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1、北京市西城区北京师范大学附属实验中学 2022 届高三下学期热身练习 数学试题 一、选择题（共 10 小题；共 40 分）1已知集合|6AxN x，2|30BxR xx，则AB A3,4,5 B4,5,6 C|36xx D|36xx 2已知aR，13ai ii，(i为虚数单位)，则a（）A1 B1 C3 D3 3向量12abe e，在正方形网格中的位置如图所示，若12()abeeR，则（）A3 B13 C-3 D13 4设等差数列 na的前 n 项和为nS，若19a，642aa，则当nS取最大值 n 等于（）A4 B5 C6 D7 5已知抛物线22(0)ypx p的准线与圆22(3)16xy相
2、切，则 p 的值为 A12 B1 C2 D4 6设0.534a，0.543b，334loglog 4c 则（）Acba Babc Ccab Dacb 7设函数()3cosf xxbx，xR，则“0b”是“函数()f x为奇函数”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8已知圆锥的表面积为 3，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A3 B33 C33 D3 9已知圆 C：x2+y2+2x-4y+1=0，若在圆 C中存在弦 AB，满足 AB=23，且 AB的中点 M 在直线 2x+y+k=0上，则实数 k的取值范围是（）A-25，25 B-5，
3、5 C(-5，5)D-5，5 10 对于数列 na，若存在常数 M，使得对任意*nN，na与1na中至少有一个不小于 M，则记作 naM，那么下列命题正确的是（）A若 naM，则数列 na各项均大于或等于 M B若 naM，nbM，则2nnabM C若 naM，则 22naM D若 naM，则2121naM 二、填空题（共 5 小题；共 25 分）11在622xx的展开式中，常数项为_.12将函数()cos2f xx的图象向左平移(0)个单位长度，得到函数()g x的图象若函数()g x的图象关于原点对称，则的一个取值为_ 13设函数 5sin0,2f xxm x的零点为123,x xx，若1
4、23,x xx成等比数列，则m _.14在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界从 AlphaGo 到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid 函数 x即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：11exx下列关于 Sigmoid 函数的表述正确的是：_ Sigmoid 函数是单调递增函数；Sigmoid 函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为10,2；对于任意正实数 a，方程 xa有且只有一个解；Sigmoid 函数的导数满足：1xxx
5、15已知双曲线的中心是坐标原点，它的一个顶点为2,0A，两条渐近线与以 A 为圆心 1 为半径的圆都相切，则该双曲线的渐近线方程是_，该双曲线的标准方程是_ 三、解答题（共 6 小题；共 85 分）16在ABC中，sincos6bAaB.(1)求 B；(2)若5c，_.求 a.从7b，4C这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计 2020 年北斗全球系统建设将全面完成.如图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的 50 个点位的横、纵坐标误差的值，其中“”表
6、示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位：米）（）从北斗二代定位的 50 个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于 10 米的概率；（）从图中 A，B，C，D 四个点位中随机选出两个，记 X 为其中纵坐标误差的值小于4的点位的个数，求 X 的分布列和数学期望；（）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.（结论不要求证明）18如图，在三棱锥PABQ中，PB 平面 ABQ，2BABPBQ，D，C，E，F分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，ABBQ，PD 与 EQ交于点 G，PC与 FQ 交于点 H，连接 GH (1)求证：ABGH；(2)
7、求平面 PAB 与平面 PCD所成角的余弦值；(3)求点 A到平面 PCD的距离 19设函数 22f xalnxxax，其中.aR()若曲线 yf x在点 22f，处切线的倾斜角为4，求a的值;()已知导函数 fx在区间1 e，上存在零点，证明:当1xe，时，2f xe.20已知椭圆2222:10 xyCabab过点31,2P，设它的左右焦点分别为1F2F，左顶点为A，上顶点为B，且满足12156ABFF.（1）求椭圆C的标准方程和离心率；（2）过点6,05Q作不与y轴垂直的直线交椭圆C于MN(异于点A)两点，试判断MAN的大小是否为定值，并说明理由.21对于正整数n，如果*k kN个整数12
8、kaaa，满足121kaaan，且12kaaan，则称数组12kaaa，为n的一个“正整数分拆”.记12kaaa，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12nkfaaa，均为奇数的“正整数分拆”的个数为ng.()写出整数 4 的所有“正整数分拆”;()对于给定的整数4n n，设12kaaa，是n的一个“正整数分拆”，且12a，求k的最大值;()对所有的正整数n，证明:nnfg;并求出使得等号成立的n的值.(注:对于n的两个“正整数分拆”12kaaa，与12mbbb，当且仅当km且1122kmababab，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)1页 参考答案：1B 2C 3D 4B 5C 6C 7C
9、8C 9D 10D 1160 124 1322 14 15 0 xy 22122xy 16(1)因为sincos6bAaB，由正弦定理得：sinsinsincos6BAAB，因为0A，所以sin0A，所以sincos6BB，即31sincossin22BBB，即 31cossin022BB，即tan3B，又0B，所以3B.(2)若选，则 在 ABC中，由余弦定理得：2222cosbacacB，可得：25240aa，解得：=8a，或=3a（舍），可得=8a.若选，4C，则62sinsinsincoscossin34344ABC，由正弦定理：sinsinacAC，可得：56+2242a，解得：5
10、3+52a.17（）由图可得，在北斗二代定位的 50 个点中，横坐标误差的绝对值大于 10 米有 3 个点，2页 所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于 10 米的概率为30.0650；（）由图可得，A，B，C，D 四个点位中纵坐标误差值小于4的有两个点：C，D，所以 X 的所有可能取值为 0，1，2，0224106CP XC，112224213C CP XC，2224126CP XC，所以 X 的分布列为 所以 X 的期望为 1210121636E X ；（）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.18(1)因为 D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，所以
11、EFAB，DCAB，所以 EFDC 又因为 EF平面 PCD，DC平面 PCD，所以 EF平面 PCD 又因为 EF平面 EFQ，平面 EFQ平面 PCDGH，所以 EFGH，又因为 EFAB，所以 ABGH.(2)因为ABBQ，PB平面 ABQ，所以 BA，BQ，BP 两两垂直 以点 B为坐标原点，分别以 BA，BQ，BP 所在直线为 x轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系 3页 由2BABPBQ，则(2,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2)ADCP，所以(1,1,0),(1,1,2)ADDP ，(0,1,2)CP.设平面 PAB 的一个法向量为m，则可取(0,1
12、,0)m 设平面 PDC的一个法向量为n(x，y，z)，由0n DP，0n CP，得2020 xyzyz ，取 z1，得n(0，2，1)所以 cos,m n0202 5515m nm n，所以平面 PAB与平面 PCD所成角的余弦值为2 55(3)由点到平面的距离公式可得|020|2 555|AD ndn，即点 A到平面 PCD的距离为2 55.19 ()2ln2f xaxxax，故 22afxxax，42tan1242afa，故2a.()12220 xxaafxxaxx，即22,axe，存在唯一零点，设零点为0 x，故 000220afxxax，即02ax，f x在01,x上单调递减，在0,
13、x e上单调递增，故 0220000i0000m nln22ln22axxaxxxf xf xxxx 4页 200002ln2xxxx，设 22 ln2g xxxxx，则 2ln2gxxx，设 2ln2h xgxxx，则 220hxx，h x单调递减，1 12hg，故 2ln20gxxx恒成立，故 g x单调递减.2ming xg ee，故当1xe，时，2f xe.20（解：（1）根据题意得222222213141526ababcabc，解得213abc，所以椭圆C的方程为2214xy，离心率32e；（2）因为直线不与 y 轴垂直，所以直线的斜率不为0，设直线MN的方程为65xty，设11,M
14、 x y22,N xy，联立方程226514xtyxy，化简得22126440525tyty.显然点6,05Q在椭圆C的内部，所以0.则1221254tyyt，12264254y yt.又因为2,0A，所以112,AMxy，222,ANxy.所以12121212442255AM ANxxy ytytyy y2222121226414816441610525254ttttty yyyt，所以AMAN，即90MAN是定值.5页 21()整数 4 的所有“正整数分拆”为：1,1,1,1，1,1,2，1,3，2,2，4.()当n为偶数时，123.2kaaaa时，k最大为2nk；当n为奇数时，1231.
15、2,3kkaaaaa时，k最大为12nk；综上所述：n为偶数，k最大为2nk，n为奇数时，k最大为12nk.()当n为奇数时，0nf，至少存在一个全为 1 的拆分，故nnfg；当n为偶数时，设12,.,ka aa是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了1,1,.,1和121,1,.,1,1,.,1kaaa的均为奇数的“正整数分拆”，故nnfg.综上所述：nnfg.当2n 时，偶数“正整数分拆”为 2，奇数“正整数分拆”为 1,1，221fg；当4n 时，偶数“正整数分拆”为2,2，4，奇数“正整数分拆”为1,1,1,1，1,3 故442fg；当6n 时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故nnfg.综上所述：使nnfg成立的n为：2n 或4n.