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1、第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年山东省临沂市第十九中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1曲线43yxx在点（1，2）处的切线的倾斜角为（）A6 B4 C3 D23【答案】B【分析】根据导数的几何意义求解【详解】因为343yx，所以11xy，故所求切线的倾斜角为4 故选：B 2经过抛物线 y22x 的焦点且平行于直线 3x2y50 的直线 l的方程是（）A6x4y30 B3x2y30 C2x3y20 D2x3y10【答案】A【分析】求出抛物线的焦点坐标和直线 3x2y50 的斜率，由点斜式方程即可求出答案.【详解】因为抛物线 y22x 的焦点坐标为1,02，直线3x2y50
2、 的斜率为32，所以所求直线 l的方程为3122yx，化为一般式，得 6x4y30.故选：A.3若等差数列 na满足234aS，3512aS，则47aS（）A72 B36 C24 D20【答案】C【分析】由等差数列的性质转化2324aSa，3536aSa，求出2a、3a的值，利用等差中项的性质求出4a的值，进而可得出4748aSa的值.【详解】由等差中项的性质可得1323223442aaaSaa，得21a，同理可得35336122aSaa，由等差中项的性质得3242aaa，43223aaa，第 2 页 共 14 页 因此，47444788 324aSaaa.故选：C.【点睛】本题考查利用等差中
3、项求值，考查计算能力，属于基础题.4椭圆2212516xy上一点P到左焦点F的距离为 6，若点M满足12OMOPOF，则OM（）A6 B4 C2 D52【答案】C【分析】根据222acb求出左焦点F的坐标，然后设P的坐标00(,)P xy，根据两点间的距离公式求出P到左焦点的距离以及代入椭圆方程中解得P的坐标，由1()2OMOPOF得到M为PF的中点，根据中点坐标公式求出M的坐标，利用两点间的距离公式求出|OM即可【详解】解：由椭圆2212516xy得5a，4b，左焦点(3,0)F，设00(,)P xy，则2200336xy又220012516xy 解得053x 或0553x （舍去）；又P在
4、椭圆上，则将053x 代入到椭圆方程中求出08 23y ，所以点5(3P，8 2)3；由点M满足1()2OMOPOF，则得M为PF中点，根据中点坐标公式求得24 2,33M，所以2224 2|()()233OM 故选：C【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值，同时也考查学生掌握向量的运用法则及向量模的求法，属于中档题 5 已知曲线 xf xxa e在点 1,1f处的切线与直线210 xy 垂直，则实数a的值为（）A2ae B12e Ce2 D2e【答案】D【解析】求出函数的导数和在1处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为1可得答案.
5、【详解】1xxxfxexa exa e，第 3 页 共 14 页 11(1)fae，切线的斜率为 11faek，因为切线与直线210 xy 垂直，所以 121ae，解得2ea.故选：D.6如图，在棱长为 1 的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N 分别为 BC，AD的中点，则直线 AM 和 CN 夹角的余弦值为（）A23 B34 C12 D23【答案】A【分析】将AM用,AB AC表示，CN用,AD AC表示，再利用向量法求解即可.【详解】解：在正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，3BACBADCAD ，因为 M，N 分别为 BC，AD 的中点，所以11,22AMABACC
6、NANACADAC，且32AMCN，则1122AM CNABACADAC 21 112 22AB ADAB ACAC ADAC 11111124242，所以2cos,3AM CNAM CNAM CN，即直线 AM 和 CN 夹角的余弦值为23.故选：A.第 4 页 共 14 页 7已知过抛物线2:8Cyx的焦点 F且倾斜角为45的直线交 C 于 A，B 两点，Q 为弦AB的中点，P为 C 上一点，则|PFPQ的最小值为（）A53 B8 C112 D5【答案】B【分析】根据给定条件，求出直线 AB 的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答.【详解】抛物线28yx，焦点(2
7、,0)F，准线:2l x ，直线 AB的方程为2yx，由228yxyx消去 y并整理得：21240 xx，设11(,)A x y，22(,)B xy，则1212xx，弦AB中点 Q 的横坐标1262Qxxx，过点Q作准线 l 的垂线，垂足为点D，如图，令QD交抛物线于点 P，在抛物线上任取点P，过P作PDl 于点D，连接,P Q P F QD，即有,PFPDP FP D，P FP QP DP QQDQDPDPQPFPQ，当且仅当点P与 P重合时取等号，所以|PFPQ的最小值为|(2)8QQDx.故选：B 8已知数列 na满足11a，*121nnaanN，记数列11(2)(2)nnnaaa的前
8、n项和为nT，若对于任意*nN，不等式nkT恒成立，则实数 k 的取值范围为（）A1,2 B1,2 C1,3 D1,3【答案】C【分析】由已知得1+112nnaa，根据等比数列的定义得数列+1na是首项为2，公比为2的等第 5 页 共 14 页 比数列，由此求得na，然后利用裂项求和法求得nT，进而求得k的取值范围.【详解】解：依题意1+112nnaa，当1n 时，11a，则1+12a，所以数列+1na是首项为2，公比为2的等比数列，+12nna，即21nna，所以111+12112221212121nnnnnnnnaaa，所以12231111111212121212121nnnT 11113
9、213n，所以k的取值范围是1,3.故选：C.二、多选题 9已知双曲线 C：2213xy，下列对双曲线 C判断正确的是（）A实轴长是虚轴长的 2 倍 B焦距为 4 C离心率为3 D渐近线方程为30 xy【答案】BD【分析】根据双曲线的标准方程求出 a、b、c，可以求出实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程，对四个选项一一验证即可.【详解】双曲线 C：2213xy23a.21b.2224cab2c.双曲线的实轴长是22 3a，虚轴长是21b，A 错误；焦距为24c.B 正确；离心率为2 33ca，C 错误：渐近线方程为33yx，D 正确.故选：BD 10已知两圆方程为224xy与222(3)(
10、4)(0)xyrr，则下列说法正确的是（）A若两圆外切，则3r B若两圆公共弦所在的直线方程为3420 xy，则=5r C若两圆的公共弦长为2 3，则19r D若两圆在交点处的切线互相垂直，则4r 第 6 页 共 14 页【答案】AB【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设圆224xy为圆1C，圆1C的圆心为10,0C，半径12r.设圆222(3)(4)(0)xyrr为圆2C，圆2C的圆心为23,4C，半径1rr.125CC.A 选项，若两圆外切，则1212,52,3CCrrr r，A 选项正确.B 选项，由22222434xyxyr两式相减并化简得229340
11、2rxy，则22292,25,52rrr，此时2121123,7,37rrrrCC，满足两圆相交，B 选项正确.C 选项，由22222434xyxyr两式相减并化简得2293402rxy，10,0C到直线2293402rxy的距离为2229229510rrd，所以222212 32,43,1rddd，即22291,291010rr，则解得19r 或39r，C 选项错误.D 选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为D，根据圆的几何性质可知12C DC D，所以2222212125421,21rC DC Crr，D 选项错误.故选：AB 11已知平面上一点5,0M，若直线上存在点P使4PM，则
12、称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（）A1yx B2y C43yx D21yx【答案】BC【分析】所给直线上的点到定点M距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离来分析，分别求出定点M到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于 4，即可得第 7 页 共 14 页 出答案.【详解】所给直线上的点到定点M距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离来分析 A因为5 13 242d，故直线上不存在点到M距离等于4，不是“切割型直线”；B因为24d，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”；C因为
13、2220434d，直线上存在一点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”；D因为1111 5455d，故直线上不存在点到M距离等于4，不是“切割型直线”故选：BC.12若直线3yxm是曲线30yxx与曲线260yxnxx 的公切线，则（）A2m B1m C6n D7n 【答案】AD【分析】设直线3yxm与曲线30yxx相切于点3,a a，与曲线260yxnxx 相切于点,3bbm，再由导数为 3 求解.【详解】解：设直线3yxm与曲线30yxx相切于点3,a a，与曲线260yxnxx 相切于点,3bbm，对于函数30yxx，23yx，则2330aa，解得1a，所以313m，即2m .对于函数
14、260yxnxx，2 yxn，则230bnb，又2632bnbb，所以232632bbbb，又0b，所以2b，7n.故选：AD 第 8 页 共 14 页 三、填空题 13已知椭圆2213xy的上顶点为 A，左顶点为 B，则直线AB的斜率为_.【答案】33【分析】依题意可得3a，1b，即可得到上顶点A，左顶点B的坐标，即可求出AB的斜率；【详解】解：因为椭圆方程为2213xy，所以23a，21b，即3a，1b，所以椭圆的上顶点为0,1A，左顶点为3,0B，所以1333ABk；故答案为：33 14各项均为正数的等比数列，若19563924a aa aa a，则65aa_.【答案】2【解析】根据等比
15、数列性质化简为2564aa，开方即可.【详解】解：由各项均为正数的等比数列得219563956252566224a aa aa aaa aaaa 所以562aa.故答案为：2【点睛】应用等比数列性质解题时的 2 个关注点：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则mnpqaaaa”，可以减少运算量，提高解题速度；（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用.15过点4,3作圆22(2)1xy的两条切线，切点分别为,A B，则直线AB的方程为_.【答案】2350 xy【分析】先求得切线
16、长，然后结合圆与圆的位置关系求得正确答案.【详解】圆22(2)1xy的圆心为2,0C，半径1r，设 4,3D，222313CD,所以切线长为221312 3，以D为圆心，半径为2 3的圆的方程为224312xy，第 9 页 共 14 页 即2286130 xyxy，圆22(2)1xy即22430 xyx，由-得直线AB的方程为46100 xy，即2350 xy.故答案为：2350 xy 16已知曲线C：3f xxaxa，若过曲线C外一点1,0A引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a的值为_【答案】278【分析】设切点为3,t tata，由导数的几何意义求切线的斜率，根据倾斜角关系求 a
17、.【详解】设切点坐标为3,t tata由题意，知 23fxxa，切线的斜率为23kta，所以切线的方程为 323ytatataxt 将点1,0代入式，得 3231tatatat，解得0t或32t 分别将0t和32t 代入式，得ka 和274ka由题意，得274aa ，得278a 故答案为：278.四、解答题 17直线l经过两直线1l：0 xy和2l：2320 xy的交点.(1)若直线l与直线310 xy 平行，求直线l的方程；(2)若点3,1A到直线l的距离为 5，求直线l的方程.【答案】(1)340 xy(2)125340 xy或2x 【分析】（1）求出交点坐标，设直线l的方程为：30 xy
18、m，代入交点即可求出；（2）当直线l的斜率不存在时，符合条件，当l斜率存在时，设直线l的方程为：22yk x，利用点到直线的距离公式列方程求解.第 10 页 共 14 页【详解】（1）直线1l方程与2l方程联立02320 xyxy,得交点坐标为2,2 设直线l的方程为：30 xym，代入交点2,2得4m，所以l的方程为340 xy（2）当直线l的斜率不存在时，得l的方程为：2x，符合条件.当l斜率存在时，设直线l的方程为：22yk x，根据25151kdk，解得125k，所以直线l的方程为125340 xy.综上所述，l为125340 xy或2x 18已知函数3(),(1)2,(1)2f xa
19、xaxb ff(1)求 f(x)的解析式；(2)求 f(x)在(1,(1)f处的切线方程【答案】(1)3()2f xxx；(2)240 xy.【分析】(1)对函数()f x求导，利用给定条件列式计算即可得解.(2)利用(1)的结论求出切点坐标、切线斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线方程.【详解】（1）由3()f xaxaxb求导得：2()3fxaxa，又(1)2,(1)2ff，则222ba，解得1,2ab，所以()f x的解析式为3()2f xxx.（2）由(1)得，2()31xfx，则(1)2,(1)2ff，()f x在(1,(1)f处的切线方程为22(1)yx，即240 xy，所以 f
20、(x)在(1,(1)f处的切线方程是：240 xy.19已知数列 na是等差数列，其中24a，且459aaa.(1)求数列 na的通项公式na；第 11 页 共 14 页(2)设142nannnba a，求数列 nb的前 n项和nT.【答案】(1)2nan；(2)144133nnnTn.【分析】（1）利用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；（2）由（1）有1141nnnnb，应用分组求和、裂项相消法及等比数列前 n 项和公式求nT.【详解】（1）由题设，1114278adadad，可得12ad，所以 na的通项公式2 2(1)2nann .（2）由（1）知：11144(1)1nnnn
21、nnnb，所以12.nnTbbb，令111111.22311nMnnn，24(14)4(41)44.4143nnnN，所以144133nnnTn.20如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD 底面ABCD，侧棱2PAPD，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中/BC AD，ABAD，1ABBC，O为AD的中点 （1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值；（2）求B点到平面PCD的距离【答案】（1）63；（2）33【解析】（1）利用面面垂直的性质定理可得PO平面ABCD以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量
22、计算所求；（2）利用PB在平面 PCD 的法向量上的投影计算求解.【详解】解：（1）在PAD中，PAPD，O为AD的中点，第 12 页 共 14 页 所以POAD 又因为侧面PAD 底面ABCD，平面PAD 平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD 在PAD中，PAPD，2PAPD，所以2AD 在直角梯形ABCD中，O为AD的中点，所以1OABC，所以OCAD 以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则0,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0PABCD，所以1,1,1PB 因为OAOP，OAOC，O
23、POCO，所以OA平面POC 所以0,1,0OA 为平面POC的一个法向量，3cos,3|PB OAPBOAPB OA，所以PB与平面POC所成角的余弦值为63（2）因为1,1,1PB ，1,0,1CP ，0,1,1PD，设平面PCD的一个法向量为,ux y z，则00u CPxzu PDyz 取1z，得1,1,1u 则B点到平面PCD的距离33PB udu 【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，利用空间向量求线面角和点到平面的距离，求平面的法向第 13 页 共 14 页 量是关键点，易错点，利用向量在平面的法向量上的投影求点到平面的距离是常用的方法.21已知数列 na的前 n 项和31nnS，
24、其中*Nn(1)求数列 na的通项公式；(2)设12nnbna，数列 nb的前 n项和为nT，若存在*Nn且2n，使得 2111nTnn n成立，求实数的最小值【答案】(1)12 3nna；(2)3.【分析】（1）根据给定前 n 项和，利用na与nS的关系求解作答.（2）利用错位相减法求出nT，再借助数列单调性求出最小值作答.【详解】（1）依题意，当2n时，111(31)(31)2 3nnnnnnaSS，而1112aS 满足上式，所以数列 na的通项公式是12 3nna.（2）由（1）知，1(21)3212nnnbann，0121133353(21)3nnTn，则有123131 33 35 3
25、(23)3(21)3nnnTnn ，两式相减得：231212(3333)(21)3nnnTn 13(1 3)12(21)3(22)321 3nnnnn ，于是得(1)31nnTn，*Nn且2n，2111nTnn n2 3(1)nn n，令2 3(1)nncn n，2n，则136331222nncncnn，即1nncc，当2n时，数列 nc是递增数列，即min2()3ncc，因此，3，所以实数的最小值是 3.【点睛】方法点睛：如果数列 na是等差数列，nb是等比数列，求数列nna b的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 nb的公比，然后作差求解 第 14 页 共
26、14 页 22已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，且椭圆 C 经过点6(1,)2（）求椭圆 C 的方程;（）已知过点4,0P的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，与直线1x 交于点 Q，设APPB，(,)AQQB R，求证：为定值【答案】（）22142xy；（）证明见解析【解析】（）由离心率得22222caba，由椭圆过一点6(1,)2得221614ab，两者结合可解得,a b，得椭圆方程；（）设直线l方程为(4)yk x，设1122(,),(,)A x yB xy，直线方程代入椭圆方程后可得1212,xxx x，由APPB，AQQB，把,用12,x x表示，然后
27、计算并代入1212,xxx x即可得证【详解】（）由题意2222221614abaab，解得22ab，椭圆方程为22142xy；（）易知直线l斜率存在，设其方程为(4)yk x，设1122(,),(,)A x yB xy，由22142(4)xyyk x，消元y整理得2222(12)163240kxk xk，21221612kxxk，212232412kx xk，把1x 代入(4)yk x得3yk，即(1,3)Qk，由APPB，得124(4)xx，1244xx，由AQQB，得121(1)xx，1211xx，11121222224125()841(4)(1)xxx xxxxxxx22222264880812120(4)(1)kkkkxx，为定值【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程为(4)yk x，设1122(,),(,)A x yB xy，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得1212,xxx x，把它代入题中需求的量化简可得结论