《2022-2023学年皖豫名校联盟高二上学期阶段性测试(二)数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年皖豫名校联盟高二上学期阶段性测试(二)数学试题(解析版).pdf（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 17 页 2022-2023 学年皖豫名校联盟高二上学期阶段性测试（二）数学试题 一、单选题 1直线l：20 xy与两坐标轴围成的三角形的面积是（）A5 B4 C3 D2【答案】D【分析】分别求出与两坐标轴交点即可得到面积.【详解】令0 x，得=2y，令0y，得2x 由题可知直线l与两坐标轴的交点分别为(0,2)，(2,0)，所以该直线与两坐标轴围成的三角形的面积是12222.故选：D.2已知在空间四边形ABCD中，12CGCD，则2BDBCAB（）A2AG B2GC C2BC D12BC【答案】A【分析】根据12CGCD得到 G为 CD的中点，再利用平行四边形法则得到2BDB
2、CBG，最后代入计算即可.【详解】因为12CGCD，故 G为 CD的中点，如图，由平行四边形法则可得2BDBCBG，所以 222ABBDBCABBGAG.故选：A.3已知圆22129xy关于直线10axby 对称，且点 1,1在该直线上，则实数a（）A3 B2 C2 D3【答案】D【分析】根据圆关于直线对称可知圆心在直线上,代入圆心和点 1,1,即可求解.第 2 页 共 17 页【详解】圆22129xy的圆心为1,2，依题意，点1,2 在直线10axby，因此210ab ，即21ab，又10ab ，所以3a ，2b .故选：D 4已知点1,2A，5,8B，若过点1,0C的直线与线段AB相交，则
3、该直线的斜率的取值范围是（）A1,2 B,12,C,21,D,12,【答案】B【分析】求出两极端位置时的斜率，即1ACk，2BCk，则得到相交时其斜率范围.【详解】过点 C的直线与线段 AB 相交，2011 1ACk ，8025 1BCk，又该直线与x轴垂直时，斜率不存在，所以该直线的斜率的取值范围为,12,.故选：B.5若圆2211xy与圆2224440 xymxm有且仅有一条公切线，则实数m（）A-1 B1 C1 D0【答案】D【分析】利用配方法，结合两圆公切线的性质进行求解即可.【详解】将2224440 xymxm化为标准方程得2224xmy，即圆心为2,0m，半径为2，圆2211xy的
4、圆心为0,1，半径为 1.因为圆2211xy与圆2224440 xymxm有且仅有一条公切线，所以两圆的位置关系为内切，所以2411m ，即20m，解得0m.故选：D 6在长方体1111ABCDABC D中，1112ABADAA，则直线BC与平面1ACD所成角的余弦值为（）第 3 页 共 17 页 A23 B23 C53 D63【答案】C【分析】以D为坐标原点，建立合适空间直角坐标系，写出相关向量，求出平面1ACD的一个法向量为2,1,2n，计算2cos,3AD n，则可得到线面夹角正弦值.【详解】以D为坐标原点，DA，DC，DD的方向为 x，y，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则
5、1,0,0A，0,2,0C，0,0,0D，10,0,1D，1,0,0AD ，1,2,0AC ，11,0,1AD .设平面1ACD的法向量为,nx y z，则1200AC nxyAD nxz ，令1y，解得2x，2z，2,1,2n.22cos,1 33AD nAD nADn，BCAD，直线BC与平面1ACD所成角的余弦值为251 cos,3AD n.故选：C.7 某公司要建一个以甲、乙、丙三地为顶点的大型三角形养鱼场，若甲、乙两地之间的距离为 12km，且甲、丙两地的距离是乙、丙两地距离的2倍，则这个三角形养鱼场的面积最大是（）A272km B272 2km C278km D278 2km【答案
6、】B【分析】建立直角坐标系，求出点 C的轨迹，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】以点 A，B，C分别表示甲、乙、丙地，以线段 AB 的中点 为原点，线段 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系，如图，则6,0A，6,0B，设点,C x y，则2ACBC，第 4 页 共 17 页 即2222626xyxy，整理可得2218288xy，点 C的轨迹是以点18,0为圆心，12 2为半径的圆除去与x轴的交点后所得曲线，2112 12 272 2 km2ABCS.故选：B 8已知抛物线2:4C yx的焦点为F，点M在C上，点P的横坐标为1，点Q的纵坐标为0，若M
7、FQMPF，则MF（）A4 B3 C2 2 D2【答案】A【分析】根据抛物线方程可确定焦点和准线，知P在准线上，根据全等关系和抛物线定义可确定MPl，由此可证得MPF与MFQ为全等的等边三角形，则可得直线MF方程，与抛物线方程联立可求得M点坐标，由抛物线焦半径公式可求得结果.【详解】由抛物线方程知：焦点1,0F，准线:1l x ，MFQMPF，MFMPMQ，MFQMPF，又P点横坐标为1，即P在准线l上，由抛物线定义知：MPl，即/MP x轴，PMFMFQ，第 5 页 共 17 页 PMFMPF，PFMF，MPF与MFQ为全等的等边三角形，直线MF方程为：31yx，由2431yxyx得：13x
8、 或3x；当13x 时，2PMF，不合题意，3x，即M点横坐标为3，3 14MF.故选：A.二、多选题 9已知空间中三点1,2,1A，1,3,1B，2,4,2C，则（）A向量AB与AC互相垂直 B与BC方向相反的单位向量的坐标是3 111111,111111 CAC与BC夹角的余弦值是6611 DBC在AB上的投影向量的模为6【答案】ABC【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合投影向量的定义、空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】由已知可得2,1,0AB，1,2,1AC ，3,1,1BC .因为220AB AC ，所以AB与AC互相垂直，故 A 正确；9 1 111BC ，所以与BC方
9、向相反的单位向量的坐标是13 1111113,1,1,11111111，故 B 正确；32 16AC BC，11BC，6AC，所以666cos,11611AC BCAC BCAC BC，故C 正确；BC在AB上的投影向量的模为555BC ABAB，故 D 错误.故选：ABC 10已知曲线C：22163xykkkR，则（）第 6 页 共 17 页 A若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，则C的焦距为2 3 B若曲线C表示椭圆，则k的取值范围是3,6 C若2k，则C的焦点坐标是3,0和3,0 D若5k，则C的渐近线方程为3yx 【答案】AC【分析】根据椭圆和双曲线的方程特征，列方程组，判断 AB；代入
10、2k 和5k，得到曲线方程，根据性质判断 CD.【详解】A.由题可得60k，30k，解得36k，则26ak，23bk，3c，则 C的焦距为2 3，A 正确；B.若曲线 C表示椭圆，则6303kkk，B 错误；C.当2k 时，曲线C：2214xy，则24a，21b，则223cab，所以C的焦点坐标是3,0和3,0，C 正确；D.当5k 时，曲线C：2212yx 表示双曲线，则其渐近线方程为2yx，D 错误.故选：AC 11已知圆1C：22214xy与圆2C：2224440 xyxmymmR，则（）A若圆2C与x轴相切，则2m B若1m，则圆1C与圆2C相交 C当12m 时，两圆的公共弦长为3 D
11、直线320kxyk与圆1C始终有两个交点【答案】BD【分析】由圆2C的方程得圆2C是以2,2m为圆心，2 为半径的圆，分析选项中图形的位置关系判断正误.【详解】由题可知圆2C：22224xym是以2,2m为圆心，2 为半径的圆，若圆2C与 x轴相切，则有22m，所以1m ，故 A 错误；当1m 时，221200334C C，两圆相交，故 B 正确；第 7 页 共 17 页 当12m 时，两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为0y，圆心1C到直线0y 的距离为 1，所以两圆的公共弦长为222212 3，故 C 错误；直线320kxyk过定点3,2，而22322 124，故点3,2在圆1C内部，
12、所以直线320kxyk与圆1C始终有两个交点，故 D 正确.故选：BD.12已知椭圆C：222210 xyabab的左顶点为A，左、右焦点分别为1F，2F，点3,2M在C上，且直线 AM 的斜率为333.点 P 是椭圆 C上的动点，则（）A椭圆C的离心率为32 B若15AP，则点P的横坐标的取值范围是1,3 C12PF PF的取值范围为3,6 D椭圆C上有且只有 4 个点P，使得12PFF是直角三角形【答案】CD【分析】由条件列方程求,a b，根据离心率的定义求离心率，判断 A，由条件求点P的横坐标的取值范围，判断 B，利用数量积的坐标运算公式计算12PF PF，结合椭圆的范围，判断 C，讨论
13、直角位置，确定满足条件的点P的个数，判断 D.【详解】由题意可知直线AM的方程为33233yx，令0y，可得3x，则3a，又椭圆 C 过点3,2M，所以23419b，解得26b，所以 C的方程为22196xy.设椭圆C的半焦距为0c c，则3c，椭圆C的离心率为33ca，故 A 错误；设点P的坐标为00,xy，则2200196xy，又15AP，所以2200315xy，所以2200236153xx，又033x，解得003x，故点 P的横坐标的取值范围是0,3，故 B 错误；又13,0F，23,0F，则2222120000003133033PF PFxxyxyx，因为033x，所以200,9x，所
14、以123,6PF PF，故 C 正确；若12PFF为直角三角形，且点P为直角顶点，则120PF PF，故203031x，该方程无解，故以点第 8 页 共 17 页 为直角顶点的12PF F不存在，又当点P的坐标为3，2或32，时，12PFF是以点1F为直角顶点的三角形，当点P的坐标为3 2，或32，时，12PFF是以点2F为直角顶点的三角形，所以 C 上有且只有 4 个点 P，使得12PFF是直角三角形，故 D 正确.故选：CD.三、填空题 13已知空间向量0,6,0a，1b，22 7ab，则a与b的夹角为_.【答案】23【分析】根据向量相乘的数量积与向量模的关系即可求解.【详解】由题可知6a
15、，因为22 7ab，所以2244364 6 cos,428aa bba b ，所以1cos,2a b ，又,0,a b，所以a与b的夹角为23.故答案为：23.14已知椭圆C：222210 xyabab的短轴长为 6，1F，2F是椭圆 C 的两个焦点，点 M 在 C上，若12MFMF的最大值为 16，则椭圆 C的离心率为_.【答案】74【分析】根据基本不等式，结合椭圆的定义，得216a，再根据条件，求出,b c，即可求椭圆的离心率.【详解】因为122MFMFa，所以212212162MFMFMFMFa（当且仅当124MFMF时，等号成立）.由题可知26b，所以3b，又222abc，解得7c，所
16、以74cea.故答案为：74 第 9 页 共 17 页 15已知直线0 xymmR与圆C：2229xy交于 A，B 两点，则ABC的面积的最大值为_.【答案】92【分析】由直线与圆相交根据圆心到直线得距离小于半径可得m的取值范围，再有弦长公式求出弦长AB，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再代入面积公式得出面积与m的关系式，利用基本不等式即可求出面积的最大值.【详解】圆C：2229xy的圆心坐标为0,2，半径3r.由圆心到直线0 xym的距离232md，解得3 223 22m.直线0 xym被圆截得的弦长为22222222 92 922mmrd，所以ABC的面积22222222222
17、1192 999222222222mmmmmmS，当且仅当2222922mm，即5m 或 1 时取“=”.故答案为：92 16已知1F，2F分别为双曲线C：222210,0 xyabab的左、右焦点，过点2F且斜率为3的直线l与双曲线C的右支交于 P，Q两点，若1FPQ是等腰三角形，则双曲线C的离心率为_.【答案】1312【分析】根据双曲线的定义，结合等腰三角形的性质，分两种情况，分别求得焦半径的长度，再根据直线的倾斜角，根据余弦定理，列式求双曲线的离心率.【详解】不妨设点 在第一象限，双曲线 C 的半焦距为0c c，因为l与 C的右支有两个交点，C的一条渐近线的斜率3ba，则 C的离心率22
18、2abea.若1QFPQ，根据双曲线的定义知122QFQFa，所以222PQQFPFa，所以1224PFaPFa，122F Fc.由题可知12120FF P，在12PFF中，由余弦定理可得222116442 222aacac，整理得2230ccaa，即230ee，解得1312e（负值舍去），此时，2e满足条件.第 10 页 共 17 页 若1PFPQ，则与上面的分析类似可得14QFa，22QFa，在12QFF中，1260F F Q，再由余弦定理求得1312e，此时2e不满足条件.综上可得1312e.故答案为：1312 四、解答题 17已知在ABC中，边 BC 和 AC所在的直线方程分别为310
19、0 xy和20 xy，边 AB的中点为1 7,2 2Q.(1)求点A，B的坐标；(2)求 BC边上的中线所在的直线l的方程.【答案】(1)1,3A，2,4B；(2)250 xy.【分析】（1）根据中点坐标公式，通过解方程组进行求解即可；（2）根据直线的点斜式方程，结合解方程组进行求解即可.【详解】（1）因为边 AB的中点为1 7,2 2Q.设11,A x y，22,B xy，则111222121122201310021374xyxxyxxxyyyy，即1,3A，2,4B；（2）设边 BC 的中点为 G.由于边 BC和 AC所在的直线方程分别为3100 xy和20 xy，所以两直线方程联立，解得
20、4x，=2y，即 C点的坐标为4,2.又 B 点的坐标为2,4，所以G点的坐标为3,1.又 A 点的坐标为1,3，第 11 页 共 17 页 所以直线l的方程为3 1131 3yx ，即250 xy.18如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，线段 DB的中点为 F，点 G 在棱 CD 上，且满足2CGGD.(1)若 E 为棱1CC的中点，求证：1EFBC；(2)求直线1AF与1C G所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)2 7839.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质进行计算证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1
21、）如图，以 D为原点，DA，DC，1DD所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则0,2,1E，12,2,2B，0,2,0C，1,1,0F.因为1,1,1EF ，12,0,2BC ，所以 11,1,12,0,22020EF BC .所以1EFBC，故1EFBC.第 12 页 共 17 页（2）由（1）中的坐标系及题意可知12,0,2A，10,2,2C，1,1,0F，20,03G.因为11,1,2AF ，140,23C G.所以114481,1,20,24333AF C G ，又16AF，12 133C G，所以11111182 783cos,392 1363AF C GAF
22、 C GAF C G，故直线1AF与1C G所成角的余弦值为2 7839.19已知圆M：22230 xyrr过点0,4T，且圆M关于直线l：10 xy 对称的圆为圆C.(1)求圆C的方程；(2)若过点4,4P的直线l被圆C截得的弦长为 8，求直线l的方程.【答案】(1)221225xy(2)4x 或3440 xy 【分析】（1）将点0,4T代入圆M方程求得半径，利用圆心关于直线对称求圆C方程即可；（2）由弦长公式得出圆心到直线的距离，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据距离公式求解即可.【详解】（1）由题可知3,0M.因为圆M过点0,4T，所以2223425r，故=5r，设M关于直线l的对称
23、点C的坐标为,a b，则3102213abba ，解得12ab，所以圆C的方程为221225xy.（2）因为过点4,4P的直线l被圆C截得的弦长为 8，所以圆心1,2C到直线l的距离为22543，第 13 页 共 17 页（）当直线l的斜率不存在时，其方程为4x，满足题意；（）当直线l的斜率存在时，可设其方程为44yk x，即440kxyk，所以圆心1,2C到l的距离为23631kk，解得34k .综上所述，直线l的方程为4x 或3440 xy.20已知抛物线C：220ypx p，直线20 xy与抛物线 C 相交于 A，B 两点，且4 6AB.(1)求抛物线 C的方程；(2)若点 P的坐标为2
24、,4，过抛物线焦点的直线l交 C于 M，N 两点，求PM PN的最小值.【答案】(1)24yx(2)13 【分析】(1)联立抛物线和直线方程结合韦达定理得42ABxxp，4A Bx x，已知弦长4 6AB，解出 P即可.(2)设直线方程为1xty，联立抛物线方程得124yyt，124y y ，代入PM PN表达式，转化为求函数最小值.【详解】（1）由220,2,xyypx可得24240 xp x.42ABxxp，4A Bx x.2221 124242164 6AAABBBABxxxxx xp，解得2p（负值舍去），抛物线 C的方程为24yx.（2）设11,M x y，22,N xy.由题意知抛
25、物线24yx的焦点坐标为1,0，直线l的斜率不等于 0，故可设直线l的方程为1xty，由24,1,yxxty可得2440yty，由根与系数的关系得124yyt，124y y ，第 14 页 共 17 页 12122244PM PNxxyy 1212121224416x xxxy yyy 222212121212244164444yyyyy yyy 221212121212124416162y yyyy yy yyy 2222414844 1616816218113162ttttt，当1t 时，PM PN取得最小值，且最小值为 13.【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线的最值问题，先假设直线方程，并
26、先考虑与坐标轴平行的特殊情况，将直线与曲线方程联立得到韦达定理，再将要求的最值问题转化为函数最值问题.21如图，在三棱锥PABC中，ABC是斜边为 AC 的等腰直角三角形，PAC是边长为 4 的等边三角形，且4PB，O为棱 AC的中点.(1)证明：PO平面 ABC；(2)问：在棱 BC 上是否存在点 M（不与棱 BC的端点重合），使得平面 PAM 与平面 PAC的夹角为 30?若存在，指出点 M的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点 M 在棱 BC的靠近点 B 的三等分点处 【分析】（1）由线面垂直的判定定理：若直线垂直于平面内的两条相交的直线，则直线与平面垂直，
27、即可证明；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可证明存在并可确定点 M的位置.【详解】（1）由题可知ABBC，ABBC，且4AC，2 2ABBC.连接 BO，如图，则BOAC，且2BO.第 15 页 共 17 页 PAC是边长为 4 的等边三角形，4PAPCAC，POAC，且2 3PO.从而有222PBPOBO，故POOB.OBACO，PO平面ABC.（2）假设存在满足题意的点M.由（1）可知，可以 为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0,2,0A，0,0,2 3P，0,2,0C，2,0,0B.2,2,0BA ，0,2,2 3PA
28、，2,2,0BC .设2,2,0BMBC，01.则 2,2,02,2,022,22,0AMBMBA .设平面 AMP的法向量为,nx y z，则22 3022220n PAyzn AMxy 令1z，得3(1),3,11n.易知平面PAC的一个法向量为1,0,0m.平面 PAM 与平面 PAC的夹角为 30，第 16 页 共 17 页 23131cos3023111 31m nm n ，解得13或3（舍去），存在，且点 M 在棱 BC的靠近点 B的三等分点处.22已知椭圆E：222210 xyabab的左焦点为F，左顶点为3,0，离心率为33.(1)求E的方程；(2)若过坐标原点O且斜率为0k
29、k 的直线l与 E交于 A，B两点，直线 AF与E的另一个交点为C，ABC的面积为4 65，求直线AF的方程.【答案】(1)22132xy(2)10 xy 或10 xy 【分析】（1）由左顶点为3,0得3a，再根据离心率为33cea，求出c值，则得到b值，则求出E的方程.（2）设直线方程为1xty，联立椭圆方程得2223440tyty，设11,A x y，22,C xy，则得到韦达定理式，利用弦长公式得到21224 3123tyyt，则有222 312 6235AOCtSt，解出即可.【详解】（1）设椭圆 E 的半焦距为0c c.因为椭圆E的左顶点为3,0，所以3a.又离心率33cea，所以1
30、c.所以2222bac，所以E的方程为22132xy.（2）由（1）可知，设直线AF的方程为1xty.由221236xtyxy消去x并整理得2223440tyty.设11,A x y，22,C xy，第 17 页 共 17 页 则122423tyyt，122423y yt，所以2221212122224164 314232323ttyyyyy yttt.因此212212 3112 622325AOCABCtSOF yySt，解得21t，即1t ，所以直线AF的方程为10 xy 或10 xy.【点睛】关键点睛：第二问通常采取设线法，为了减少计算，我们引入参数t，设直线AF的方程为1xty，联立椭圆得到方程2223440tyty，则得到韦达定理式，再利用弦长公式得到其面积相关方程，解出参数t即可.