《2022-2023学年江苏省扬州中学高三上学期1月月考数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年江苏省扬州中学高三上学期1月月考数学试题(解析版).pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、江苏省扬州中学 2022-2023 学年度 1 月月考试题 高三数学 2023.01 试卷满分：150 分，考试时间：120 分钟 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1已知复数3iz（i为虚数单位），则22zz的共轭复数的模是（）A1 B3 C5 D7 2已知集合ln12,Z3sinAxxByyx，则AB（）A0,1,2,3 B0,3 C3 D 3设123,a a a R，则“123,a a a成等比数列”是“2222212231223aaaaa aa a”的（）A充分
2、而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了 400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在 50分至 100 分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组中值（组中值=(区间上限+区间下限)/2）计算），下列说法正确的是（）A直方图中 x 的值为 0.035 B在被抽取的学生中，成绩在区间70,80的学生数为30 人 C估计全校学生的平均成绩为 83 分 D估计全校学生成绩的样本数据的 80%分位数约为 95 分 5已知0,2，且tan32cos4，则sin2（）A13 B16
3、 C13 D23 6.在平面直角坐标系 xOv 中，M 为双曲线224xy右支上的一个动点，若点 M 到直线20 xy的距离大于 m 恒成立，则实数 m 的最大值为（）A.1 B.2 C.2 D.22 7如图是一个由三根细棒PA、PB、PC组成的支架，三根细棒PA、PB、PC两两所成的角都为60，一个半径为1的小球放在支架上，则球心O到点P的距离是（）A32 B2 C3 D2 8 已知函数 f x及其导函数 fx的定义域均为 R，且52fx是偶函数，记 g xfx，1g x也是偶函数，则2022f的值为（）A2 B1 C0 D2 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
4、.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9 如图，在正方体1111ABCDABC D中，E为1AA的中点，则（）A11/A D平面BEC B1AB 平面BEC C平面11AA B B 平面BEC D直线1DD与平面BEC所成角的余弦值为55 10 已知函数 2sin02f xx的一条对称轴为3x，则（）A f x的最小正周期为 B 104f C f x在 2,33上单调递增 D6xfx 11已知数列 na中，12a，21212nnaa，则关于数列 na的说法正确的是（）A25a
5、B数列 na为递增数列 C221nann D数列11na的前 n项和小于34 12已知函数 sinf xx，0g xkx k，若 f x与 g x图象的公共点个数为n，且这些公共点的横坐标从小到大依次为1x，2x，nx，则下列说法正确的有（）A若1n，则1k B若3n，则33321sin2xxx C若4n，则1423xxxx D 若22023k，则2024n 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13已知52212xax展开式中的各项系数和为 243，则其展开式中含2x项的系数为_.14已知2,1,3,ababa,则a与b的
6、夹角为_ 15已知12,0,0FcF c为椭圆2222:1xyCab的两个焦点，P为椭圆 C 上一点（P 不在 y 轴上），12PFF的重心为 G，内心为 M，且12/GMF F，则椭圆 C的离心率为_ 16 对于函数()f x和()g x，设|()0 xf x，|()0 x g x，若存在、，使得|1，则称()f x与()g x互为“零点相邻函数”.若函数1()e2xf xx与2()3g xxaxa互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围为_.四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17已知数列 na
7、满足，12(1)nnnaa .(1)若11a，数列 2na的通项公式；(2)若数列 na为等比数列，求1a.18 记锐角ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，sinsintancoscosACBAC(1)求B；(2)求2a cab的取值范围 19 密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励李华参加了一次密室逃脱游戏，他选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为 A，B，C，他们通过三关的概率依次为：2 1 1,3 2 3若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过只有依次通过
8、 A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励现已知参加一次游戏的报名费为 150 元，最终奖励为 400 元 为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币 游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关购买一枚通关币需另付 100 元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收 (1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率(2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）20 图 1 是直角梯形 ABCD，ABCD，90D，2AB，3DC，3AD，2CEED，以
9、 BE为折痕将BCE折起，使点 C 到达1C的位置，且16AC，如图 2.(1)求点 D到平面1BC E的距离；(2)若113DPDC，求二面角PBEA的大小.21已知点1,2Q是焦点为 F 的抛物线 C：220ypx p上一点(1)求抛物线 C的方程；(2)设点 P是该抛物线上一动点，点 M，N 是该抛物线准线上两个不同的点，且PMN的内切圆方程为221xy，求PMN面积的最小值 22已知函数 lnf xxaxa，其中Ra(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若 f x在0,1上的最大值为 0，求 a 的取值范围；若2()31f xkxax恒成立，求正整数 k的最小值 参考答案：1C【详解】
10、因为3iiz ，所以22212i112iizz ，所以22zz的共轭复数为1 2i，1 2i5，所以22zz的共轭复数的模是5.2A【详解】由ln12x，可得201ex，则21e1Axx 又Z3sin3,2,1,0,1,2,3Byyx，所以0,1,2,3AB.3A【详解】若123,a a a成等比数列，则2213aaa，所以22221223aaaa22113133aaaaaa 113133aaaaaa 21313aaa a22132aaa2132aaa21223a aa a；若1230aaa,满足2222212231223aaaaa aa a，但是不满足123,a a a成等比数列（因为等比数
11、列中不能含有 0）“123,a a a成等比数列”是“2222212231223aaaaa aa a”的充分不必要条件，4D【详解】对于 A：根据学生的成绩都在 50 分到 100 分之间的频率和为1，可得 10(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1，解得 x=0.03，故 A 错误；对于 B：在被抽取的学生中，成绩在区间70,80的学生数为 100.015400=60 人，故 B 错误；对于 C：估计全校学生的平均成绩为 550.05+650.1+750.15+850.3+950.4=84 分；故 C 错误.对于 D：全校学生成绩的样本数据的 80%分位数约为0.29010
12、950.4分.故 D 正确.5 D【详解】设4，3,44，则4，tan32cos4，即tan3cos 23sin22，sin6sincoscos，sin0，故21cos6，22sin2sin 2cos212cos23 .6.B【详解】由点 M到直线20 xy的距离大于 m恒成立，可得点 M到直线20 xy的最近距离大于 m.因为双曲线的渐近线为yx，则yx与20 xy的距离222d 即为最近距离，则2m，即max2m.7C【详解】如图所示，连接,AB AC BC，作ABC所在外接圆圆心1O，连接1,AO AO，设PAx，由PA、PB、PC两两所成的角都为60可得ABACBCx，因为1O为ABC
13、几何中心，所以13 2332333AOABABx，易知对1PAO和POA，1,90PPPO APAO ，所以1PAOPOA，所以1PAPOAOAO，即133xPOx，解得3PO.故选：C 8C【详解】因为52fx是偶函数，所以(52)(52)fxfx，两边求导得5(52)5(52)fxfx，即(52)(52)fxfx，所以(52(52)gxgx），即()(4)g xgx ，令2x 可得(2)(2)gg ，即(2)0g，因为1g x为偶函数，所以(1)(1)g xgx ，即()(2)g xgx ，所以(4)(2)gxgx ，即()(2)g xg x ，(4)(2)()g xg xg x ，所以
14、4 是函数()g x的一个周期，所以(2022)(2022)(505 42)(2)0fggg,9ACD 10ABD【详解】因为函数21 cos(22)11()sin()cos(22)222xf xxx，因为函数 2sin02f xx的一条对称轴为3x，所以22,()3kkZ，解得：,()23kkZ，又因为02，所以1,6k，则11()cos(2)232f xx，对于A，函数()f x的最小正周期T，故选项A正确；对于B，1111(0)2224f，故选项B正确；对于C，因为233x，所以52+33x，因为函数cosyt 在5(,)3上单调递减，故选项C错误；对于D，因为11()cos2622f
15、xx，令11()()cos2622g xxf xxx，当0 x 时，11()cos222g xxx，则 1 sin20g xx，所以()g x在0,)上单调递增，则()(0)0g xg，也即()6xf x，当0 x 时，11()cos222g xxx ，则 1 sin20g xx，所以()g x在(,0)上单调递减，则()(0)0g xg，也即()6xf x，综上可知：6xfx恒成立，故选项D正确，11BCD【详解】由21212nnaa，得21221nnaa，即1221nnaa，又12a，122a 所以2na 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，所以22(1)11nann，即221nann
16、，所以27a，故 A 错误，C 正确；212nan，所以 na为递增数列，故 B 正确；21111 1112222nannn nnn，所以数列11na的前 n 项和为11111111111.232435112nnnn 1111311131221242124nnnn，故 D 正确.12BCD【详解】对于 A：当1k 时，令sinyxx，则cos10yx，即函数sinyxx有且仅有一个零点为0，同理易知函数sinyxx 有且仅有一个零点为0，即 f x与 g x也恰有一个公共点，故 A 错误；对于 B：当3n时，如下图：易知在3xx，且3,2x，f x与 g x图象相切，由当,2x 时，sinf
17、xx，则 cosfxx，gxk，故333cossinkxxkx，从而33tanxx，所以222333332333333cos1tan1tan112tantantancostansin2xxxxxxxxxxx，故 B 正确；对于 C：当4n 时，如下图：则10 x，42x，所以142xx，又()f x图象关于x对称，结合图象有32xx，即有32142xxxx，故 C 正确；对于 D：当22023k时，由20232023()122fg，()f x与()g x的图象在y轴右侧的前 1012 个周期中，每个周期均有 2 个公共点，共有 2024个公共点，故 D 正确.1380 14.4 15.12 【
18、详解】设000,0P x yx，由于G是12PF F的重心，由重心坐标公式可得00,33xyG，由于12/GMF F，所以M的纵坐标为03Myy，由于M是12PF F的内心，所以12PF F内切圆的半径为03yr，由椭圆定义得12212,2PFPFa F Fc，2 12 1210120122111223PF FMF FMF PMPFySSSSFFyFFPFFP，001222232yc yacace 1623a【详解】因为(1)0f，且函数1()e2xf xx为单调递增函数，所以1为函数1()e2xf xx的唯一零点，设函数2()3g xxaxa的零点为b，又因为函数1()e2xf xx与2()
19、3g xxaxa互为“零点相邻函数”，所以|1|1b，解得02b，所以函数2()3g xxaxa在(0,2)上有零点，所以(0)(2)0gg或2022430aaa 或 20224300020aaagg，即733a或2a 或23a，所以23a.17【详解】（1）由题意得 121nnnaa，所以 22212122211nnnnnaaaaaaaa 212212121211nn 2 11 .（2）设数列 na的公比为q，因为 121nnnaa，所以212aa，322aa，两式相加得2311aaqa，所以1q ，当1q 时，2112aaa不成立，所以1q ，2112aaa，解得11a.18【详解】（1）
20、因为sinsintancoscosACBAC，即sinsinsincoscoscosBACBAC，所以sincossincoscossincossinBABCBABC，即sincoscossincossinsincosBABABCBC，所以sin()sin()BACB，因为0A，0B，所以BA，同理得CB，所以BACB或()()BACB（不成立），所以2BAC，结合ABC得3B （2）由余弦定理2221cos22acbBac得，222acacb，所以222acacb，则2222222()1a caacacbcbbbb，由正弦定理得，sin2 3sinsin3cCCbB，因为3B，23AC，02
21、A，02C，所以62C，1sin12C，所以32 333cb，2()2133a cab，19.【详解】（1）由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种：在第一关使用；在第二关使用；在第三关使用；没有使用.而通过三关的概率依次为：2 1 1,3 2 3，则李华通过该游戏的概率11121121221113233233233232P （2）购买两枚通关币的费用为 200 元，报名费为 150 元，则收益可能为：1400(150200100)150 x（未使用通关币过关），2400(15020050)100 x（使用 1 枚通关币且过关），3400(15020050）x（使用 2 枚通关币且过关），4(
22、150200350）x （使用 2 枚通关币且未过关），则12111(150)3239p x 2117(100)2918p x 31111122127(50)32332332318p x 41121(350)3239p x 则17()150100918E x 13255035018997.所以他最终获得的收益期望值是3259元.20【详解】（1）解：如图所示：连接 AC，交 BE于 F，因为90D，2AB，3DC，3AD，2CEED，所以 AE=2，又ABCD，所以四边形 ABCE 是菱形，所以ACBE，在ACD中，222 3ACADCD，所以3AFCF，又16AC，则2221ACAFCF，所
23、以1C FAF，又AFBEF，所以1C F 平面ABED，设点 D到平面1BC E的距离为 h，因为1113233,13222C BEDBESS ，且11CDBED C BEVV，所以111133C BEDBEhSC FS，解得32h；（2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：则133,0,0,0,3,0,1,0,0,1,0,3,0,022DCBEA，所以3,1,0,0,2,0BABE，因为113DPDC，所以133,2,3133BPBDBDDPDC，设平面 BEP 的一个法向量为,mx y z，则00m BEm BP，即20332033yxyz，令1x，得1,0,1m，易知平面 BEA的一个
24、法向量为0,0,1n，所以2cos,2m nm nmn，则3,4m n，易知二面角PBEA的平面角是锐角，所以二面角PBEA的大小为4.21.【详解】（1）因为点1,2Q是抛物线 C：220ypx p上一点，所以42p，解得：2p，所以24yx.（2）设点00,P x y，点1,Mm，点1,Nn，直线PM方程为：0011ymymxx，化简得0000110ym xxyymm x PMN的内切圆方程为221xy，圆心0,0到直线PM的距离为1，即002200111ymm xymx 故222220000001211ymxymm ymxmx 易知01x，上式化简得，20001210 xmy mx 同理
25、有20001210 xny nx，m，n是关于t的方程20001210 xty tx的两根 0021ymnx，0011xmnx 222200200414411xyMNmnmnmnxx2004yx，20000220004116412(1)1(1)xxxxMNxxx，点00,P x y到直线=1x的距离为01dx，所以PMN面积为22200000022004114111212211xxxxxSMN dxxx，令010 xt t，则22222444640161032ttttSttttt，因为2222161628tttt，4040102 1040tttt，当且仅当2t 取等，所以840324 5S.故
26、PMN面积的最小值为4 5 22.【详解】（1）1fxax，若0a ，则有 0fx ，f x 单调递增；若0a，11axafxaxx，当10 xa 时，0fx ，f x 单调递增，当1xa 时，0fx ，f x 单调递减；（2）由（1）的讨论可知，当0a 时，f x 单调递增，在0,1x，max10f xf，满足题意；当11a 时，在0,1x，max10f xf，满足题意；当101a 时，即1a，在0,1x，max11ln1ln1f xfaaaaa ，令 ln1g xxx，则 111xgxxx ，当1x 时，gx 0，g x 单调递增，10g xg，即ln1 0aa ，不满足题意；综上，a的取
27、值范围是1a ；由题意，1k ，2ln31xaxakxax，即2ln121kxxax ，考虑直线21yax 的极端情况 a=1，则2ln2kxxx，即2ln2xxkx，令 2ln2xxh xx，3122lnxxhxx，显然 1 22lnk xxx 是减函数，333222124721033eeek ，4413202eek ，存在唯一的043211,eex 使得 00h x，当0 xx 时，h x 0，当0 xx 时，h x 0，001 22ln0 xx，002max012xh xh xx，max43211eehh xh ，即 max24h x，故 k的最小值可能是 3 或 4，验算23ln20 xxx，由于ln1xx，223ln2331xxxxx，233 40 ，223ln23310 xxxxx ，满足题意；综上，a的取值范围是1a ，k 的最小值是 3.