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1、天津市耀华中学 2022 届高三下学期二模 数学试题 一选择题（本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分）1已知集合13Axx，2650BxZ xx，则AB（）A B1,2,3 C(1,3 D2,3 2已知下列命题：命题：“(0,2)x，33xx”的否定是：“(0,2)x，33xx”；抛物线216yx的焦点坐标为(0,4)；已知xR，则|1|3x是24x 的必要不充分条件；在ABC中，AB是sinsinAB的充要条件.其中真命题的个数为（）个 A1 B2 C3 D4 3函数 3sin333xxxf x的部分图象大致为（）AB CD 42022 年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获 9
2、金 4 银 2 铜，金牌数和奖牌数均创历史新高获得的 9枚金牌中，5 枚来自雪上项目，4 枚来自冰上项目某体育院校随机调查了 100 名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按0,10，10,20，20,30，30,40，40,50分组，分别得到频率分布直方图如下：估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第 75 百分位数分别是1x和2x，方差分别是21s和22s，则（）A12xx，2212ss B12xx，2212ss C12xx，2212ss D12xx，2212ss 5已知1.32a，23b，32c，则,a b c的大小关系为（）Aabc Bbac
3、Cacb Dbca 6一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（）A2:3 B3:2 C1:2 D3:4 7在平面直角坐标系中，双曲线C过点 1,1P，且其两条渐近线的方程分别为20 xy和20 xy，则双曲线C的标准方程为（）A224133xy B224133xy C224133xy或224133xy D224133yx 8将函数22()6sin cos2cos2f xxxx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x的图象.对于下列四种说法，正确的是 函数()g x的图象关于点(,0)3成中心对称 函数()g x在(,)上有 8
4、 个极值点 函数()g x在区间,24上的最大值为2，最小值为22 函数()g x在区间(,)4 4上单调递增 A B C D 9已知函数 f x 22122,2212,sinxaxaxaxaxa，若函数()f x在0,)内恰有 5 个零点，则 a 的取值范围是（）A7 5,4 2 B7,24 C5711,2,42 4 D75,22,42 二填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）10已知 i 为虚数单位，则复数|1 2i|2iz_.11若直线:20l xmy被圆22:20C xyx截得线段的长为4 55，则实数 m 的值为_ 12某公司新成立 3 个产品研发小组，公司选派了
5、 5 名专家对研发工作进行指导.若每个小组至少有一名专家且 5 人均要派出，若专家甲乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为_.（用数字作答）13已知不等式28(8)0 xxaa的解集中恰有五个整数，则实数 a的取值范围为_.14某专业资格考试包含甲乙丙 3 个科目，假设小张甲科目合格的概率为34，乙丙科目合格的概率均为23，且 3 个科目是否合格相互独立.设小张 3 科中合格的科目数为 X，则(2)P X=_；()E X _.15如图，在ABC中，3BAC，D为AB中点，P 为CD上一点，且满足13APtACAB，ABC的面积为3 32，则t _；|AP的最小值为_.三解答题（本
6、大题共 5 小题，共 75 分）16如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中/ADBC，ABAD，4PA，122ABADBC，E 为棱BC上的点，且14BEBC.(1)求证：DE 平面PAC；(2)求二面角APCD的余弦值；(3)求点 E到平面PCD的距离.17已知函数22()cossin,()()3f xxx g xf xfx(1)求()g x的单调递增区间；(2)三角形ABC的三边 a，b，c满足22()abcab，求()g A的取值范围 18已知函数()ln(0)xaef xxx ax.(1)若1a，求函数 fx的单调区间；(2)若 fx存在两个极小值
7、点12,x x，求实数a的取值范围.19 已知 na为等差数列，前 n项和为nS，*nN，nb是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，2312bb，335baa，6112bS.(1)求 na和 nb的通项公式；(2)设10c，11ln 1nnccn，*nN，求nc；(3)设1113,21ln,2nnnnnncnkbdaankb，其中*kN.求 nd的前 2n 项和2nT.20已知椭圆C：222210 xyabab，1F，2F为其左右焦点，离心率为32，13,0F.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点0000,0P xyx y，点P在椭圆C上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为0k，1PF，2PF
8、的斜率分别为1k，2k，则12012kkk k k是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.（3）设点000,0P xyy，点P在椭圆C上，点,0Q t在12FPF的角分线上，求t的取值范围.1页 参考答案：1D 2B 3B 4A 5A 6A 7B 8B 9D 102 55i55.112 1236 13 1,26,7 14 49；2512#1212.15 13；2.16(1)因为PA 平面ABCD，,AB AD 平面ABCD，所以,PAAB PAAD，而ABAD，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系，则有(0,0,4),(2,0,0),(2,4,0),(0,2,0),(2,1,0)PB
9、CDE，(2,1,0)DE，(0,0,4)AP，(2,4,0)AC，因为20(1)0040,22(1)4000DE APDE AC ，所以,DEPA DEAC，而,PA AC 平面PAC，所以DE 平面PAC；2页 (2)设平面PDC的法向量为(,)mx y z，(2,4,4),(0,2,4)PCPD，则有24400(2,2,1)2400 xyzmPCm PCmyzmPDm PD，由（1）可知平面PAC的法向量为(2,1,0)DE，所以有222222 22 12 5cos,5(2)212(1)m DEm DEmDE ，由图知二面角APCD为锐角，所以二面角APCD的余弦值为2 55；(3)由（
10、2）可知：平面PDC的法向量为(2,2,1)m ，(2,1,4)PE，所以可得：2222222 22 1 4 12cos,21(2)2121(4)PE mPE mPEm ，所以点 E 到平面PCD的距离为2222cos,21(4)221PEPE m .17(1)解：由题意得：22()cossincos2f xxxx 222()()cos2cos(2)cos2(cos2 cossin 2 sin)3333g xf xfxxxxxx 3页 213131111cos 2sin2 cos2(sin4cos4)sin 4222224264xxxxxx 当4(2,2)622xkk时，函数()g x单调递增
11、，解得：,21226kkx()g x的单调递增区间：,21226kkkZ(2)由22()abcab可知222abcab 由余弦定理得：2221cos22abcCab 故可知23C 0,3A 11()sin 4264g AA 又74,666A 1sin 4,162A 1 1(),2 4g A 18(1)解：当1a 时，函数e()lnxf xxxx，可得221(1)(1)()()1xxeefxxxxxxx，令,()(0,xm xex x，可得()e10 xm x，所以函数 m x单调递增，因为()(0)1m xm，所以 0m x，当(0,1)x时，0fx，fx单调递减；当(1,)x时，0fx，fx
12、单调递增，即函数 fx的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).(2)解：由函数()ln,(0,)xaef xxx xx，4页 可得22()(1)()1(),0 xxxeaex xefxxxxxax，令 exxu x，可得 1exuxx，所以函数 u x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，所以 e1u x，当0 x 时，可得e1x，所以10eexx，当1ea 时，0exxa，此时当(0,1)x时，0fx，fx单调递减；当(1,)x时，0fx，fx单调递增，所以函数 fx的极小值为 1e 1fa，无极大值；当10ea时，0eee1,1aaau aa ua，又由 u x在,1a
13、上单调递增，所以fx在,1a上有唯一的零点1x，且11exxa，因为当ex时，令 2lng xxx，可得 2210 xgxxx，又因为 0ee2g，所以 0g x，即2ln xx，所以112lnaa，所以2212ln11ln2ln1(ln)1aaauaaaea，e1(1)ua，因为 u x在(1,)上单调递减，所以fx在21(0,ln)a上有唯一的零点2x，且22exxa，所以当1(0,)xx时，0fx，fx单调递减；当1(,1)xx时，0fx，fx单调递增；当2(1,)xx时，0fx，fx单调递减；当2(,)xx时，0fx，fx单调递增，所以函数 fx有两个极小值点，故实数a的取值范围为1(
14、0,)e.19(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为(0)q q，由2231222122bbqqq，或3q 舍去，所以12 22nnnb；35413428434aabadaa，5页 6111121111 102642bSad，解得：11ad，即1(1)1nann ，所以有nan，2nnb；(2)因为111ln 1lnnnnccnn，所以当*2,nnN时，有112211()()()nnnnncccccccc 12(1)2lnlnlnlnln121(1)(2)1nnn nnnnnn，显然当1n 时也适合，即lnncn；(3)由（1）（2）可知：nan，2nnb，lnncn.当21nk，*kN
15、时，2123ln(21)2kkkd，当2nk，*k N时，2221ln212kkkkd，122221ln3ln(21)4ln(21)ln(21)21224kkkkkkkkkkdd，21234ln1ln34ln3ln54ln5ln74ln(21)ln(21)4444nnnnT 112231ln3ln3ln5ln54ln7ln(21)ln(21)04444444nnnn ln(21)4nn.20（1）由题设知 222332cceaabc，解得21ab，椭圆C：2214xy.（2）12012kkk k k是定值-8，下面证明之.点0000,0P xyx y，过点P作椭圆C的切线l，斜率为0k，6页
16、l：000ykxxy且00k，l与C：2214xy联立消y得 222222000000000001484210kxk yk xxyk x yk x“*”由题设得222222000000000006416 14210k yk xkyk x yk x，即2220000004210 xkx y ky，点P在椭圆C上，220014xy ，代入上式得0004xky.（另法：过C上的点0000,0P xyx y的切线为 l：0014x xy y，其斜率为0004xky，0103ykx，0203ykx，000120 12012000433111yxxkkk k kkkkxyy 0000428yxxy （定值），12012kkk k k是定值-8.（3）由题设知13,0F，23,0F，点000,0P xyy，1PF：00(3)3yyxx即000330y xxyy，2PF：00(3)3yyxx即000330y xxyy，点,0Q t在12FPF的角分线上，点Q到直线1PF和直线2PF的距离相等，0000222200003333y tyy tyyxyx，点P在椭圆C上，220014xy ，7页 故得220033332222ttxx，33t，022x，0033332222ttxx，得033 3,42 2xt，t的取值范围是3 3,2 2.