA,PB分别与O相切于点A,B,C为O上一点,连接AC,BC (1)如图,若70APB,求ACB的大小;(2)如图,AE为O的直径交BC于点D,若四边形PACB是平行四边形,求EAC的大小 6如图,AB是O的直径,点 C在AB的延长线上,BDCA,CEAD,交AD的延长线于点 E (1)求证:CD与O相切:(2)若4CE,2DE,求AD的长,7如图,四
3、边形 ABCD 为平行四边形,边 AD是O的直径,O交 AB 于 F点,DE为O的切线交 BC于 E,且BEBF,BD和O交于 G点 (1)求证:四边形 ABCD 为菱形(2)若O半径52r,5BG,求 BF 长 8如图,O为ABC的外接圆,AB为直径,ABC的角平分线BD交O于点D,过点D作O的切线DE,交BC的延长线于点E (1)求证:DEBC;(2)若1CE,3DE,求O的半径 9如图,AB 是O的直径,CA 与O相切于点 A,且ABAC连接 OC,过点 A 作ADOC于点 E,交O于点 D,连接 DB (1)求证:ACEBAD;(2)连接BC交O于点F若6AD,求BF的长 10在Rt
4、ABC中,90C,以 AC为直径的O与 AB相交点 D、E是 BC的中点 (1)判断 ED 与O的位置关系,并说明理由;(2)若O的半径为 3,DECA,求DC的长 11如图,在ABC中,以ABC的边AB为直径作O,交AC于点D,DE是O的切线,且DEBC,垂足为点E (1)求证ABBC;(2)若3DE,6 10AC,求O的半径 12如图,O是ABC的外接圆,O在 AC上,过点 C 作O的切线,与 AB延长线交于点 D,过点 O作OEBC,交O 于点 E,连接 CE交 AB于点 F (1)求证:CE平分ACB;(2)连接 OD,若 CF=CD=6,求 OD的长 13如图,ABC中,AB=AC,
5、以 AB 为直径O的交 BC于点 D,过点 D 作O的切线 DE,交 BA 延长线于点 E,延长 CA 交O于点 F,交 DE于点 G,连接 DF (1)求证:点 E为线段 CF垂直平分线上一点;(2)若 sinE=35,BE=8,求 AF 的长 14如图,四边形 ABCD内接于O,AB是O 的直径,点 D 是AC的中点,连接 OD,交 AC于点 E,作BFCD,交 DO的延长线于点 F (1)求证:四边形 BCDF 是平行四边形(2)若 AC=8,连接 BD,tanDBF=34,求直径 AB的长及四边形 ABCD的周长 15如图,在ABC中,ABAC,以 AB 为直径作O,交 AC于点 F,
6、交 BC于点 D,过点 D作O的切线DE,交 AC于点 E (1)求证:DEAC;(2)若O 的直径为 5,2 5sin5B,求 EF的长 16如图,AB是O 的直径,点 E 为线段 OB上一点(不与 O,B 重合),作 CEOB,交O 于点 C,垂足为点 E,作直径 CD,过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 P,作 AFPC 于点 F,连接 CB (1)求证:CBECPB;(2)当4 3AB 且34CFCP时,求扇形 COB 的面积 17如图,AB为O的直径,ACB的角平分线交O于点D,交AB于点E,CAB的角平分线交CD于点F (1)求证:ADB为等腰直角三角形;(2)求证:2DFDE
7、 DC 18如图,AB 是圆O的直径,C,D 是圆上的点(在 AB 同侧),过点 D的圆的切线交直线 AB 于点E (1)若2AB,1BC,求 AC 的长;(2)若四边形 ACDE是平行四边形,证明:BD平分ABC 19如图,AB与O相切于点B,BC为O的弦,OCOA,OA与BC相交于点P (1)求证:APAB;(2)若4OB,3AB,求线段BP的长 20如图,ABC为O的内接三角形,ADBC,垂足为D,直径AE平分BAD,交BC于点F,连接BE (1)求证:AEBAFD;(2)若10AB,5BF,求DF的长;(3)若点G为AB的中点,连接DG,若点O在DG上,求:BF FC的值 参考答案 1
8、(1)见解析(2)83AE 【分析】(1)首先根据等边对等角可证得CODB,再根据平行线的判定与性质,即可证得结论;(2)首先根据圆周角定理及切线的性质,可证得AEBOBF,即可证得ABEOFB,再根据相似三角形的性质即可求得(1)证明:ABAC CABC OBOD ODBOBD CODB ACOD ABOF (2)解:如图:连接 BE AB是O的直径,AB=4 90AEB,122OBODAB BF是O的切线 90OBF AEBOBF 又ABOF ABEOFB AEABOBOF 又2 13OFODDF 423AE,解得83AE 【点评】本题考查了等腰三角形的性质,平行线的判定与性质,圆周角定理
9、,切线的性质,相似三角形的判定与性质,作出辅助线,证得ABEOFB是解决本题的关键 2(1)等腰三角形,证明见解析;(2)145.【分析】(1)利用角平分线和C=BAE=90,得出E=4,从而得到 AD=AE 可得三角形的形状;(2)先证明BCDBAE,利用相似比得到得出即34AEDCABBC,若设 CD=3x,则 BC=4x,BD=5x,再利用勾股定理得到(4x)2+(6+3x)2=82,然后解方程求出 x后计算 5x 即可(1)猜想:EAD是等腰三角形,证明:BE 平分ABC,1=2,AB为直径,C=90,2+3=90,AE为切线,AEAB,E+1=90,E=3,而4=3,E=4,AE=A
10、D,EAD是等腰三角形;(2)2=1,RtBCDRtBAE,CD:AE=BC:AB,即34AEDCABBC,设 CD=3x,BC=4x,则 BD=5x,在 RtABC 中,AC=AD+CD=3x+6,(4x)2+(6+3x)2=82,解得 x1=1425,x2=-1(舍去),BD=5x=145【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径;也考查了利用勾股定理和相似比进行几何计算 3(1)见解析;(2)8 5 【分析】(1)连接 OD,由题意可得:90ODA,再根据ACB90,可得BAOD,由圆周角定理可得2AODF,即可求解;(2)由(1)可得BAOD,则3cos5OHAODOD
11、,设ODOEr,求得半径r,由勾股定理求得DH,再由勾股定理即可求得DF(1)解:连接 OD,如下图:AB与O相切于 D,ODAB,即90ODA,90AAOD,又ACB90,AB+90,BAOD,由圆周角定理可得:2AODF,2BF;(2)解:DHAC 90DHO,由(1)得BAOD,3coscos5OHBAODOD,设ODOEOFr,则4OHr,则435rr,解得10r,则6OH,16HFOHOF 由勾股定理可得:228DHODOH,由勾股定理可得:228 5DFDHHF【点评】此题考查了圆的综合应用,涉及了切线的性质定理,圆周角定理,三角形内角和的性质,解直角三角形,勾股定理,解题的关键是
12、灵活运用相关性质进行求解 4(1)见解析(2)34 【分析】(1)连接OC,则OCCF,故90ACEACO,又90ADOA,且AACO,可得ACEADOEDC ,故EDEC;(2)过点C作CGAB于G,结合三角函数的知识求得CG与CE的长,从而利用COEBOCCOBCOHSSSSS阴影扇形扇形求得阴影部分的面积之和(1)证明:连接OC,CF是O的切线,OCCF,90ACOACE,OEAB,90ADOA,OAOC,AACO,ACEADO,又ADOCDE,ACECDE,EDEC(2)解:过点C作CGAB于G,30AACO,260BOCA,33sin60322CGOC,9030COEBOC,90OC
13、E,3tan30313CEOC 1133 1222COESOCCE,260(3)3602COBS扇形,230(3)3604COHS扇形,1133 332224BOCSOB CG,33 3322444COEBOCCOBCOHSSSSS阴影扇形扇形【点评】本题属于圆的综合题,涉及到了圆的切线的性质,扇形面积的计算方法,以及三角函数相关知识,解题的关键是学会常用辅助线的作法 5(1)55(2)30 【分析】(1)连接 OA、OB,根据切线的性质可得OAP=OBP=90,再根据四边形内角和等于 360 度求出AOB,再由圆周角定理即可求出结果;(2)连接 AB,EC,由切线长定理以及平行四边形的性质可
14、证明四边形PACB是菱形,进而证明ABC是等边三角形,进一步可得结论(1)如图,连接 OA、OB,PA,PB是O 的切线,OAP=OBP=90,APB=70,AOB=360-90-90-70=110 ACB=12AOB=11102=55;(2)如图,连接 AB,EC,,BAEBCE PA,PB分别与O相切于点A,B,,PAPB 四边形PACB是平行四边形,四边形PACB是菱形,,ACBC PA是O的切线,且AE是O的直径,,AEPA 四边形APBC是平行四边形,PA/BC,AEBC即90,ADB 90,BADABD AE是O的直径,90,ACE即90,ACDBCE,BADBCE ,ABDACB
15、 ,ABAC,ABACBC即ABC是等边三角形,60,ABCBACACB ,AEBC 116030.22EACBAC【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质,平行四边形的性质,菱形的判定与性质等知识,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键 6(1)见解析(2)6 【分析】(1)连接OD,然后根据圆的性质和已知可以得到90ODC,即可证得CD与O相切;(2)由已知可以得到AECCED,再根据三角形相似的性质和已知条件即可求出 AD 的值(1)证明:连接OD,AB为O的直径,90ADB,即90ODBADO,OAOD,ADOA,又BDCA;90ODBBDC,即90OD
16、C CD是O切线.(2)CEAE,90EADB,DB/EC,DCEBDC,BDCA,ADCE,EE,AECCED,CEAEDECE,2CEDE AE,162(2)AD,6AD 【点评】本题考查圆的综合应用,熟练掌握圆切线的判定方法、三角形相似的判定和性质是解题关键 7(1)证明过程见解析(2)2 【分析】(1)连接 DF,通过证明 RtDFBRtDEB(HL)得到 DF=DE,证明ADFCDE(ASA)得到AF=CE,即可证明四边形 ABCD 是菱形;(2)连接 AG,根据等腰三角形三线合一的性质得到 DG=GB,设 BF=x,则 AF=5-x,利用勾股定理可得2222ADAFDBBF,列出方
17、程求解即可得到 BF 的长(1)证明:连接 DF,如图所示 DE 是切线,AD是直径 ADE=90,DFA=90 四边形 ABCD是平行四边形 DEB=90,CDF=90 DFB=DEB=90 又BF=BE,DB=DB RtDFBRtDEB(HL)DF=DE 四边形 ABCD是平行四边形 A=C 又AFD=DEC ADFCDE(AAS)AF=CE AB=CB 四边形 ABCD是菱形(2)解:连接 AG,如图所示 AD 是直径 AGD=90,即 AGBD 四边形 ABCD是菱形 AB=AD DG=GB=5 DB=25 设 BF=x,则 AF=5-x 2222ADAFDBBF 2222552 5x
18、x,解得 x=2 BF的长为 2【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、直径所对圆周角是直角、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,正确作出辅助线,掌握这些知识点是解答本题的关键 8(1)见解析(2)2 【分析】(1)根据切线性质得90ODE,再根据圆及角平分线的性质,证得/ODBC,最后根据平行线的性质,证得结论(2)连接OD交 AC于点 F,证明四边形CEDF是矩形,再设O的半径 r,在Rt AOF中运用勾股定理,建立关于 r的方程,求解即可(1)证明:如图,连接OD,DE与O相切于点D,DEOD,90ODE,ODOB,ODBOBD,BD平分ABC,OBDDBC,ODBDBC,/
19、ODBC,18090EODE,DEBC(2)解:如图,连接OD交 AC 于点 F,AB是O的直径,90ACB,18090ECFACB,90ECFEEDF ,四边形CEDF是矩形 90AFOCFD,1DFCE,FOAC,3AFCFDE,设O的半径为r,则OAODr,222OAOFAF,1OFr,22213rr,解得2r,O的半径为2【点评】本题考查了与圆有关的综合问题,灵活运用切线性质,勾股定理进行推理求值是解题的关键 9(1)证明见解析(2)3 102 【分析】(1)根据切线的性质可得90BADCAE,根据圆周角定理的推论可得90BADABD,即得出CAEABD 结合题意即可利用“AAS”证明
20、ACEBAD;(2)连接 AF由垂径定理可得132AEEDAD再根据全等三角形的性质可得6CEAD,3AEEDBD,利用勾股定理可求出3 5ACAB再根据圆周角定理的推论结合等腰三角形“三线合一”的性质即可求出13 1022BFBC(1)证明:CA与O相切于点 A,90BAC,90BADCAE AB为直径,90BDA,90BADABD,CAEABD ADOC,90AECADB 又ABAC,()ACEBAD AAS;(2)如图,连接 AF ADOC,132AEEDAD ACEBAD,6CEAD,3AEEDBD 在Rt AEC中,2222363 5ACAECEAB,23 10BCAC AB为直径,
21、90AFB AB=AC,13 1022BFBC【点评】本题为圆的综合题考查切线的性质,圆周角定理,三角形全等的判定和性质,等腰直角三角形的性质以及勾股定理掌握与圆相关的知识点是解题关键 10(1)相切;理由见解析(2)2 【分析】(1)连接 OD,CD,再根据直径所对的圆周角是直角及直角三角形斜边上的中线性质证明 ODDE即可;(2)根据DECA证明三角形 DEC是等边三角形,即可得到DC的圆心角是 120,再根据弧长公式计算即可(1)ED 与O相切 理由:连接 OD,CD AC 是直径,ADC=90,在 RtBDC 中,E为 BC的中点,DE=EC,3=2,又OD=OC,1=4,1+2=90
22、,ODE=3+4=90,ED 与O相切;(2)A+1=90,1+2=90,A=2,DEC=A,2=3=DEC=60,A=60,DOC=2A=120,弧 DC的长=12032180【点评】本题考查圆的性质及弧长公式,熟记直径所对的圆周角是直角、切线的证明、弧长公式是解题的关键 11(1)见解析;(2)5 【分析】(1)连接 OD、BD,根据切线的性质得到 ODDE,推出 ODBC,证得ODB=CBD,由此推出OBD=CBD,根据AB为O的直径,得到ADB=CDB=90,证得ABDCBD(ASA),即可得到AB=BC;(2)根据 AB=BC,BDAC,求出 AD=CD=13 102AC,勾股定理求
23、出 CE=9,证得CDECBD,求出 CB,即可得到O的半径(1)证明:连接 OD、BD,DE是O的切线,ODDE,DEBC,ODBC,ODB=CBD,OD=OB,ODB=OBD,OBD=CBD,AB为O的直径,ADB=CDB=90,BD=BD,ABDCBD(ASA),AB=BC;(2)AB=BC,BDAC,AD=CD=13 102AC,DE=3,222293 103CECDDE,C=C,CED=CDB=90,CDECBD,2CDCE CB,221093 10CDCBCE,AB=CB=10,O的半径为 5【点评】此题考查了切线的性质定理,圆周角定理,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性
24、质,勾股定理,熟记各知识点并综合应用是解题的关键 12(1)见解析(2)3 7 【分析】(1)根据 OC=OE,可得OCE=E,再由 OEBC,可得E=BCE,从而得到OCE=BCE,即可求证;(2)根据CD=CF,可得BCD=BCE=OCE,再由CD是O的切线,可得BCD=30,再证得A=BCD=30,根据直角三角形的性质,即可求解【解析】(1)证明:OC=OE,OCE=E,OEBC,E=BCE,OCE=BCE,CE 平分ACB;(2)解:如图,CD=CF,BCD=BCE,CE 平分ACB,BCD=BCE=OCE,CD 是O的切线,ACD=90,即BCD+ACB=90,BCD=30,AC 是
25、O的直径,ABC=90,A+ACB=90,A=BCD=30,CD=6,AD=2CD=12,226 3ACADCD,3 3OC,223 7ODOCCD【点评】本题主要考查了切线的性质,圆周角定理,直角三角形的性质,勾股定理,熟练掌握切线的性质,圆周角定理,直角三角形的性质,勾股定理是解题的关键 13(1)见解析(2)AF=185 【分析】(1)根据圆周角定理可得 ADBC,再由等腰三角形的性质可得 BD=CD,进而得出 OD是三角形的中位线,由切线的性质可得 ODFC,证出三角形 DFC是等腰三角形即可;(2)在 RtODE中,根据锐角三角函数可求出半径 OD,进而得出直径 AB,在 RtABF
26、 中,由锐角三角函数可求出 AF(1)证明:如图,连接 OC,AD,AB=AC,ABC=ACB,又ABC=F,F=ACB,DF=DC,AB是O的直径,ADB=90,即 ADBC,AB=AC,BD=CD,又OA=OB,OD 是ABC的中位线,ODAC,DE 是O的切线,ODDE,FCDE,DF=DC,DE 是 FC 的垂直平分线,即点 E 为线段 CF 垂直平分线上一点;(2)解:连接 BF,在 RtODE中,设 OD=x,则 OE=BE-OB=8-x,sinE=35=ODOE,8xx=35,解得 x=3,经检验 x=3 是原方程的根,AB=2OD=6,AB是O的直径,AFB=90,DGBF,E
27、=ABF,在 RtABF 中,AB=6,sinABF=sinE=35,AF=ABsinABF=635=185【点评】本题考查切线的性质,圆周角定理,等腰三角形的判断和性质,直角三角形的边角关系,掌握切线的性质,圆周角定理,等腰三角形的判断和性质,直角三角形的边角关系是正确解答的前提 14(1)见解析(2)AB=10,周长 16+4 5 【分析】(1)根据 AB 是O的直径,得C=90,根据点 D是AC的中点,得 CADF,即有AEO=90,则有BCDF,即可得证;(2)先利用平行及圆周角定理证得DBF=BAC,则根据正切值和勾股定理即可求出 CB、AB,在 RtAEO中,利用勾股定理得 OE=
28、3,在 RtAED中,利用勾股定理,得 AD=25,则四边形的周长可得(1)证明:AB 是O的直径,C=90,点 D 是AC的中点,DO 垂直平分 AC,且 AD=DC,CADF,AE=EC,AEO=90,BCDF,BFCD,四边形 BCDE是平行四边形;(2)BCDF,DBF=CDB,又根据圆周角定理有CDB=BAC,DBF=BAC,即 tanBAC=34,AC=8,CB=6,则在 RtACB中,利用勾股定理可得 AB=10,即 AO=5=OD,AE=EC=12AC,AE=EC=4,在 RtAEO中,利用勾股定理得 OE=3,DE=OD-OE=5-3=2,在 RtAED中,利用勾股定理,得
29、AD=25,则有 CD=25,四边形 ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=10+6+25+25=16+4 5【点评】本题考查了平行四边的判定与性质、同弧所对的圆周角相等、同弧所对的弦相等、勾股定理以及解直角三角形的知识,利用正切值以及同弧所对的圆周角相等是解答本题的关键 15(1)见解析(2)1 【分析】(1)连接 OD,由 AB=AC,OB=OD,则B=ODB=C,则 ODAC,由 DE为切线,即可得到结论成立;(2)如图所示,连接 BF,AD,先解直角三角形 ACD 求出 AD 的长,从而求出 CD的长,然后分别解直角三角形 BCF,直角三角形 DCE,求出 BF,DE,进而求出 CF
30、,CE,即可得到 EF(1)解:连接 OD,如图:AB=AC,B=C,OB=OD,B=ODB,B=ODB=C,ODAC,DE 是切线,ODDE,ACDE;(2)解:如图所示,连接 BF,AD,AB是圆 O 的直径,AFB=ADB=90,BFC=90,DEAC,DEC=90 AB=AC,BC=2CD,ABD=C,2 5sinsin5ADABDCAC,2 52 55ADAC,225CDACAD,2 5BC,sin2DECDC,sin=4BFBCC,221CECDDE,222CFBCBF,EF=CF-CE=1 【点评】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质与判定,解直角三角形、勾
31、股定理,解题的关键是熟练掌握所学的性质定理,正确的求出边的长度 16(1)见解析(2)2 【分析】(1)先证明CEB=CBP90,再由D+P=90,CABCBE90,CAB=D,推出CBE=P,即可证明结论;(2)设 CF=3k,CP=4k,先证明FAC=CAB,得到 CE=CF=3k,再由相似三角形的性质得到 BC2CECP;从而求出 sinCBE=3322 3kk,则CBE=60,即可证明OBC是等边三角形,得到COB=60,据此求解即可(1)解:CEOB,CD 为圆 O的直径,CEB=DBC90,CEB=CBP90,PF是切线,DCP=90,D+P=90,AB是直径,ACB=90 CAB
32、CBE90,CAB=D,CBE=P,CBECPB;(2)解:34CFCP,设 CF=3k,CP=4k,PF是切线,OCPF,AFPF,AFOC FAC=ACO,OA=OC,OAC=ACO,FAC=CAB,CE=CF=3k,CBECPB,CBCECPCB,BC2CECP;BC=2 3k sinCBE=3322 3kk,CBE=60,OB=OC,OBC是等边三角形,COB=60,4 3AB,扇形 COB的面积2602 32360()【点评】本题主要考查了圆切线的性质,相似三角形的性质与判定,圆周角定理,角平分线的性质,解直角三角形,扇形面积,等边三角形的性质与判定等等,熟练掌握圆的相关知识是解题的
33、关键 17(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】(1)根据AB为O的直径,可得90ADBACB,由ACB的角平分线交O于点D,可得45ACDBCD,ADBD,ADBD,进而结论得证;(2)由CAB的角平分线交CD于点F,得到CAFBAF,结合(1)可得ACDBAD,再由 DFACAFACD,DAFBAFBAD,得到DFADAF,从而说明DADF,最后再证明ADECDA,利用相似三角形的性质即可得证(1)证明:AB为O的直径,90ADBACB,ACB的角平分线交O于点D,45ACDBCD,ADBD,ADBD,ADB为等腰直角三角形;(2)证明:CAB的角平分线交CD于点F,CAFBAF,由(
34、1)可知:45ACD,ADBD,90ADB 45BADABD,ACDBAD,DFACAFACD,DAFBAFBAD,DFADAF,DADF,在ADE和CDA中 DAEDCAADECDA ,ADECDA,ADDECDAD,2ADDE DC,2DFDE DC【点评】本题考查的是圆和三角形的综合题,考查了直径所对的圆周角为 90,角平分线,圆周角,等腰三角形的判定,相似三角形的判定与性质等知识对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键 18(1)3AC (2)见解析 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角可得90ACB,再根据勾股定理进行计算即可;(2)连结 BD,连结 OD与 AC交于F点根据切线的
35、性质及平行四边形的性质可证明四边形 OBCD 是菱形,即可得到结论(1)AB是圆O的直径,90ACB 2223ACABBC,3AC(舍负值)(2)连结 BD,连结 OD与 AC交于F点 ED与圆O相切于D点,ODED,四边形 ACDE是平行四边形,EDAC,CDEA,ODAC,90OFAACB,ODBC,CDEB,ODOB,四边形 OBCD 是菱形,BD平分ABC【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理、平行四边形的性质及菱形的判定和性质,熟练掌握知识点是解题的根据 19(1)见解析(2)6 55 【分析】(1)根据等角的余角相等,ABPCPO,进而证得APBABP,最后结论得证;(
36、2)作OHBC于H,在RtPOC中,求出OP,PC,OH,CH即可解决问题(1)证明:OCOB,OCBOBC,AB是O的切线,OBAB,90OBA,90ABPOBC,OCAO,=90AOC,90OCBCPO,ABPCPO,APBCPO,APBABP,APAB(2)解:作OHBC于H,在Rt OAB中,4OB,3AB,22345OA,3APAB,2PO 在RtPOC中,4OCOB 222 5PCOCOP,1122POCSPC OHOC OP,4 55OC OPOHPC,228 55CHOCOH,OHBC,CHBH,16 525BCCH,16 56 52 555PBBCPC【点评】本题考查切线的性
37、质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、垂径定理等知识,学会添加适当的辅助线,构造直角三角形解决问题是解本题的关键 20(1)见解析(2)3DF (3)2:2 【分析】(1)由题意得BAEDAE,且90ABE,即90BAEAEB,根据ADBC得90DAEAFD,即可得;(2)根据AEBAFD,AFDBFE 得BEFBFE,即BEBF,根据BAEDAF,90ABEADF 得ABEADF,根据10AB,5BF 得12BEAB,设DFx,则2ADx,在Rt ABD中,根据勾股定理,即2221052xx,即可得;(3)根据点G为AB中点,点O在DG上得OG是ABE的中位线,即OGBE,12
38、OGBE,根据90ABE得ODDF,AEB和ACB是AB所对的圆周角得AEBACB,即ACBAFC,即有ACAF,设BFa,DFb,有112222BEODabDGBDBFDFab,即可得(1)解:直径AE平分BAD,BAEDAE,且90ABE,90BAEAEB,ADBC,90DAEAFD,AEBAFD (2)解:AEBAFD,AFDBFE,BEFBFE,BEBF,BAEDAF,90ABEADF,ABEADF,10AB,5BF,51102BEBFDFABABAD,设DFx,则2ADx,在Rt ABD中,根据勾股定理,222ABBDAD,即2221052xx,解得:13x,25x ,舍去负值,得到3DF (3)解:如图所示,点G为AB中点,点O在DG上,OG是ABE的中位线,OGBE,12OGBE,90ABE,DGAB,ABD是等腰直角三角形,AOGAEBAFD,ODDF,AEB和ACB是AB所对的圆周角,AEBACB,ACBAFC,即有ACAF,ADCF,DFCD 设BFa,DFb,有112222BEODabDGBDBFDFab,解得2ab,:22:2BF FCab【点评】本题考查了圆与三角形,解题的关键是掌握垂径定理,相似三角形的判断与性质,中位线,勾股定理