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1、第 1 页 共 10 页 2022-2023 学年天津市第四十二中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1已知数列3151,1,42 16，则这个数列的第 8 项为（）A18 B116 C964 D1132【答案】B【分析】依据前五项的规律写出数列的通项公式，由通项公式求出数列的第 8 项即可.【详解】由已知条件得 数列0112，1212 ，23342，31422，455,162 11(1)2nnnna，则98781(1).216a 故选：B.2我们常用函数 yf x的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x 由0 x改变到0 xx时，函数值的改变量y（）A0f xx
2、B 0f xx C 0f xx D 00f xxf x【答案】D【分析】根据平均变化率的概念即可得出结果.【详解】由题意知，当0 xx时，0yf x；当0 xxx时，0yf xx，故 00yf xxf x.故选 D.3若抛物线 2yax的准线方程为1y，则实数a（）A14 B12 C4 D2【答案】A【分析】先将抛物线方程化为标准方程，求得准线方程为14ya，由题意可得a的方程，解得即可求解.第 2 页 共 10 页【详解】因为抛物线 2yax的方程可化为：21xya，所以准线方程为：14ya，由题意可知：114a，解得：14a ，故选：A.4数列na中，123,7aa，当1n 时，2na等于
3、1nnaa的个位数字，则2021a（）A1 B3 C7 D9【答案】C【分析】根据题意可知数列na是周期型数列，进而求出2021a.【详解】由题意可得，数列na中项分别为：3,7,1,7,7,9 3,7,1,7,7,9；故可知数列na是周期为6的周期数列，202157aa.故选：C 5数列 na是等比数列，54a，916a，则7a（）A8 B8 C8 D1【答案】A【解析】分析出70a，再结合等比中项的性质可求得7a的值.【详解】设等比数列 na的公比为q，则2750aa q，由等比中项的性质可得275964aa a，因此，78a.故选：A.6设椭圆 C1的离心率为513，焦点在 x 轴上且长
4、轴长为 26，若曲线 C2上的点到椭圆 C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2的标准方程为（）A22221135xy B2222186xy C2222143xy D2222148xy【答案】C【分析】根据双曲线的定义求得正确答案.【详解】椭圆的焦点在x轴上，长半轴为13，由于椭圆的离心率为513，所以椭圆的半焦距为5，焦距为10，由于曲线 C2上的点到椭圆 C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，810，第 3 页 共 10 页 所以曲线2C的轨迹是双曲线，且实轴长为8，半实轴长为4，所以虚半轴长为22543，所以曲线2C的标准方程为2222143xy.故选：C 7水以匀速注
5、入如图容器中，试找出与容器对应的水的高度与时间 的函数关系图象（）A B C D【答案】A【详解】试题分析：由于容器上细下粗，所以水以横速注入水，开始阶段高度增加的慢，以后高度增加的越来越快，因此与 图象越来越陡峭，原来越大，选【解析】函数的单调性与导数的关系.8下列求导运算正确的是（）A sincos55 B22cos32 sin33sin3xxxxxx C21tansinxx D2ln 2121xx 【答案】D【分析】利用基本初等函数、复合函数以及导数的运算法则可判断各选项的正误.【详解】对于 A 选项，sin05，A 错；第 4 页 共 10 页 对于 B 选项，22cos32 cos3
6、3sin3xxxxxx，B 错；对于 C 选项，2222sincossin1tancoscoscosxxxxxxx，C 错；对于 D 选项，2ln 2121xx，D 对.故选：D.9已知1F，2F分别是双曲线 C：22221(0,0)xyabab)的左、右焦点，过2F的直线与双曲线 C 的右支相交于 P、Q两点，且 PQ1PF若1PQPF，则双曲线 C 的离心率为（）A63 B52 2 C52 2 D12 2【答案】B【分析】由双曲线的定义可得：1222|2PFPFPQPFQFa，12|2QFQFa，于是可得1|4QFa，1245FQF，在12QFF中，由余弦定理可得22(52 2)ac，即可
7、求得离心率的值.【详解】因为1PQPF，1|PQPF，由双曲线的定义可得：1222|2PFPFPQPFQFa，12|2QFQFa，则1|4QFa，由121245,|2FQFFFc，在12QFF中，由余弦定理可得222216424242aaaac，化简得22(52 2)ac，所以双曲线的离心率2252 2cea.故选：B.第 5 页 共 10 页 二、填空题 10已知nS是等差数列 na的前 n 项和，且2410aa，39S，则 na的公差d _.【答案】2【分析】根据已知条件列方程，由此求得公差d.【详解】依题意得111310339adadad，解得1a1,d 2.故答案为：2 11已知双曲线
8、 C：2221(0)16xybb，其右焦点到渐近线的距离为4 3，则该双曲线的离心率为_【答案】2【分析】根据点到直线的距离公式求出b，并根据离心率公式求解即可.【详解】由于对称性，右焦点到两条渐近线的距离都为4 3，由题可知，过一三象限的渐近线为byxa，即0bxay，所以右焦点(,0)c到渐近线的距离为224 3bcbcbcab，又216a，228cab，824cea 故答案为:2.12已知等比数列na的前 n 项和为nS，若23S，316Sa，则6S _【答案】63【分析】利用等比数列的通项公式和前n项和公式即可求解.【详解】由已知条件得 2121231231136SaaaqSaaaa
9、qq，解得121qa，6616(1)1263112aqSq；故答案为：63.13已知 2ee13xxf xaxax是定义在 R 上的偶函数，则 0f_ 第 6 页 共 10 页【答案】2【分析】根据偶函数，得到 fxf x，列出方程，求出0a，从而求出 0f.【详解】由题意得：fxf x，即 22ee13ee13xxxxaxaxaxax，故60ax，解得：0a，故 2eexxf xx，则 002e00e2f.故答案为：2 14已知函数32()454f xxxx，经过点(2,2)A且与()f x相切的两条切线，斜率之和=_.【答案】1【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义求出切点坐标，得切线斜率
10、即可得【详解】设切点为00(,)M xy2()385fxxx，则2000()385fxxx，所以32200000000()2454238522f xxxxxxxx，320002101680 xxx，即2002120 xx，01x 或02x，()01f，2(2)3 28 251f ，切线斜率之和(1)(2)011ff 故答案为：1 15已知数列na是各项均不为零的等差数列，nS为其前n项和，且na21nS(*nN)若不等式8nnan对任意*nN恒成立，则实数的最大值为_【答案】9【分析】先求出21nan，再分离出，最后根据单调性求出最值即可.【详解】121221212121212nnnnnnnn
11、naaaSanaanaan，nN，8nnan就是82188215,215nnnnnnn在1n 时单调递增,其最小为9,所以9，故实数的最大值为9,第 7 页 共 10 页 故答案为：9【方法点晴】本题主要考查等差数列列的通项公式及前n项和公式以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法：分离参数()af x恒成立（min()af x即可）或()af x恒成立（max()af x即可）；数形结合（yf x 图象在 yg x 上方即可）；讨论最值min()0f x或max()0f x恒成立；讨论参数本题是先求出 na的通项公式再利用方法将求得的最大值 三、解答题 16数列an的前 n项和
12、为 Sn，a11，Sn14an2(nN*).（1）设 bnan12an，求证：bn是等比数列；（2）设 cn22nna，求证：cn是等差数列.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据na和nS之间的关系，an2Sn2Sn14an14an，带入整理可得12nnbb，即可得证；（2）由（1）知 bn32n1an12an，所以112322nnnnaa即 cn1cn3，即可得解.【详解】（1）an2Sn2Sn14an124an24an14an.可得1211111112442242222nnnnnnnnnnnnnnnbaaaaaaabaaaaaa，因为 S2a1a24a12，所以 a
13、25.所以 b1a22a13.所以数列bn是首项为 3，公比为 2 的等比数列.（2）由（1）知 bn32n1an12an，所以112322nnnnaa.所以 cn1cn3，且 c1112a2，所以数列cn是等差数列，公差为 3，首项为 2.17（1）求经过点(2,4)P 的抛物线的标准方程：（2）求一条渐近线为230 xy，且过点(1,1)的双曲线的标准方程；（3）求经过点(3，4 2)，(94，5)的双曲线的标准方程【答案】（1）28yx 或2xy；第 8 页 共 10 页（2）2215594yx;（3）221169yx.【分析】（1）根据点所在的象限设抛物线方程，代入点求p得解；（2）根
14、据渐近线方程设出双曲线方程，代入点求解；（3）设所求方程为221mxny，代入点求解.【详解】（1）因为(2,4)P 在第三象限，设所求抛物线方程为22ypx 或22xpy，点(2,4)P 代入22ypx，可得4p，点(2,4)P 代入22xpy，可得12p，、故所求抛物线的标准方程为28yx 或2xy.（2）因为一条渐近线为230 xy，所以设双曲线方程为2249xy，又过点(1,1)，代入方程可得5，故所求双曲线方程为2215594yx.（3）设所求双曲线方程为221mxny，则93218125116mnmn，解得11,916mn ，所以双曲线方程为221169yx.18已知na为等差数列
15、，前 n项和为nS(Nn)，nb是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，2312bb，3412baa，11411Sb(1)求na和nb的通项公式；(2)求数列221nna b的前 n项和nF；第 9 页 共 10 页(3)设221lognncb，nP为数列214nnnc c的前 n项和，求不超过2023P的最大整数 m【答案】(1)32nan，2nnb (2)1328433nnnF(3)2023m 【分析】（1）设等差数列na的公差为d，等比数列 nb的公比为q，0q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差、公比，进而得到所求通项公式；（2）求得221(31)4nn
16、na bn，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；（3）求得212log 221nncn2141111()22121nnnc cnn，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和nP，计算可得所求最大值【详解】（1）设等差数列na的公差为d，等比数列 nb的公比为q，0q，由2312bb，得21()12b qq，而12b，260qq 由0q，解得2q2nnb 由3412baa，可得138da，由11411Sb，可得1516ad，联立，解得11a，3d，由此可得32nan 数列na的通项公式为32nan，数列 nb的通项公式为2nnb （2）由262nan，12124nnb，有
17、221(31)4nnna bn，23245484(31)4nnFn ，23414245484(34)4(31)4nnnFnn ，上述两式相减，得2311112(14)324343434(31)44(31)4(32)4814nnnnnnFnnn 得1328433nnnF数列221nna b的前n项和1328433nnnF（3）由（1）知：21212nnb，则212log 221nncn 第 10 页 共 10 页 22221444111111()(21)(21)41(21)(21)22121nnnnnc cnnnnnnn ，1 111 111111()1()1()2 132 352 212121nnPnnnn，20232023202320234047P，不超过2023P的最大整数2023m