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1、页 1第 辽宁省庄河市高级中学 2022-2023 学年度第一学期 12 月月考 高三数学 A 一、选择题；本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若复数11izai的实部与虚部相等，其中a是实数，则a A1 B0 C1 D2 2江宁为“六代豪华”之地、“十朝京畿”要地，享有“天下望县、国中首善之地”的美誉江宁区的美丽乡村示范区按照“一村一品、一村一景、一村一业、一村一韵”要求，打造了十大美丽乡村，其中黄龙规村、大塘金村、周村、石塘村全国有名现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学前往以上四个村考察乡村文化，每一位同学只去一个村，每个村至
2、少去一人，则所有的安排方案总数为（）A96 B480 C240 D120 3设、为锐角，1sin5，1sin10，则为（）A4 B34 C4或34 D以上都不对 4定义在 R 上的奇函数 f（x），当 x0 时，f（x）=，则关于 x 的函数 F（x）=f（x）a（0a1）的所有零点之和为 A3a1 B13a C3a1 D13a 5李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的 7 天假期中，到“东亚文化之都-泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有 A16 种 B18 种 C20 种 D24 种 6已知定义在R上的函数 f x在2,上是增函数，若 2g xf x是奇函数，且20
3、g，则不等式 0f x 的解集是 A 4,02,B4,20,C 0,24,D2,4 7 已知点000,P xyxa 在椭圆2222:10 xyCabab上，若点M为椭圆C的右顶点，且POPM（O为坐标原点），则椭圆C的离心率e的取值范围是（）页 2第 A30,3 B3,13 C2,12 D3232，8已知数列 na满足*11112nnnnaanaaN，则 A当*01nanN时，则1nnaa B当*1nanN时，则1nnaa C当112a 时，则11124nnana D当12a 时，则111320nnana 二、选择题；本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符
4、合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 9下列说法正确的是（）A为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区 ABCD四个学校中抽取一个容量为 400 的样本进行调查，已知 ABCD 四校人数之比为7436，则应从 B 校中抽取的样本数量为 80 B6 件产品中有 4 件正品，2 件次品，从中任取 2 件，则至少取到 1 件次品的概率为 0.6 C 已知变量 x、y 线性相关，由样本数据算得线性回归方程是0.4yxa，且由样本数据算得4,3.7xy，则2.1a D箱子中有 4 个红球、2 个白球共
5、6 个小球，依次不放回地抽取 2 个小球，记事件 M=第一次取到红球，N=第二次取到白球，则 M、N 为相互独立事件 10悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为coshxyaa（eecosh2xxaaxaaa，其中 a 为非零常数，e 为自然对数的底数）当 a1 时，记 coshf xx，则下列说法正确的是（）A 2221fxfx B f x是周期函数 C f x的导函数 fx是奇函数 D
6、f x在,0上单调递减 11球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海航空卫星定位等方面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不在同一个大圆上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB，BC，CA，由页 3第 这三条劣弧围成的球面图形称为球面 ABC.已知 R为地球半径，N 为北极点，P，Q是地球表面上的两点，则下列结论正确的有（）A若 P，Q在赤道上，且2PQR，则三棱锥 O-NPQ 的体积为316R B若 P，Q在赤道上，且PQR，则球面 NPQ 的面积为213R C若2 63NPPQQNR，则球面 NPQ 的面积为2R D若2 63NPPQQNR，则由球面 NPQ，平面 OPN
7、，平面 OQN及平面 OPQ 所围成的几何体的体积为349R 12已知函数2()2lnf xxxx，若正实数12,x x满足 124f xf x，则下列说法正确的是（）A在函数 f x上存在点 00,P xf x，使得函数 f x过该点的切线与 f x只有一个交点 B过点0,0O可作两条切线与函数 f x相切 C122xx D12xx的值与 2 的关系不确定 三、填空题；本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13由正整数组成的数列 na，nb分别为递增的等差数列、等比数列，111ab，记nnncab，若存在正整数k（2k）满足1100kc，11000kc，则kc _ 14已知单位向量
8、,i j k两两的夹角均为0,)2(且，若空间向量a满足(),axix jxk x y zR，则有序实数组称,x y z为向量a在“仿射”坐标系(Oxyz O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作,ax y z.已知41,1,0a，41,0,2b，则a b_ 15已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，12AABC，4BAC，则三棱柱111ABCABC的外接球的体积为_ 页 4第 16若对任意正实数 x，y，不等式(3)(lnln2)xyyxax恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 四、解答题；本题共 6 个小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知向量(cos,sin
9、),(cos,sin)abxx，(sin2sin,cos2cos)cxx，其中0 x（1）若4，求函数()f xb c的最小值及相应的x的值；（2）若a与b的夹角为3，且ac，求tan2的值 18已知等差数列 na满足：3576,24aaa，na的前n项和为nS.（1）求na及nS；（2）令21(*)1nnbnNa，求数列 nb的前n项和nT.19如图，直三棱柱111ABCABC的底面是正三角形，,E F G H分别是1111,BC CC BC BB的中点.证明：（1）平面AEF 平面11BCC B；（2）平面1/AGH平面AEF.20在一次抽样调查中测得样本的 5 个样本点，数值如下表：x
10、0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 页 5第（1）根据散点图判断,kyabxycx与哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果试建立y与x之间的回归方程（注意,a b或,c k计算结果保留整数）（3）由（2）中所得设 z=y+x且4,x，试求 z 的最小值 参考数据及公式如下：5123iiix y，55221121.3125,430iiiixy，1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx aybx 21已知动圆M既与圆1C：2240 xyx外切，又与圆2C：224960 xyx内切，求动圆
11、的圆心M的轨迹方程.22已知函数 1ln,fxa xaxR.(1)若曲线 yf x在点 1,1f处的切线与直线20 xy垂直,求a的值;(2)当1a 时,试问曲线 yf x与直线23yx是否有公共点?如果有,求出所有公共点;若没有,请说明理由 页 6第 答案 1A 2C 3A 4B 5C 6C 7C 8C 9ABC 10ACD 11ABC 12AC 13262 14212 154 3 164,)17（1）()f x的最小值为32，相应的x的值为1112；（2）3tan25 （1）根据数量积公式可得()2sincos2(sincos)f xxxxx，令sincos()4txxx，根据辅助角公式将
12、其化简变形可得t的范围由二次函数配方法可求得其最值（2）根据a与b的夹角为3，ac，由数量积公式可求得3x且sin()2sin 20 x，从而可得tan2的值 解：（1）因为(cos,sin)bxx、(sin2sin,cos2cos)cxx且()f xb c，所以()cos sin2sincossincos2sincos2sincos2(sincos)f xxxxxxxxxxx 令sincos()4txxx，因为22sincos2sincos2sin224xxxxx，由4x，所以页 7第 5244x，所以2sin124x，则1,2t，因为222sincossincos2sincos12sinc
13、osxxxxxxxx，所以22sincos1xxt，22232122yttt 当22t 时，32miny，此时2sincos2xx，即212sin()sin()4242xx ，4x，5244x，得746x，即1112x()f x的最小值为32，相应的x的值为1112（2）由已知，coscoscossinsincos()3|a bxxxa b，0 x，0 x，所以3x 由ac，得cos(sin2sin)sin(cos2cos)0 xx，即cossin2sincoscossin2sincos0 xx，即cossincossin4sincos0 xx，即sin()2sin 20 x，由3x，得3x，
14、sin(2)2sin 203，即sin2 coscos2sin2sin 2033，得53sin2cos2022，3tan25；18（1）*()2nan nN，2*()nSnn nN；（2）21nnTn.（1）设等差数列 na的公差为d，根据题中条件列出等式，即可解出1a和d，从而求出 na的通项公式和前n项和；（2）先求出 nb的通项公式，然后利用裂项相消法求和即可.（1）设等差数列 na的公差为d，则由311571626224210242aadaaaadd，所以2(1)22nann，2(22)2nnnSnn，即*()2nan nN，2*()nSnn nN；（2）结合（1）可知22111111
15、141(21)(21)2 2121nnbannnnn，页 8第 所以数列 nb的前n项和 12nnTbbb 111111123352121nn 111221n 21nn.本题考查求等差数列的通项公式及其前n项和，考查裂项相消法求和，难度不大.利用裂项相消法求和时要注意是邻项相消还是隔项相消.19（1）见解析 （2）见解析（1）根据直三棱柱的性质得到1AEB B，根据等边三角形的性质得到AEBC，再根据面面垂直的判定得到平面AEF 平面11BCC B.（2）连接1BC，根据三角形中位线性质得到/GHEF，从而得到/GH平面AEF.根据三棱柱的性质得到1/AGAE，从而得到1/AG平面AEF.再根
16、据面面平行的判定得到平面1/AGH平面AEF.证明：（1）因为三棱柱111ABCABC直三棱柱，所以1AEB B.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AEBC，1BBBCB 所以AE平面11BCC B.而AE 平面AEF，所以平面AEF 平面11BCC B.（2）连接1BC，页 9第 由于,E F G H分别是1111,BC CC BC BB的中点，所以1/GHBC，1/EFBC，所以/GHEF，而EF 平面AEF，GH 平面AEF，所以/GH平面AEF.在直三棱柱111ABCABC中，1/AGAE，而AE 平面AEF，1AG 平面AEF，所以1/AG平面AEF.又1AGGHG，且GH，1
17、AG 平面1AGH，所以平面1/AGH平面AEF.本题第一问考查面面垂直的证明，第二问考查面面平行的证明，熟练掌握面面垂直和平行的判定定理是解题的关键，属于中档题.20（1）见解析；（2）6（1）由散点图可以判断，kycx适宜作为 y 关于 x 的回归方程；(2)根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设kycx，令 t，则 yc+kt，原数据变为：t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 由散点图可以看出 y 与 t 呈近似的线性相关关系 （3）由（2）得41zyxxx.易知在4,xz 是关于 x 的单调递增函数所以最小值为 6.点睛：本题主要考查了线性回归方程和散点
18、图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题 页 10第 212213632xy 化已知两圆方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，利用椭圆定义求得动圆的圆心M的轨迹方程 1C：2224xy，2C：222100 xy，设动圆圆心,M x y，半径为r，则112122212410MCrMCMCC CMCr，M是以1C、2C为焦点，长轴长为 12 的椭圆，221236aa，22232bac，所求轨迹方程为2213632xy.本题考查轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系，本质考查椭圆定义求方程，考查数形结合思想和运算求解能力 22(1)1a；(2)曲线 yf x与直线23yx仅有一个公共点,公
19、共点为1,1.(1)求出切线的斜率 12f,则易得切线方程；(2)由题意，令 1ln23g xxxx，求导并判断函数的单调性，判断函数的零点个数,即可得出结论.（1）解：函数 f x的定义域为 210,ax xfxxx.因为曲线 yf x在点 1,1f处的切线与直线20 xy垂直,直线20 xy的斜率为12，所以 112fa,解得1a,所以，a的值为1（2）解：当1a 时,1ln,0,f xxxx.页 11第 令 1ln23g xxxx，22211112xxgxxxx.所以，当1x 时,0,gxg x在1,单调递减；当01x时,0,gxg x在0,1单调递增.又因为 10g,所以 g x在 0,11,恒负.所以，曲线 yf x与直线23yx仅有一个公共点