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1、江苏省南京师范大学附属中学 2022 届高三下学期 5 月模拟 数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合2430AxxxZ，3,4B，则AB（）A 1,2 B1,2,3,4 C3 D3,4 2设 i 是虚数单位，复数z满足2 i5z，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知1sincos5xx，则cos2 x（）A2425 B725 C725 D725 4在边长为 2 的等边ABC中，D为线段BC上的动点，DEAB且交AB于点E，DFAB且交
2、AC于点F，则2BEDF的值为（）A1 B32 C2 D52 5 已知点A，B是双曲线2222:10,0 xyCabab的左右顶点，过点B作倾斜角为3的直线l交C于点P，点M是线段AP的中点.若OMOA，则该双曲线的离心率为（）A2 B3 C2 D31 6将座位号为 1，2，3，4，5 的五张电影票全部分给甲乙丙三个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（）A24 B36 C72 D120 7某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式，该不等式描述的是对非负的随机变量X和任意的正数a，都有,P Xaf E Xa，其中,f E Xa是关于数学期望 E X和a
3、的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定,f E Xa的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据自己的理解，确定该形式为（）A aE X B 1aE X C aE X D E Xa 8平面直角坐标系中，点集sin2cos,Rcos2sinxMx yy ，则点集M所覆盖的平面图形的面积为（）A3 B4 C8 D9 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9若数列 na满足：对,*i jN，若ij，则ijaa，称数列 na为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列 na是“鲤鱼跃
4、龙门数列”的有（）A241nann B12nnan Csin nan Dln1nnan 10如图，圆柱的底面半径和高均为 1，线段AB是圆柱下底面的直径，点O是下底面的圆心.线段EF是圆柱的一条母线，且EOAB.已知平面经过A，B，F三点，将平面截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”.记平面与圆柱侧面的交线为曲线C.则（）A曲线C是椭圆的一部分 B曲线C是抛物线的一部分 C二面角FABE的大小为4 D马蹄体的体积为V满足134V 11已知函数 sin0,0,02fxAxA.如下四个命题 甲：该函数的最大值为2；乙：该函数图像的两条对称轴之间的距离的最小值为；丙：该函数图象关于5,03对称；丁
5、：该函数图像可以由sin 2cos2yxx的图象平移得到.有且只有一个是假命题，那么下列说法正确的是（）A函数56fx是偶函数 B的值可唯一确定 C函数 f x的极小值点为2 Z6kk D函数 f x在区间,6 3上单调递增 12已知点P是坐标平面xOy内一点，若在圆22:1O xy上存在A，B两点，使得PAkAB（其中k为常数，且0k），则称点P为圆O的“k倍分点”.则（）A点2,0Q不是圆O的“3倍分点”B在直线:2l yx上，圆O的“12倍分点”的轨迹长度为2 2 C在圆22:61Dxy上，恰有 1 个点是圆O的“2 倍分点”D若m：点P是圆O的“1 倍分点”，n：点P是圆O的“2 倍分
6、点”，则m是n的充分不必要条件 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13命题“1x，21x”的否定是_.14若多项式29108100129102222xxaaxaxaxax，则8a _.15已知 2023f xx.设实数0m，若对任意的正实数x，不等式 lnemxxffm恒成立，则m的最小值为_.16法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”.在ABC中，60A，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O，2O，3O，则13O AO_；若123O
7、O O的面积为3，则三角形中ABAC的最大值为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知正项数列 na的前n项和nnSAqB，其中A，B，q为常数.(1)若0AB，证明：数列 na是等比数列；(2)若11a，24nnaa，求数列nna的前n项和nT.18自 1980 年以来我国逢整十年进行一次人口普查，总人口等指标与年份如下表所示：指标 1980 1990 2000 2010 2020 年份数x 1 2 3 4 5 总人口y（亿）9.8 11.3 12.6 13.4 14.1 (1)建立总人口y关于年份数x的回归直线方程.(2)某市某街道青
8、年人（15-35 岁）中年人（36-64 岁）与老年人（65 岁及以上）比例约为3:2:1，为了比较中青年人与老年人购物方式，街道工作人员按比例随机调查了 120 位居民，购物方式统计如下表.实体店购物 网上购物 电视购物 其它 青年人 15 35 4 中年人 15 8 2 老年人 2 2 1 将实体店购物视作传统购物方式，网上购物电视购物和其它方式视作新兴购物方式.根据所给数据，补充上表并完成下面的22列联表：传统购物方式 新兴购物方式 总计 中青年人（15-64 岁）老年人（65 岁及以上）总计 并请判断是否有 99.9%的把握认为该街道居民购物方式与其是否为老年人有关？参考公式：1122
9、211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnx，aybx.22n adbckabcdacbd，其中nabcd .参考数据：12.24y，51194.3iiix y 20P kk 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，60ADC，PAD为等边三角形，O为线段AD的中点，且平面PAD 平面ABCD，M是线段PC上的点.(1)求证：OMBC；(2)若直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为1010，求四棱锥MABCD的体积.20在AB
10、C中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足2tan1tancAbB.(1)求角A；(2)角A的内角平分线交BC于点M，若4 7a，3 3AM，求sinAMC.21如图，已知离心率为32的椭圆2222:10 xyMabab的左右顶点分别为AB，P是椭圆M上异于AB的一点，直线APBP分别交直线:4l x 于CD两点.直线l与x轴交于点H，且36AH AC.(1)求椭圆M的方程；(2)若线段CD的中点为E，问在x轴上是否存在定点N，使得当直线NPNE的斜率NPkNEk存在时，NPNEkk为定值？若存在，求出点N的坐标及NPNEkk的值；若不存在，请说明理由.22已知 ln1f xxax
11、 aR，sing xx.(1)讨论 f x的单调性；(2)若函数 f x与 g x的图象恰有一个交点，求a的取值范围.1页 参考答案：1B 2D 3D 4C 5A 6B 7D 8B 9BD 10AC 11ABD 12BCD 13“1x，21x”14179 151e#1e 16 120 4 17(1)当2n时，11nnSAqB，则1111nnnnnnaSSAqBAqBA qq，又正项数列 na，则0q 且1q，当1n 时，11aSAqB，又0AB，则11aA q，也符合11nnaA qq，则11nnaA qq，11nnA qqa，则1nnaqa，故数列 na是以1A q为首项，q为公比的等比数列
12、；(2)由（1）知：当2n时，11nnaA qq，则121nnA qqa，由24nnaa可得24q，又正项数列 na可得0q，则2q，12(2)nnaAn，则34aA，又11a，314aa可得1A，则12(2)nnan，1n 时也符合，则12nna，则01211 2223 22nnTn ，12321 2223 22nnTn ，2页 两式相减得0123112222222212112nnnnnnTnnn，则11 2nnTn.18(1)由题意得：123453,12.245xy ，故515221194.35 3 12.241.07555 9iiiiix ynx ybxnx ，则12.241.0739.
13、03aybx，故总人口y关于年份数x的回归直线方程为1.079.03yx；(2)由题意可得列联表如下：传统购物方式 新兴购物方式 总计 中青年人（15-64岁）30 70 100 老年人（65 岁及以上）15 5 20 总计 45 75 120 故222120(30 5 15 70)14.410.82845 75 100 20n adbckabcdacbd，结合临界值表可知有 99.9%的把握认为该街道居民购物方式与其是否为老年人有关.19(1)因为PAD为等边三角形，O为线段AD的中点，所以POAD；因为平面PAD 平面ABCD，所以PO 平面ABCD；又BC 平面ABCD，所以POBC；在
14、OCD中，1,2,60ODCDADC，由余弦定理可得3OC，因为222OCODCD，所以COAD；3页 因为/ADBC，所以COBC，所以BC 平面POC；因为OM 平面POC，所以OMBC.(2)由（1）得,OP OC OD两两垂直，以O为坐标原点，建系如图，则 0,1,0,0,0,3,3,2,0,3,0,0APBC；3,1,0,3,0,3,0,1,3ABPCAP；设PMPC，则3,1,33AMAPPM；设平面PAB的一个法向量为,nx y z，则00n ABn AP，3030 xyyz，令3y，则1,3,1n.因为直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为1010，所以1010n AMn AM，
15、即22 310105664，解得13或23（舍），即有13PMPC，M是靠近P的三等分点，所以四棱锥MABCD的高等于OP的23.四棱锥MABCD的体积为112 3422 2 sin603233V .20(1)由正弦定理及切化弦可得sin2sinsincossincossincossin()cos11sinsinsincossincossincoscosACABBAABABABBBABABAB ，又sin()sin()sin,sin0,sin0ABCCBC，则2sinsinsinsincosCCBBA，即1cos2A，又0,A，则 4页 3A；(2)13sin24ABCSbcAbc，又6BAM
16、CAM，113 33 3 sin3 3 sin224ABCABMACMSSScBAMbCAMbc，可得3()bcbc，又由余弦定理得22222211261121cos2262bcbcbcbcbcaAbcbcbc，解得16bc（负值舍去），则48bc，可得412bc或124bc，又sinsinAMCAMB，显然当4b 或 12 时，sinAMC的值相同，不妨设12b，则4c，由正弦定理得sinsincaCBAC，可得2 3sin4 7C，又sinsinAMbCAMC，可得2 7sin7AMC.21(1)由题意知：2cos36AH ACAHACCAHAH，则6AH，又(4,0)H，则(2,0)A，
17、故2a，又离心率为32ca，则3c，2221bac，故椭圆M的方程为2214xy；(2)易得(2,0),(2,0)AB，设00(,)P xy，(,0)N n，由直线NPNE的斜率NPkNEk存在知0,4nx n，又直线APBP斜率必存在，则直线00:(2)2yAP yxx，令4x，得0062yyx，则006(4,)2yCx，直线00:(2)2yBP yxx，令4x，得0022yyx，则002(4,)2yDx，又00000002062224424yyxxx yyx，则00020444,4x yyEx，5页 则200000200002014444444NPNEknnxyx yyxxknxyxn，又
18、P是椭圆M上的一点，则220014xy，即220044yx，故0014NPNExnnkxk，故当1n 时，NPNEkk为定值13，此时(1,0)N.22(1)易得1x ，1111axafxaxx，当0a 时，101ax恒成立，f x在1,单调递增；当0a 时，令 101axafxx，解得1axa，令 101axafxx，解得1axa，则 f x在11,aa单调递增，在1,aa单调递减；综上：当0a 时，f x在1,单调递增；当0a 时，f x在11,aa单调递增，在1,aa单调递减；(2)函数 f x与 g x的图象恰有一个交点，等价于()()()h xf xg x有一个零点，)ln1sin(
19、)()(hxaxf xg xxx，显然(0)0h，即函数()h x除 0 之外无其他零点，os(c)11axxh x，令1(s)1coaxxm x，21sin1()xxm x ，当10 x 时，2111x，则21sin0()1xxm x ，即()h x在1,0单调递减，当0a 时，当10 x 时，ln(1)0,sin0 xx，则ln1)in(s0h xxaxx，当0 x时，ln(1)0,sin0 xx，则ln1)in(s0h xxaxx，当x时，ln(1)1,ln(1)sin0 xxx，则ln1)in(s0h xxaxx，即()h x除 0 之外无其他零点，符合题意；当02a时，当0 x时，2
20、1sin0()1xxm x ，即()h x在0,上单调递减，又1(0)20,()101haha，则存在00,x使0()0h x，即()h x在00,x单增，0,x单减，又(0)0h，x 时，()h x ，6页 故()h x在0,至少存在 1 个零点，不合题意；当2a 时，当10 x 时，由上知()h x在1,0单调递减，()(0)20h xha，则()h x在1,0单调递增，即()(0)0h xh，当0 x 时，令()ln(1)n xxx，则1()1011xn xxx，即()n x单调递减，()(0)0n xn，即ln(1)xx，令()sint xxx，则()cos10t xx，即()t x单调递减，()(0)0t xt，即sin xx，则ln1)in(2s0h xxxx，即()h x除 0 之外无其他零点，符合题意；当2a 时，当10 x 时，由上知()h x在1,0单调递减，又1110 a，1cos101(1)haa，(0)20ha，则存在111,0 xa使1()0h x，即()h x在11,x单增，1,0 x单减，又(0)0h，1x 时，()h x ，故()h x在1,0存在 1 个零点，不合题意；综上：0a 或2a.