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1、第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年内蒙古赤峰市元宝山区第一中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题 1直线Otan 45x 的倾斜角为 A0o B45o C90o D不存在【答案】C【分析】由题直线tan451Ox，直线与x轴垂直，倾斜角为 90o【详解】由题直线tan451Ox，直线与x轴垂直，倾斜角为 90o .故选 C.【点睛】本题考查直线斜率、倾斜角的概念属于基础题 2如图是根据,x y的观测数据,iix y1,2,10i 得到的散点图，可以判断变量x，y具有线性相关关系的图是（）A B C D【答案】B【分析】根据变量,x y具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，
2、从左下至右上或从左上至右下即可.【详解】根据变量,x y具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左下至右上或从左上至右下，所以图的变量,x y具有线性相关关系.故选：B 3演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 A中位数 B平均数 C方差 D极差【答案】A 第 2 页 共 14 页【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案【详解】设 9 位评委评分按从小到大排列为123489xxxxxx 则原始中位数为5x，
3、去掉最低分1x，最高分9x，后剩余2348xxxx，中位数仍为5x，A 正确 原始平均数1234891()9xxxxxxx，后来平均数234817xxxxx（）平均数受极端值影响较大，x与x不一定相同，B 不正确 222219119Sxxxxxx 222223817sxxxxxx 由易知，C 不正确 原极差91=x-x，后来极差82=x-x可能相等可能变小，D 不正确【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.4若点 A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则 a的值为（）A-4 B4 C4 D不存在【答案】B【分析】直接利用任意两点所在的直线斜率相等，即可判定三
4、点共线，列出方程，求出a的值【详解】解：因为点(4,3)A，(5,)Ba，(6,5)C三点共线，所以ABACKK，即3535464a，得4a 故选：B 5采用系统抽样方法，从个体数为 1001 的总体中抽取一个容量为 40 的样本，则在抽取过程中，每个个体被抽到的概率为（）A401001 B125 C140 D11001【答案】A【分析】由于系统抽样是等可能抽样，故每个个体在抽样过程中得到的概率是相等的，故每个个体被抽到的概率都是样本容量除以总体容量.【详解】由于系统抽样是等可能抽样，故每个个体在抽样过程中得到的概率是相等的.所以在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为401001.故选：A 6
5、从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，互斥而不对立的两个事件是（）A至少有 1 个白球；都是白球 B至少有 1 个白球；至少有 1 个红球 第 3 页 共 14 页 C恰有 1 个白球；恰有 2 个白球 D至少有 1 个白球；都是红球【答案】C【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念以及二者之间关系，一一判断各选项，可得答案.【详解】A：“至少有 1 个白球”和“都是白球”，可同时发生，故它们不是互斥事件,A 错误；B：“至少有 1 个白球”和“至少有 1 个红球”，因为 1 个白球 1 个红球时两种情况同时发生，故它们不是互斥事件，B 错误；C：“恰有 1 个白球”和“恰有
6、2 个白球”，不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当 2 个球都是红球时它们都不发生，所以它们不是对立事件，C 正确；D：“至少有 1 个白球”和“都是红球”，不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件，D 错误，故选：C 7在正方形ABCD中，弧AD是以AD为直径的半圆，若在正方形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为（）A16 B12 C44 D14【答案】D【分析】设正方形ABCD的边长为2，计算出阴影部分区域和正方形ABCD的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设正方形ABCD的边长为2，将图中阴影部分中的弓形区域沿着图
7、中的虚线对称，如下图所示：第 4 页 共 14 页 所以，阴影部分区域的面积为12 112S ，正方形ABCD的面积为224S，因此，所求概率为14SPS.故选：D.【点睛】本题考查面积型的几何概型的概率计算，解题的关键就是计算出阴影部分区域的面积，考查计算能力，属于基础题.8已知一组数据：123,nx x xx的平均数为 4，方差为 10，则1232,32,32nxxx的平均数和方差分别是（）A10，90 B4，12 C4，10 D10，10【答案】A【分析】利用数据的平均数和方差的性质及计算公式直接求解.【详解】一组数据123,nx x xx的平均数是 4，方差为 10，另一组数1232,
8、32,32nxxx的平均数和方差分别是 34210 x，2231090S，故选：A【点睛】本题主要考查平均数、方差的求法，解题时要认真审题,注意平均数、方差的性质的合理运用，属于容易题.9从 1,2，3，4 这 4 个数中不放回地任意取两个数，两个数的和是奇数的概率为()A16 B23 C13 D12【答案】B【分析】根据已知中从 1，2，3，4 这 4 个数中，我们列出所有的基本事件个数，及满足条件两个数的和是奇数的基本事件个数，代入古典概型概率公式，即可得到答案.【详解】从 1，2，3，4 这 4 个数中，不放回地任意取两个数，共有：第 5 页 共 14 页 1,2,1,3,1,4,2,1
9、,2,3,2,4 3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3,共 12 种,其中满足条件有 1,2,1,4,2,1,2,3,3,2,3,4,4,1,4,3共 8 种情况,故从 1，2，3，4 这 4 个数中，不放回地任意取两个数，两个数的和是奇数的概率82123P.故选：B.10直线20 xay与直线220axya平行，则实数a的值为（）A1 或-1 B0 或-1 C-1 D1【答案】C【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解.【详解】解：因为直线20 xay与直线220axya平行，所以21 101 220aaaa ，即10,1aaa，所以1a，故选：C.11如图是一程序框图，则输出结果
10、为（）A2 B1 C12 D1【答案】A【分析】先列举出前几次循环，从而得到 S的取值周期为 3，当2021k 时，12S，满足条件2022k，执行循环，得2S，2022k，此时不满足条件2022k，退出循环，得到输出 S的值.【详解】2S，0k，满足条件2022k，执行循环，得1S，1k，满足条件2022k，执行循环，得12S，2k，第 6 页 共 14 页 满足条件2022k，执行循环，得2S，3k，可知 S 的取值周期为 3，则当2021k 时，12S，满足条件2022k，执行循环，得2S，2022k，不满足条件2022k，退出循环 输出 S 的值为 2.故选：A 12设点00,2M x
11、 x，若在圆O：221xy上存在点N，使得45OMN，则0 x的取值范围是（）A2,0 B1 1,2 2 C2 2,D33,33【答案】A【分析】根据直线和圆的位置关系，作出图象，数形结合可得.【详解】解：点00,2M x x 在直线2yx上，又直线2yx与圆O：221xy相切，要使圆O：221xy上存在点N，使得45OMN，则OMN的最大值大于或等于45时，一定存在点N，使得45OMN，而当MN与圆相切时OMN取得最大值，此时有1MN，0 x的取值范围为2,0.故选：A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题.二、填空题 第 7 页 共 14 页 13现采用随
12、机模拟的方法估计某运动员射击 4 次，至少击中 3 次的概率：先由计算器给出 0 到 9之间取整数值的随机数，指定 0，1 表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9 表示击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为_【答案】34【解析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率
13、公式求解.【详解】由数据得射击 4 次至少击中 3 次的次数有 15，所以射击 4 次至少击中 3 次的概率为153204.故答案为：34【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的,a b分别为 14,20，则输出的 a_.【答案】2【详解】试题分析：14,20142014206abyesnob14,61461468abyesyesa8,686862abyesyesa2,626264abyesnob2,424242abyesnob2,222abno输出2【解析】1、程序框图
14、 第 8 页 共 14 页 15已知圆 C:229xy,过点 P（3,1）作圆 C 的切线，则切线方程为_【答案】3x 或43150 xy【详解】由题意知P 在圆外,当切线斜率不存在时,切线方程为3x ，满足题意；当斜率存在时，设为2200 1 31(3)1 303(1)kkkyk xkxykdrk 43k 切线方程为43150 xy 综上，切线方程为3x 或43150 xy 点睛：切线、弦长、公共弦的求解方法(1)求圆的切线方程可用待定系数法，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关系式求出切线的斜率即可(2)几何方法求弦长，利用弦心距，即圆心到直线的距离、弦长的一半及半径构成直角三角形计算(3
15、)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2 项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程 16数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决 例如：与22xayb相关的代数问题，可以转化为点,A x y与点,B a b之间的距离的几何问题结合上述观点：对于函数 222222xxxxf x，f x的最小值为_【答案】2 2【分析】根据题意得 221111xxf x，表示点,0P x与点1,1E 与 1,1F距离之和的最小值，再找对称点求解即可.【详解】函数 222222221111xxxxfxxx，表示点,0P x与点1,1E 与 1,1F距离之和的最
16、小值，则点P在x轴上，点E关于x轴的对称点1,1E ，所以221+1+1+1=2 2PEPFPEPFE F，所以 f x的最小值为：2 2.故答案为：2 2.三、解答题 第 9 页 共 14 页 17已知三角形的三个顶点5,0A，3,3B，0,2C.(1)求 AC边所在直线的一般方程；(2)求 BC边上的高所在直线方程.【答案】(1)25100 xy(2)35150 xy 【分析】（1）直接利用两点式可得答案；（2）求出 BC 边的斜率，即可得 BC边上的高的斜率，再利用点斜式即可得出答案【详解】（1）由两点式可得：200250yx，化简得 AC边所在直线的一般方程为25100 xy；（2）由
17、已知得332530BCk ，可得 BC 边上的高所在直线斜率35k BC 边上的高所在直线方程为：30(5)5yx，化简得 BC 边上的高所在直线方程为35150 xy 18一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿球从中随机取出 1 球，求：(1)取出 1 球是红球或黑球的概率；(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率【答案】(1)取出1球为红球或黑球的概率为3.4(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为11.12【详解】试题分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从 12 个球中任取一球，满足条件的事件是取出的球是红球或黑球，根据古典概
18、型和互斥事件的概率公式得到结果；（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从 12 个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球，根据古典概型公式得到结果 试题解析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从 12 个球中任取一球共有 12 种结果；满足条件的事件是取出的球是红球或黑球共有 9 种结果，概率为（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从 12 个球中任取一球共有 12 种结果；满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有 11 种结果，第 10 页 共 14 页 概率为 即取出的 1 球是红球或黑球的概率为；取出的 1
19、球是红球或黑球或白球的概率为【解析】等可能事件的概率 19为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；(2)若轮胎的宽度在194,196内，则称这个轮胎是标准轮胎.根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好.【答案】(1)甲厂平均值为195mm，乙厂平均值为194mm(2)乙厂的轮胎相对更好 【分析】（1）根据平均数的求法可直接求得结果；（2）确定甲、乙两厂生产的轮胎中标准轮胎的宽度数据，由此可计算得到平均数和方
20、差，对比数据即可得到结论.【详解】（1）记甲厂提供的10个轮胎宽度的平均值为1x，乙厂提供的10个轮胎宽度的平均值为2x，1195 2 194 2 196 2 193 2 1972195 mm10 x ，2195 4 194 196 193 2 192 2194 mm10 x .（2）甲厂10个轮胎中，宽度在194,196内的数据为195,194,196,194,196,195，第 11 页 共 14 页 则平均数为1951941961941961951956，方差 222222211201111063s ；乙厂10个轮胎中，宽度在194,196内的数据为195,196,195,194,195
21、,195，则平均数为1951961951941951951956，方差 222222221101010063s；甲、乙两厂生产的标准轮胎宽度的平均值一样，但乙厂的方差更小，乙厂的轮胎相对更好.20某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x(单位：元件)及相应月销量y(单位：万件)，对近5个月的月销售单价ix和月销售量1,2,3,4,5iy i 的数据进行了统计，得到如下表数据：月销售单价ix(元/件)9 9.5 10 10.5 11 月销售量iy为(万件)11 10 8 6 5 （1）建立y关于x的回归直线方程（2）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/
22、件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（1）中得到的回归直线方程是否理想？参考公式：回归直线方程 ybxa，其中1221niiinijx ynxybxnx，aybx.参者数据：51392iiix y，521502.5iix.【答案】（1）3.240 yx；（2）可以认为所得到的回归直线方程是理想的.【分析】（1）由表格数据计算可得,x y，利用最小二乘法可计算求得回归直线；（2）将7x 代入回归直线可得预估值，由预估值与实际数据之差绝对值不超过0.5可知回归直线方程是理想的.【
23、详解】（1）111 10.5 109.59105x，1568 10 1185y .23925 10 83.2502.55 10b ，83.21040a ，第 12 页 共 14 页 y关于x的回归直线方程为：3.240 yx；（2）当7x 时，3.274017.6y ，17.6180.40.5，可以认为所得到的回归直线方程是理想的.21某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为 100 分），并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了 50 名学生的成绩，按照50,60，60,70.，90,100分成 5 组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于 50 分）.
24、(1)求频率分布直方图中 x的值，并估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)用样本估计总体，若该校共有 1000 名学生，试估计该校这次测试成绩不低于 70 分的人数；(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于 70 分的学生中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3人，试求成绩在80,100的学生至少有 1 人被抽到的概率.【答案】(1)0.02x，平均数为 74 分，中位数2203分；(2)600(3)19.20 【分析】（1）利用频率之和为 1，列式求解 x 即可，利用平均数与中位数的计算公式求解即可；（2）先计算 50 名学生中
25、成绩不低于 70 分的频率，由此估计总体即可；（3）先利用分层抽样，求出后三组中所抽取的人数，然后由古典概型的概率公式求解即可【详解】（1）由频率分布直方图可得，第 4 组的频率为1 0.1 0.30.30.10.2，所以0.02x，估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数为：55 0.0165 0.0375 0.0385 0.0295 0.011074分，由于前两组的频率之和为0.10.30.4，前三组的频率之和为0.10.30.30.7，故中位数在第 3 组中，设中位数为 t分，则有700.030.1t，解得2203t，第 13 页 共 14 页 故所求的中位数为2203分.（2）由（1）可
26、知，50 名学生中成绩不低于 70 分的频率为0.30.20.10.6，用样本估计总体，估计该校这次测试成绩不低于 70 分的人数为10000.6600人；（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为 15，10，5，由分层抽样可得，这三组中所抽取的人数分别为 3，2，1，所以成绩在80，100的学生至少有 1 人被抽到的概率为36111911.C2020 22已知圆 C 经过1,3A，1,1B 两点，且圆心在直线yx上.(1)求圆 C的标准方程；(2)设直线 l经过点2,2，且 l与圆 C 相交所得弦长为2 3，求直线 l的方程；(3)若 Q 是直线4yx上的动点，过点 Q做圆 C的两条切线 Q
27、M、QN，切点分别为 M、N，探究：直线 MN是否恒过定点.若存在请写出坐标；若不存在请说明理由.【答案】(1)22114xy(2)20 x或4320 xy.(3)过定点0,2 【分析】（1）求圆的方程,需要三个独立条件,一般设标准式,代入三个条件,解方程组即可;本题也可设成圆的一般式0 xyDxDyF,再将两个点坐标代入,解方程组可得.（2）涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理，即将弦长条件转化为圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率，注意验证直线斜率不存在的情形.（3）根据题意求出以Q为圆心，QM为半径的圆的方程与圆C的方程作差，即可得到直线MN的方程，从而得到定点坐标.【详解】（
28、1）设圆C的圆心坐标为,a a，依题意，有22221311aaaa，解得1a，所以2r，所以圆C的标准方程为22114xy.（2）依题意，圆C的圆心 1,1到直线l的距离为1d，（1）若直线l的斜率不存在，则1d，符合题意，此时直线的方程为20 x.第 14 页 共 14 页（2）若直线l的斜率存在，设直线l的方程为22yk x，即220kxyk，则2311kk，解得43k .此时直线l的方程为4320 xy 综上，直线l的方程为20 x或4320 xy.（3）根据题意，设,4Q m m，又因为 QM、QN是过圆C做的两条切线，则,CMQM CNQN 则MN是圆C与以Q为圆心，QM为半径的圆的两圆的公共弦，且以Q为圆心，QM为半径的圆的方程为22224134xmymmm 且圆C方程为22114xy 所以可得2360 xymxy 即为直线的方程 令20360 xyxy 解得02xy，则直线必过点0,2