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1、第 1 页 共 17 页 2022-2023 学年甘肃省张掖市某重点校高二上学期 12 月月考数学试题 一、单选题 1在数列 na中，12a，1221nnana，则4a（）A23 B65 C1011 D2221【答案】C【分析】利用数列的递推公式逐项计算可得4a的值.【详解】由已知可得212213aa，322615aa，43210111aa.故选：C.2已知 01+31 12,limxfxffx 等于（）A1 B1 C3 D6【答案】D【分析】根据导数与极限的定义求解【详解】因为 12f，所以 001 31 3lim3lim311163xxfxffxffxx 故选：D 3在等差数列 na中，若
2、 567895aaaaa，则13S 的值等于（）A8 B10 C13 D26【答案】C【分析】根据等差数列的性质求出71a，然后根据等差数列前n项和公式1S2nnn aa结合等差数列的性质即可求出答案.【详解】因为567895aaaaa，所以755a，即71a，所以11371371313 2S131322aaaa.故选：C.4已知曲线23ln14xyx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A3 B2 C1 D12 第 2 页 共 17 页【答案】A【分析】求出原函数的导函数，设出斜率为12的切线的切点为0(x，0)y，0(0)x，由函数在0 xx时的导数等于12，求出0 x的值，舍掉定义
3、域外的0 x得答案【详解】解：函数23ln14xyx的定义域为0,，则32xyx，设斜率为12的切线的切点为0(x，0)y，0(0)x，所以003122xx，解得03x 或-2（舍去），所以切点的横坐标为 3.故选：A.5 吕氏春秋音律篇记载了利用“三分损益”制定关于“宫、商、角、徵、羽”五音的方法，以一段均匀的发声管为基数“宫”，然后将此发声管均分成三段，舍弃其中的一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音就是“徵”；将“徵”管均分成三份，再加上一份，即“徵”管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了“商”；“商”管保留分之二，“三分损一”，于是得出“
4、羽”；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角”.如果按照三分损益律，基数“宫”发声管长度为 1，则“羽”管的长度为（）A1627 B2716 C6481 D8164【答案】A【分析】由三分损一、三分益一的原理，基数“宫”发声管长度为 1，依次求出徵，商，羽的管长即可.【详解】按照三分损益原理：宫：1；徵：22133；商：2481339；羽：24216133327；故选：A.【点睛】本题考查了数学文化的知识，考查了理解辨析能力、逻辑推理能力、数学运算能力、数学的应用意识和解决问题的能力，属于一般题目.6已知函数 f x的导数为 fx，且()2(e)lnf xxfx，则 ef（）A1e
5、B1 C1 De 第 3 页 共 17 页【答案】B【分析】直接求导，令ex求出 ef，再将ex带入原函数即可求解.【详解】由()2(e)lnf xxfx得1()2(e)fxfx，当ex时，1(e)2(e)eff，解得 1eef ，所以2()lnexf xx，2e(e)lne1ef.故选：B 7已知椭圆2211632xy上存在两点M，N关于直线0 xyt 对称，且MN的中点在抛物线2xy上，则实数t的值为（）A0 或2 B2 C0 或 2 D2【答案】A【分析】利用点差法可得121212122yyyyxxxx，再由中点1212,22xxyyP在直线0 xyt，得出点P在直线2yx上，进而得出,
6、2Ptt，代入抛物线方程即可求解.【详解】设11,M x y，22,N xy，则221122221,16321,1632xyxy，两式作差得到，12121212101632xxxxyyyy，所以121212122yyyyxxxx，因为点M，N关于直线0 xyt 对称，所以直线MN的中点1212,22xxyyP在直线0 xyt，所以点P在直线2yx上，联立可得,2Ptt，又因为点P在抛物线2xy上，所以0t或2t ，故选：A.8若对任意的1x，2,xm，且12xx，都有122121lnln2xxxxxx，则 m的最小值是（）A1e Be C1 D3e【答案】A【分析】已知不等式变形为2121ln
7、2ln2xxxx，引入函数ln2()xf xx，则其为减函数，由导数求出()f x的减区间后可m的最小值【详解】因为120 xx，第 4 页 共 17 页 所以由122121lnln2xxxxxx，可得122121lnln22xxxxxx，121212ln2ln2xxxxxx，即2121ln2ln2xxxx 所以ln2()xf xx在(,)m 上是减函数，221(ln2)ln1()xxfxxx，当10ex时，()0fx，()f x递增，当1ex 时，()0fx，()f x递减，即()f x的减区间是1(,)e，所以由题意m的最小值是1e 故选：A 二、多选题 9在公比q为整数的等比数列 na中
8、，nS是数列 na的前n项和，若1432a a，2312aa，则下列说法正确的是（）A2q B数列2nS 是等比数列 C8510S D数列lgna是公差为2的等差数列【答案】ABC【分析】本题首先可根据1432a a 得出2332aa，与2312aa联立即可求出2a、3a以及q，A正确，然后通过122nnS即可判断出 B 正确，再然后通过等比数列求和公式即可判断出 C 正确，最后根据lglg2nan即可判断出 D 错误.【详解】因为数列 na是等比数列，所以142332aaaa，联立23233212aaaa，解得2384aa或2348aa，第 5 页 共 17 页 因为公比q为整数，所以24a
9、、38a、322aqa，12a，2nna，A 正确，12 1 22221 2nnnS，故数列2nS 是等比数列，B 正确；8982 1 2225101 2S，C 正确；lglg2lg2nnan，易知数列lgna不是公差为2的等差数列，D 错误，故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的相关性质，考查判断数列是否是等差数列与等比数列，考查等比数列求和公式的应用，考查计算能力，是中档题.10已知函数 f x是定义在R上的可导函数，其导函数为 fx，若 05f，且 2f xfx，则使不等式 32xf xe成立的x的值不可能为（）A2 B1 C1 D2【答案】AB【分析】首先根据条
10、件构造函数 2xfxF xe，由导数判断函数的单调性，不等式 32xf xe转化为 0F xF，利用单调性，即可求解x的值.【详解】解析：设 2xfxF xe，则 2xfxfxFxe.()()2f xfx，()()20fxf x，()0F x，即函数 F x在定义域R上单调递减.05f，03F，不等式 32xf xe等价于 23xfxe，即 0F xF，解得0 x.故不等式的解集为0,).故选：AB.11已知 O为坐标原点，抛物线24yx的焦点为 F，A，B为抛物线上的两个动点，M 为弦 AB的中点，对 A，B，M三点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 C，D，N，则下列说法正确的是（）A当
11、AB过焦点 F 时，MCD为等腰三角形 B若2AFBF，则直线 AB的斜率为3 第 6 页 共 17 页 C若120AFB，且2BFAF，则3 714MNAB D若AOF外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为94【答案】ACD【分析】对 A，根据中位线的性质可得；对 B，设出直线方程，与抛物线联立，根据向量关系求出点 B，代入直线可求出斜率；对 C，设AFa，由余弦定理求出AB，根据抛物线性质求出MN即可判断；对 D，求出圆心在12x 上，即可求出半径，得出面积.【详解】对 A，因为,AC MN BD都垂直于准线，所以/ACMNBD，又M是AB中点，所以N是CD中点，则MN是线段CD的垂直平
12、分线，所以MBMD，即MCD为等腰三角形，故 A 正确.对 B，若2AFBF，则F在直线AB上，设直线 AB方程为1xmy，联立方程组214xmyyx可得2440ymy，设 1122,A x yB x y，则12124,4yym y y，由2AFBF，可得11221,2 1,xyxy，可得122yy，解得22y ，代入抛物线方程得212x，则1,22B，代入1xmy可得24m ，故直线AB的斜率为22，故 B 错误；对 C，由抛物线定义可得,AFACBDBF，设AFa，则2BFa，因为120AFB，2222222cos1207ABaaaaa，即7ABa，因为M是AB中点，所以1322aMNAC
13、BD，所以33 72147aMNABa，故 C 正确；第 7 页 共 17 页 对 D，由外接圆性质可得，圆心一定在线段OF的垂直平分线上，即在直线12x 上，又外接圆与准线相切，所以半径为13122，所以圆面积为23924，故 D 正确.故选：ACD.12已知数列 na的前 n 项和为nS，前 n项积为nT，0na，且202021111212aa（）A若数列 na为等差数列，则20210S B若数列 na为等差数列，则10110a C若数列 na为等比数列，则20200T D若数列 na为等比数列，则20200a【答案】AC 第 8 页 共 17 页【分析】由不等关系式，构造11()212x
14、f x，易得()f x在 R上单调递减且为奇函数，即有220200aa，讨论 na为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前 n项和或积的符号即可.【详解】由202021111212aa，得2020211110212212aa，令11()212xf x，则()f x在 R上单调递减，而1121()212212xxxfx，12()()102121xxxfxf x，即()f x为奇函数，220200aa，当 na为等差数列，22020101120aaa，即10110a，且2202020212021()02aaS，故 A 正确，B错误；当 na为等比数列，201820202aa q，显然2
15、2020,a a同号，若20200a，则220200aa与上述结论矛盾且0na，所以前 2020 项都为正项，则202012020.0Taa，故 C 正确，D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200aa，基于该不等关系，讨论 na为等差、等比数列时项、前 n项和、前 n项积的符号.三、填空题 13等差数列 na的前n项和22nSnna，等比数列 nb的前n项和3nnTb，（其中a、b为实数）则ab的值为 _.【答案】1【分析】根据前n项和与通项的关系求出数列 na、nb的通项公式，可求得a、b的值，即可得解.【详解】当1n 时，11
16、3aSa，113bTb.当2n时，221212121nnnaSSnnannan，111332 3nnnnnnbTTbb，因为数列 na为等差数列，则132 1 1aa，可得0a，因为数列 nb为等比数列，则0132 3bb，可得1b.第 9 页 共 17 页 因此，1ab.故答案为：1.14若函数2()f xxax 在区间1,0上恰有一个极值点，则a的取值范围是_.【答案】2,0【分析】根据二次函数的对称性进行求解即可.【详解】二次函数2()f xxax 的对称轴为：22aaxx，要想函数2()f xxax 在区间1,0上恰有一个极值点，只需10202aa ，故答案为：2,0 15已知两个等差
17、数列 na和 nb的前 n 项和分别为nS，nT，且21nnSnTn，则35ab_.【答案】519【分析】由nS与nT的比值可求得等差数列 na和 nb的首项及公差，进而可求得3a，5b，求出其比值即可.【详解】解：设等差数列 na的首项为1a，公差为1d，等差数列 nb的首项为1b，公差为2d，则11(1)2nn nSnad，12(1)2nn nTnbd 故11111112221211(1)(1)()2222(1)(1)()2222nndddn nnadannaSn ndddTnbdbnnb 又已知21nnSnTn 不妨令1111202dda且2212212ddb 解得1112ad且1234
18、bd 故31151221225434419aadbbd 故答案为：519.16过双曲线222210,0 xyabab的左焦点 F作直线 l与双曲线交于 A,B两点,使得4ABb,若这样的直线有且仅有两条,则离心率 e的取值范围是_ 第 10 页 共 17 页【答案】51,5,2【分析】根据直线与双曲线相交的情形,分两种情况讨论:直线l与双曲线两支或者左支交于A,B两点,分别分析弦长与2a和通径的大小关系,列出不等式,再将2b代为22ca进而解出离心率范围即可.【详解】解:由题知过1F做x轴垂线交双曲线于,G H两点,如图所示:将xc 代入22221xyab可得:22,bbGcHcaa,22bG
19、Ha,由图可知GH是直线与双曲线左支相交时最短的弦长,当过左焦点的直线绕左焦点旋转至与双曲线两支交于 A,B两点时,如图所示 若满足直线有且仅有两条,只需AB小于GH,且AB大于2a即可,第 11 页 共 17 页 即24224ABbabABba,即22baab,两边同时平方,将222cab代替2b,即可得525ee,故5e;将过左焦点的直线继续绕左焦点旋转至与双曲线左支交于 A,B两点时如图所示,此时只需AB大于GH,且AB小于2a即可,即24224ABbabABba,即22baab,两边同时平方,将222cab代替2b,即可得525ee,1e,故512e,第 12 页 共 17 页 综上,
20、512e或5e.故答案为:51,5,2 四、解答题 17已知函数3(),(1)2,(1)2f xaxaxb ff(1)求 f(x)的解析式；(2)求 f(x)在(1,(1)f处的切线方程【答案】(1)3()2f xxx；(2)240 xy.【分析】(1)对函数()f x求导，利用给定条件列式计算即可得解.(2)利用(1)的结论求出切点坐标、切线斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线方程.【详解】（1）由3()f xaxaxb求导得：2()3fxaxa，又(1)2,(1)2ff，则222ba，解得1,2ab，所以()f x的解析式为3()2f xxx.（2）由(1)得，2()31xfx，则(1)
21、2,(1)2ff，()f x在(1,(1)f处的切线方程为22(1)yx，即240 xy，所以 f(x)在(1,(1)f处的切线方程是：240 xy.18已知抛物线22(0)ypx p的焦点为 F，点1,2Am在抛物线上，且OAF的面积为24p(O为坐标原点)(1)求抛物线的标准方程；(2)过点(2,0)M的直线交抛物钱 C于 A，B两点，O为坐标原点，记直线 OA，OB的斜率分别1k，2k，求证：12k k为定值【答案】(1)抛物线方程为 y2=2x；(2)证明见解析 第 13 页 共 17 页【分析】（1）求出点A的纵坐标，由三角形面积可求得p值得抛物线方程；（2）直线AB斜率显然不为 0
22、，因此设直线AB方程为2xty，1122(,),(,)A x yB xy，直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得12yy，12y y，再求得12x x，计算12k k即可证【详解】（1）A点抛物线上，所以2122ypp，yp，2112224OAFppSOF yp，因为0p，故解得1p，抛物线方程为22yx；（2）直线AB斜率显然不为 0，因此设直线AB方程为2xty，1122(,),(,)A x yB xy，由222xtyyx，得2240yty，所以122yyt，124y y ，22212121212(2)(2)2()44444x xtytyt y yt yytt，所以121212414y y
23、k kx x 为定值 19已知数列 na的前 n 项和为nS，12S，122nnSS(1)求数列 na的通项公式；(2)若2lognnba，数列 nb的前 n 项和为nT，求1231111nTTTT【答案】(1)2nna (2)21nn 【分析】（1）利用122nnSS，求出nS，再利用11,1,1nnna naSSn求出数列 na的通项公式；（2）将（1）中的na代入2lognnba化简得出数列 nb通项公式，求出数列 nb的前 n项和为nT，再求出1nT，最后利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）因为12S，122nnSS，所以1222nnSS，124S，所以数列2nS 是以 4 为首项，
24、2 为公比的等比数列，所以122nnS，122nnS，第 14 页 共 17 页 当2n时，122nnS，减得：2nna，当1n 时，12a 成立，所以2(N)nnan（2）由（1）知2nna，2lognnban，所以12nn nT，所以11121nTnn，所以12111nTTT 11111212231nn 1211n 21nn 20已知椭圆C：22221(0)xyabab过点3(1,)2P，离心率为12.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设12FF、分别为椭圆C的左、右焦点，过2F的直线l与椭圆C交于不同两点,M N，记1FMN的内切圆的面积为 S，求当 S取最大值时直线l的方程，并求出最大值
25、【答案】（1）22143xy；（2）max9:1,16l xS.【分析】（1）由题得出,a b c关系即可求出；（2）根据题意可得14F MNSr，可化为求1MNFS的最大值，设出直线方程1xty，代入椭圆，利用韦达定理表示1MNFS即可求出最大值.【详解】（1）由离心率12cea，222abc，可得2234ab，将3(1,)2P代入可得229141ab，则可得2,3,1abc，从而得椭圆C的标准方程为22143xy.（2）设1122(,),(,)M x yN xy，1FMN的内切圆半径为r，第 15 页 共 17 页 则11111()8422F MNSMNFMF Nrrr，所以要使 S 取最
26、大值，只需1MNFS最大.112121212F MNSFFyyyy.设直线l的方程为1xty，代入22143xy可得22(34)690tyty，0 恒成立，方程恒有解，12122269,3434tyyy ytt，所以12212122121434F MNtSyyy yt（），记21(1)mtm，则1212121313F MNmSmmm 在1,上递减，所以当1m 即0t时，1max()3F MNS，此时max9:1,16l xS.21 已知数列 na的前n项和为nS，2*2(21)2nnSnannN，数列 nb满足11ba，1nnnnba b (1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)设数列nn
27、ab的前n项和为nT，若不等式*942nnnTnN恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)22nnnanb，；(2)164，【详解】（1）2*2(21)2nnSnannN 当1n时，1112322aaa，当2n时，由221122122212(1)nnnnSnanSnan，得2212212122(1)nnnananann，即12nnaa，数列 na是公差为 2 的等差数列，122naan，由条件得111222nnnnbnbnbbb，即数列 nb是公比为 2 的等比数列，2nnb；（2）1222nnnnannb，第 16 页 共 17 页 则23123412222nnnT，2311123122222
28、2nnnnnT，2311111111221212222222212nnnnnnnnnT，1242nnnT，*942nnnTnN恒成立，则192544222nnnnnn恒成立，令 52nnf n，则 114561222nnnnnnf nf n，12678fffff，1()6764maxf nff，164，故实数的取值范围是164，22已知函数()ln(1),Rf xxxa xa (1)求函数()f x的单调区间；(2)若关于x的不等式()2f xa在2,上恒成立求a的取值范围；【答案】(1)()f x的单调增区间为1(0,)ae；单调减区间为1(,)ae(2)(,2ln 2；【分析】（1）分情况
29、讨论 a，然后用导数法求单调区间即可；（2）由()2f xa得ln1xxax，令ln(),21xxg xxx，则问题可转化为min()ag x成立，利用导数法求解()g x的最值即可求解；【详解】（1）当0a 时，()ln,(0)f xxx x，则()ln1fxx，由()0fx解得10 xe，由()0fx解得1xe，故()f x的单调增区间为1(0)e,，单调减区间为1(,)e；当0a 时，由()ln(1)f xxxa x，得()f x的定义域为(0,)，()(ln1)fxxa，第 17 页 共 17 页 令()(ln1)0fxxa 解得1axe，由()0fx解得10axe，由()0fx解得1
30、axe，故()f x的单调增区间为1(0,)ae，单调减区间为1(,)ae；经验证，0a 时，()f x的单调增区间也符合1(0,)ae，单调减区间也符合1(,)ae；综上可知：()f x的单调增区间为1(0,)ae，单调减区间为1(,)ae；（2）ln()2,1xxf xaax，令ln(),21xxg xxx，则21 ln()(1)xxg xx，令()ln1t xxx，则11()1xt xxx，由()0t x解得01x，由()0t x解得1x，故()t x在(0,1)递增，在(1,)递减，max()(1)0t xt，()0t x，所以ln1xx，()0,()g xg x在2,)上单调递增，g2minxg a22ln2g，a 的取值范围(,2ln 2.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围；（4）利用导数证明不等式