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1、第 1 页 共 19 页 2023 届江西省赣州市高三上学期 1 月期末考试数学（文）试题 一、单选题 1已知集合2lg 4Ax yx，201xBxx，则AB（）A2,1 B2,1 C 2,11,2 D2,2【答案】D【分析】先求出2lg 4yx的定义域得到集合A，然后解出201xx得到集合B，最后用并集的定义得到答案【详解】由2lg 4yx可得240 x，解得22x，由201xx可得21010 xxx，解得21x，所以2,2A，2,1B，所以AB2,2 故选：D 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足1 i42iz，则复数 z的共轭复数的虚部为（）Ai Bi C1 D1【答案】C【分析】利用
2、复数运算求得z，然后求得z，进而确定正确答案.【详解】42i1 i42i62i3i1 i1 i 1 i2z，所以3iz，虚部为1.故选：C 3 函数 12logf xx，1,24x的值域为 D，在区间3,3上随机取一个数 t，则tD的概率是（）A16 B12 C13 D14【答案】B 第 2 页 共 19 页【分析】根据单调性得到1,2D ，再利用几何概型求概率公式进行求解.【详解】12logf xx在1,24x上单调递减，故11221log 2,log1,24D，在区间3,3上随机取一个数 t，则tD的概率是2 11332.故选：B 4等比数列 na的公比为2，且12a，32a，57a 成等
3、差数列，则 na的前 10 项和为（）A341 B10253 C171 D5113【答案】A【分析】根据已知条件求得1a，从而求得10S.【详解】由于12a，32a，57a 成等差数列，所以3152227aaa，即24111222227aaa ，解得11a，所以10101121023341123S .故选：A 5已知 3f xxx，0.32a，20.3b，2log 0.3c，则（）A f cf af b B f bf cf a C f cf bf a D f af bf c【答案】D【分析】先求导判断单调性，再比较,a b c的大小.【详解】因为 2310fxx ，所以函数 3f xxx 是R
4、上的减函数.又00.31222,12a，2000.30.3,01b，22log 0.3log 10,0cc cba，函数 3f xxx 是R上的减函数，所以 f cf bf a 故选：D 第 3 页 共 19 页 6设 m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（）A若m，n，则/m n B若m，m，则/C若，m，n，则mn D若m，m，则【答案】C【分析】利用线面垂直的性质定理即可判断出 AB，面面垂直的性质定理可判断 C；由面面垂直的判定定理可判断 D.【详解】对于 A，若m，n，利用线面垂直的性质定理得/mn，正确；对于 B，若m，m，利用线面垂直的性质定理得/，正确
5、；对于 C，若，m，n，则,m n可能平行，可能异面，可能垂直，不正确；对于 D，若m，m，由面面垂直的判定定理得，正确.故选：C.7已知变量 x和 y 的统计数据如表：x 1 2 3 4 5 y 5 5 6 6 8 根据上表可得回归直线方程0.7yxa，据此可以预测当8x 时，y（）A9.2 B9.5 C9.9 D10.1【答案】B【分析】计算出样本中心点,x y的坐标，代入回归直线方程求得a的值，然后在回归直线方程中，令8x 可求得结果.【详解】由表格中的数据可得1234535x，5566865y，由于回归直线过样本的中心点,x y，0.736a，解得3.9a，所以，回归直线方程为0.73
6、.9yx，当8x 时，0.783.99.5y .故选：B.8函数 sinf xx（其中0，2）的图象如图所示，为了得到cosyx的图象，只需把 yf x的图象上所有点（）第 4 页 共 19 页 A向左平移6个单位长度 B向右平移12个单位长度 C向左平移12个单位长度 D向右平移6个单位长度【答案】C【分析】由图象求得函数解析式的参数，再利用诱导公式将异名函数化为同名函数根据图象间平移方法求解.【详解】由图象可知，712344T，所以T，又因为2T，所以2，所以 sin 2f xx，又因为771,sin 211212f ，又|2，所以,3 所以 sin 2cos 2cos 2cos23326
7、12fxxxxx 又因为()cos2g xx，所以只需把 yf x的图象上所有点向左平移12个单位长度可得()cos2g xx的图象.故选：C.9已知函数13xym（0m且1m）图像恒过的定点A在直线10,0 xyabab上，若关于t的不等式23abtt 恒成立，则实数t的取值范围为（）A3,2 B2,3 C,32,D,23,【答案】A【分析】先求定点,再由点在线上得出和为定值,应用常值代换求出最值转化恒成立问题,最后解出一元二次不等式即可.【详解】因为函数13xym（0m且1m）图像恒过的定点1,4A,又因为定点A在直线10,0 xyabab上,所以1410,0abab,144414259a
8、bababababbaba,所以ab最小值为9 第 5 页 共 19 页 因为关于t的不等式23abtt 恒成立,所以2min3abtt 所以239tt,即得260tt,320tt,解得32 t 故选:A.10已知直线:l ykx与圆2224xy相交于,A B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线34170 xy的距离的最大值为（）A3 B4 C5 D6【答案】C【分析】求得M点的轨迹，结合圆与直线的位置关系求解即可.【详解】如图所示，设(,)M x y，直线:l ykx过定点(0,0)B，圆2224xy的圆心为(2,0)E，半径为 2，因为EAEB，M是线段AB的中点，所以EMMB，所以22
9、2MEMBBE，即2222(2)4xyxy，整理得22(1)1xy(0)x，所以点M的轨迹是以(1,0)为圆心，1 为半径的圆，原点除外，所以点M到直线34170 xy距离的最大值223(1)17153(4)d ，故选：C 11已知某正三棱锥三视图如图所示，若侧视图的面积为6 2，则该正三棱锥外接球体积为（）第 6 页 共 19 页 A18 B36 C27 D45【答案】B【分析】画出直观图，由侧视图面积求出三棱锥的高，作出辅助线，找到球心，设出半径，列出方程，求出半径，进而求出外接球体积.【详解】画出正三棱锥的直观图，则2 6ABBCAC，取 AC的中点 D，连接 BD，PD，则6,33 2
10、ADBDAD，过点 P作 PE平面 ABC于点 E，则点 E落在 BD上，且 BE=2ED，所以22 23BEBD，球心 O在 PE上，设三棱锥的高为h，则13 26 22h，解得：4h，即 PE=4，设外接球半径为 R，则 OP=OB=R，OE=4-R，在三角形 BOE中，由勾股定理得：222OBOEBE，即22242 2RR，解得：3R，所以三棱锥的外接球体积为34363R.第 7 页 共 19 页 故选：B【点睛】几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理或几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，根据半径相等列出方程，求出半径，再求解外接球表面积或体
11、积.12设函数 f x在 R 上存在导数 fx，对任意的xR，有 0fxf x，且0,x时 2fxx，若2224312faf aa，则实数 a 的取值范围为（）A2 2,B,22,C,2 D2,【答案】A【分析】利用不等式 2fxx构造新函数，根据偶函数的性质，结合新构造函数的单调性进行求解即可.【详解】设 2g xf xx，则 2gxfxx，当0,x时，20gxfxx，即 g x在0,上单调递减，而 0fxf xfxf x，所以 22gxfxxf xx，故 g x是偶函数，所以 g x在,0上单调递增，因为2224312faf aa，所以 22212144214faaf aagag a，即2
12、1422aaa 故选：A 第 8 页 共 19 页【点睛】关键点睛：利用不等式 2fxx构造新函数是解题的关键,二、填空题 13若向量a，b满足：4a，2b，abb，则a与b的夹角为_【答案】23【分析】利用向量垂直关系列出方程求得1cos2,即可得到角度大小.【详解】abb，222 4cos20abba bb；222 4cos20abba bb；1cos0,2，；23 故答案为：23 14设,x y满足约束条件242204xyxyx，则224zxy的最小值为_【答案】45#0.8【分析】作出可行域，根据z的几何意义以及点到直线的距离公式可求出结果.【详解】根据约束条件242204xyxyx，
13、作出可行域，如图：第 9 页 共 19 页 因为222224(4)zxyxy表示点(,)x y与点(0,4)M之间的距离的平方，由图可知，z的最小值是(0,4)M到直线220 xy的距离的平方，由点到直线的距离公式得(0,4)M到直线220 xy的距离为|42|2 554 1，所以224zxy的最小值为45.故答案为：45 15若双曲线2222:10,0 xyCabab的渐近线与抛物线28ayxb的准线围成的三角形的面积等于2，则双曲线 C 的离心率为_【答案】52【分析】根据双曲线和抛物线方程得到渐近线和准线方程，联立得到交点坐标，然后根据面积列方程得到2ab，最后结合双曲线中222cab求
14、离心率即可.【详解】双曲线的渐近线为byxa，抛物线的准线为2bya，联立方程可得渐近线和准线的交点为22,ba，22,ba，所以122222ba，整理得2ab，所以225cabb，5522beb.故答案为：52.第 10 页 共 19 页 16已知数列 na满足11a，23a，1,3nnaan nnN，21na是递增数列，2na是递减数列，则20a_【答案】6【分析】由21na是递增数列可推出21201nnaan，由 2na是递减数列，可推出22210nnaa，所以2221nnaa，即 2na的首项为 3，公差为1的等差数列，即可求出20a.【详解】解：因为21na是递增数列，所以21210
15、nnaa，故 2122210nnnnaaaa，因为212nn，所以212221212nnnnaanaan，所以21202nnaan，又3150aa，所以21201nnaan，因为 2na是递减数列，所以2220nnaa，同理22210nnaa，所以21222212122nnnnaanaan，所以2221nnaa，即 2na的首项为 3，公差为1的等差数列，即 20310116a 故答案为：6.三、解答题 17 2022 年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛某足球俱乐部对该俱乐部的全体足球爱好者在世界杯足球赛期间每天收
16、看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时）0,1 1,2 2,3 3,4 4,5 5,6 收看人数 16 35 19 23 17 10 第 11 页 共 19 页(1)若将每天收看比赛转播时间不低于 3 小时的足球爱好者定义为“铁杆球迷”，否则定义为“非铁杆球迷”，请根据频数分布表补全 22 列联表：男 女 合计 铁杆球迷 30 非铁杆球迷 45 合计 并判断能否有 99的把握认为该足球俱乐部的足球爱好者是否为“铁杆球迷”与“性别”有关；(2)在所有“铁杆球迷”中按性别分层抽样抽取 5 名，再从这 5 名“铁杆球迷”中选取 2 名作世界杯知识普及讲座，求选取的两名
17、中至少有 1 名女“铁杆球迷”的概率 参考公式：2P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.+841 5.024 6.635 7.879 22n adbcKabcdacbd，其中nabcd 【答案】(1)表格见解析，有(2)710 【分析】（1）完成2 2列联表，根据公式计算2K与6.635比较即可；（2）利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）根据题意可得铁杆球迷共23 171050人，非铁杆球迷共16351970人，故完善表格如下：男 女 合计 铁杆球迷 30 20 50 非铁杆球迷 25 45 70 第 12 页 共 19 页 合计 55
18、 65 120 根据数据得22212030 4520 256.936.63550 70 55 65n adbcKabcdacbd，故有 99的把握认为该足球俱乐部的足球爱好者为“铁杆球迷”与“性别”有关（2）依题意按照分层抽样在所有“铁杆球迷”中按性别分层抽样抽取 5 名中男生和女生分别有 3 人和2 人，从 5 人中任意抽取 2 人的基本事件共25C10个，其中有 1 人是女生的基本事件有1132C C6个，2 人全是女生的基本事件有 1 个，所以至少有 1 名女生的基本事件共6 17 个，故选取的两名中至少有 1 名女“铁杆球迷”的概率为710P 18已知函数 22 3sincos2cos
19、f xxxx(1)求函数 f x的单调递减区间；(2)设 a，b，c 分别是ABC的三个内角，A，B，C所对的边，1f A 且BC边上的中线3AD，求ABC面积的最大值【答案】(1)5,36kkkZ(2)3 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式对 f x进行化简，利用正弦函数的性质进行求解即可；（2）利用（1）可得到3A，由AD为中线可得12ADACAB，结合基本不等式可得4bc，即可得到最大面积【详解】（1）3sin2cos212sin 216f xxxx，令32 22,262kxkkZ，得5,36kxkkZ，即函数 f x的单调递减区间为5,36kkkZ（2）由（1）知 2sin 21
20、16fAA 得sin 216A，所以22,62Ak kZ，即,3Ak kZ，第 13 页 共 19 页 又0A，得3A，而由AD是BC边上的中线可得12ADACAB，故22222242ADACABACABAC ABACABACAB，所以221223bcbcbcbcbc，所以4bc 当且仅当2bc时等号成立，所以ABC的面积为113sin43222SbcA 所以ABC的面积的最大值为3 19如图，在四棱锥PABCD中，/ABCD，1AB，3CD，2AP，2 3DP，60PAD，AB平面PAD，点 M 是棱PC上的动点 (1)证明：APDM；(2)设PMPC，求当/AP平面BDM时的值【答案】(1
21、)证明见解析(2)14 【分析】（1）根据AB平面PAD和/AB CD推出CDAP，根据余弦定理计算推出APPD，根据线面垂直的判定定理得到AP平面PCD，从而可得APDM；（2）连AC，BD交于点 N，连MN，根据线面平行的性质定理推出/APMN，再根据三角形相似可求出结果.【详解】（1）证明：由于AB平面PAD且/AB CD，所以CD 平面PAD，又AP平面PAD，所以CDAP 由2222cosPDAPADAP ADPAD，第 14 页 共 19 页 得211242 22ADAD ，即2280ADAD，解得4AD或2AD （舍），所以22ADAPPD2，即APPD，又CD 平面PCD，PD
22、 PCD，且CDPDD，所以AP平面PCD，而DM平面PCD，因此APDM（2）连AC，BD交于点 N，连MN，因为/AP平面BDM，AP平面APC，平面BDM平面APCMN，所以/APMN，故CMCNPMAN 在梯形ABCD中，根据ABN与CDN相似，可得13ABANCDNC，所以14PMANPCAC，即当/AP平面BDM时的值为14 20已知函数 exf x，22g xxxa (1)讨论函数 h xf xg x的单调性；(2)若函数 yf x的图象与函数 yg x的图象仅有一个交点 M，求证：曲线 yf x与 yg x在点 M处有相同的切线，且1,24a【答案】(1)答案见解析(2)证明见
23、解析 【分析】（1）求定义域，求导，分2a与2a 两种情况，求解函数的单调性；（2）构造 2e2xF xf xg xxxa，二次求导，利用隐零点得到存在唯一的010,2x使得000e22xx，得到 00fxgx，求出两函数在点 M处有相同的切线，求出 F x的单调性，第 15 页 共 19 页 得到 min0F xF x，结合 yf x的图象与 yg x的图象仅有一个交点 M，故 00F x可得2022ax，010,2x，利用单调性，求出1,24a.【详解】（1）2e2xh xxxa定义域为 R，所以 2e2xhxax，当20a即2a时，0h x恒成立，函数 h x在,x 上为单调递减函数 当
24、20a即2a 时，令 0h x得：22axa，令 0h x得：2xa 或2xa，所以，函数 h x在2,2xaa 上单调递增，在,2xa 和2,xa上单调递减 综上所述，当2a时，函数 h x在,x 上为单调递减；当2a 时，h x在2,2xaa 上单调递增，在,2xa 和2,xa上单调递减；（2）构造 2e2xF xf xg xxxa，所以 22exFxx 记 m xFx，20exm x恒成立，即 m x在,x 上单调递增 而 00210em ，1102em，所以存在唯一的010,2x使得 00m x，即000e22xx，由 exf x，22g xxxa 可得 exfx，22gxx，所以 0
25、0exfx，0022gxx，所以 00fxgx，即曲线 yf x与 yg x在点 M 处有相同的切线 又因为当0,xx 时，0Fx，当0,xx时，0Fx，第 16 页 共 19 页 故 F x在0,xx 上单调递减，在0,xx上单调递增，故 F x在0 xx上取得极小值，也是最小值，即 min0F xF x，由于函数 yf x的图象与函数 yg x的图象仅有一个交点 M，所以 00F x，即0200e20 xxxa，故022200000e24222xaxxxxx，010,2x，所以2022ax在010,2x上单调递减，所以1,24a，综上，曲线 yf x与 yg x在点 M 处有相同的切线，且
26、1,24a【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.21已知圆2212xy上的动点 P 在 y 轴上的投影为 Q，动点 M 满足133OQOPOM(1)求动点 M的轨迹方程 C；(2)动直线:2l ykx与曲线 C交于 A，B 两点，问：是否存在定点 D，使得DA DB为定值，若存在，请求出点 D的坐标及该定值；若不存在，
27、请说明理由【答案】(1)22:1124yxC；(2)存在定点100,3D，使得DA DB为定值89.【分析】（1）根据平面向量运算的坐标表示公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的运算，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】（1）设,M x y，00,P x y，则00,Qy，由133OQOPOM得3PQMQ，即00,03,xx yy，第 17 页 共 19 页 将003xxyy代入得22312xy，即221412xy，所以动点 M 的轨迹方程22:1124yxC；（2）设11,A x y，22,B xy，,D m n，联立2221124ykxyx得223480kx
28、kx，所以1221224383kxxkx xk，因为 1212DA DBxmxmynyn 121222xmxmkxnkxn 2221212121222x xm xxmk x xknxxn 22222228484223333kkmmkknnkkkk 22224164823nkmkmnk 22241240123mknmnk为定值 所以012400mn，即0103mn，所以存在定点100,3D，使得DA DB为定值89.【点睛】关键点睛：利用平面向量数量积的运算性质、一元二次方程根与系数是解题的关键.22在平面直角坐标系xOy中，已知直线 l的参数方程为21222xtyt（t为参数），以坐标原点 O
29、为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 2sin4(1)求直线 l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；(2)设点4,3P，直线 l与曲线 C的交点为 A，B，求11PAPB的值【答案】(1)10 xy，22220 xyxy 第 18 页 共 19 页(2)5 211 【分析】（1）消去参数t可把参数方程化为普通方程，由公式cossinxy可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义求解【详解】（1）由21222xtyt 消去参数t得直线 l的普通方程为10 xy，由2 2sin4得2cos2sin
30、，则22cos2 sin，曲线 C的直角坐标方程为22220 xyxy（2）直线 l的参数方程为242232xtyt（t为参数），设点 A，B对应的参数分别为1t，2t，将242232xtyt代入22220 xyxy得25 2110tt，则125 2tt，1 211t t，则10t，20t，则1212121 21 211115 211ttttPAPBttt tt t 23已知函数 212f xxx 的最小值为m(1)求m的值；(2)设,a b c为正数，且abcm ，求证：2222222abcabccba【答案】(1)1m (2)证明见解析 【分析】（1）分别在2x 、2 1x和1x的情况下，
31、去掉绝对值符号，得到 f x解析式，进第 19 页 共 19 页 而可得 f x最小值；（2）方法一：利用基本不等式化简左侧分式的分子，将所得不等式右侧式子改写为bcacbaabccbcaab，再次利用基本不等式可证得结论；方法二：将所证不等式拆分成形如2abb的形式，利用基本不等式可求得22abab，以此类推，加和即可证得结论.【详解】（1）当2x 时，21234f xxxx ，则 22f xf；当2 1x时，212f xxxx ，则 11f xf；当1x时，21234f xxxx，则 11f xf；综上所述：f x的最小值1m.（2）由（1）知：1abc ，方法一：222222222abcabcabacbccbacba（当且仅当13abc时取等号），222222abacbcbcacbaabcabccbacbcaab（当且仅当13abc时取等号），22222222abcabcabccba（当且仅当13abc时取等号）.方法二：22abab（当且仅当ab时取等号），22baba（当且仅当ab时取等号），22acac（当且仅当ac时取等号），22caca（当且仅当ac时取等号），22bcbc（当且仅当bc时取等号），22cbcb（当且仅当bc时取等号），22222222abcabcabccba（当且仅当13abc时取等号）