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1、第 1 页 共 13 页 2021-2022 学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期期末数学（文）试题 一、单选题 1已知全集33Uxx，集合21Axx，则UA（）A(2,1 B(3,2)1,3)C 2,1)D(3,2(1,3)【答案】D【分析】利用补集的定义可得正确的选项【详解】由补集定义可知：|32UAxx 或13x，即(3,2(1,3)UA ，故选：D 2下列命题中，正确的是（）A23i的虚部是3i B34i的共轭复数是34i C1 i2 D复数12ii在复平面内对应的点在第四象限【答案】D【分析】根据复数的虚部的概念可判断 A；根据共轭复数的概念判断 B;根据复数模的计算可判断
2、C；根据复数的除法求得12i2ii，结合复数的几何意义判断 D.【详解】因为23i的虚部是3，故 A 错误；34i的共轭复数是34i，故 B 错误；1 i2，故 C 错误；复数212i(12i)i2iii，故12ii在复平面内对应的点在第四象限，D 正确，故选：D 3在等差数列 na中，131,3aa，则10a（）A10 B17 C21 D35【答案】B【分析】由已知求出公差即可求解.【详解】设等差数列的公差为d，则312aad，即31 2d，解得2d，第 2 页 共 13 页 所以10191 9 217aad .故选：B.4已知52501252111xaaxaxax，则0a（）A1 B0 C
3、1 D32【答案】A【分析】令10 x 可得0a【详解】令1x，则525012501 21 11 11 11aaaaa.故选：A.5在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的2 2列联表：看书 运动 合计 男 8 20 28 女 16 12 28 合计 24 32 56 根据表中数据，得到2256(8 12 16 20)4.66728 28 24 32K，所以我们至少有（）的把握判定休闲方式与性别有关系.（参考数据：23.84()10.05P K，2(6.635)0.01P K）A99%B95%C1%D5%【答案】B【分析】利用2K与临界值比较，即可得到结论.【详解】结合题意和独立性检验
4、的结论，由 24.6673.841K，23.84()10.05P K，故这种判断出错的可能性至多为0.05，即005，故我们至少有 95%的把握判定休闲方式与性别有关系.故选：B【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想与应用，属于基础题.6已知 a，b，c 分别为ABC的内角 A，B，C所对的边，sinsincosBCA，则 C=（）A6 B4 C3 D2 第 3 页 共 13 页【答案】D【分析】根据正弦定理可得cosbcA，再根据余弦定理化简求解即可【详解】sinsincosBCA，cosbcA由余弦定理知22222222bcabcabcbcb，整理得222abc，故2C.故选：D 7现从
5、3 名男医生和 4 名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P B A A13 B47 C23 D34【答案】C【分析】结合分类计数原理，计算出抽到的两名医生性别相同的概率，计算出抽到的两名医生都是女医生的概率，从而结合条件概率的计算公式即可求出P B A.【详解】解：由题意知，22342737CCP AC，242727CP ABC，所以 227337P ABP B AP A.故选:C.【点睛】本题考查了条件概率的求解，考查了组合数的计算，考查了分类计数原理.8 等边ABC的外接圆的半径为 1，M是ABC的边 AC
6、的中点，P是该外接圆上的动点，则PB PM的最大值为（）A1 B2 C32 D0【答案】A【分析】先将所求问题中的向量转换成起点为外心O的向量，再根据向量数量积建立函数模型，最后通过函数思想即可求解【详解】如图，设等边ABC的外心为O，又半径为 1，且M是ABC的边AC的中点，B、O、M三点共线，且21BOOM，()()PB PMOBOPOMOP 2()OB OMOPOBOMOP 第 4 页 共 13 页 111(1)()122OPOBOB 1122OP OB 11cos22OPOB，又,0,OP OB，当,=OP OB时，PB PM的最大值为11(1)122 故选：A 二、多选题 9已知随机
7、变量 的分布如下：则实数 a 的值为（）1 2 3 P 14 312a 22a A12 B12 C14 D14【答案】BC【分析】由题可知22411312aa，即得.【详解】由题可得22411312aa，12a 或14a，经检验适合题意.故选：BC.10数列 na的通项公式为31,22,nnnann为奇数为偶数则（）A37a B310a C2320a a D2370a a 第 5 页 共 13 页【答案】BC【分析】直接求出23,a a即得解.【详解】解：由通项公式得22222a，33 3 110a ，所以2320aa.故选：BC.11某工厂研究某种产品的产量 x（单位：吨）与需求某种材料 y
8、（单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了 4 组数据如表所示 x 3 4 6 7 y 2.5 3 4 5.9 根据表中的数据可得回归直线方程0.7yxa，则以下说法正确的是（）Ay 与 x 的样本相关系数0r B产量为 8 吨时预测所需材料一定为 5.95 吨 C0.35a D产品产量增加 1 吨时，所需材料约增加 0.7 吨【答案】CD【分析】由产量与材料正相关否定选项 A；求得 a的值判断选项 C；求得产量为 8 吨时所需材料的估计值判断选项 B；求得产品产量增加 1 吨时所需材料约增加的值判断选项 D.【详解】表中的数据可得回归直线方程0.7yxa，则产量与材料正相关，则相关系数0
9、r.故选项 A 判断错误；11(3467)5,(2.5345.9)3.8544xy 则3.850.7 5a，解之得0.35a.故选项 C 判断正确；由0.7 80.355.95y （吨），可得产量为 8 吨时预测 所需材料约为 5.95 吨.故选项 B 判断错误；由0.70.35yx可得，产品产量增加 1 吨时，所需材料约 增加 0.7 吨.故选项 D 判断正确.故选：CD 12在ABC中，角 A，B，C所对的边为 a，b，c，sin:sin:sin2:3:4ABC，下列结论正确的有（）A:2:3:4a b c Bsinsin12sin8ABC 第 6 页 共 13 页 C最小角的正弦值78
10、D最大角的余弦值为14【答案】AD【分析】由正弦定理可判断 A;由sin:sin:sin2:3:4ABC，可设sin2,sin3,sin4AkBkCk，丛而可判断 B;根据题意可判断出最小角和最大角，由余弦定理可求得其值，判断 C,D.【详解】对于 A，由正弦定理可得:sin:sin:sina b cABC，故 A 正确；对于 B，由sin:sin:sin2:3:4ABC，可设sin2,sin3,sin4AkBkCk，故sinsin2312sin2 48ABkkCk，故 B 错误；对于 C，由:2:3:4a b c 可知角A为最小角，设2,3,4at bt ct，故22222291647cos
11、22 348bcatttAbctt，则15sin8A ，故 C 错误；对于 D，由 C 的分析可知 C为最大角，则22222294161cos22 234bactttCabtt，故 D 正确，故选：AD 三、填空题 13已知向量a与b的夹角为 60，|a|=2，|b|=1，则|a+2 b|=_.【答案】2 3【详解】平面向量a与b的夹角为060，21ab，02 1 cos601a b.2222(2)4(2)4442 3ababaa bb 故答案为2 3.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)aa a 常用来求向量的模 14已知 na为等比数列，36457,8aaa a ，则2
12、7aa_【答案】312【分析】先由等比数列的性质求出36,a a，进而求出q，再计算27aa即可.【详解】设公比为q，由题意知：45368a aa a，又367aa，解得3618aa 或3681aa，第 7 页 共 13 页 若3618aa，则3638aqa，2q ，则3276312aaaa qq；若3681aa，则36318aqa，12q ，则3276312aaaa qq.故答案为：312.15为纪念北京冬奥会申奥成功，中国邮政发行纪念邮票，每套图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会“会徽飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”现从一套 5枚邮票中任取 3 枚
13、，则恰有 1 枚吉祥物邮票的概率为_【答案】35#0.6【分析】由古典概型的概率公式求解即可.【详解】从一套 5 枚邮票中任取 3 枚的不同取法有35C10种，恰有 1 枚吉祥物邮票的情况有1132CC6种，则恰有 1 枚吉祥物邮票的概率63105，故答案为：35 16已知直线1yxa与曲线e1x by相切，则ab_.【答案】1【分析】首先求出函数的导函数，设切点为00,xy，即可得到方程组，解得即可；【详解】解：因为e1x by，所以ex by，设切点为00,xy，则000001e11exbxbyxayk，解得00010 xbxa，两式相减得1ab，故答案为：1 四、解答题 17已知等差数列
14、 na中，12a，2412aa，设2nanb.(1)求证：数列 nb是等比数列；(2)求数列nnab的前 n项和.【答案】(1)证明见解析 第 8 页 共 13 页(2)41413nn n 【分析】（1）直接利用等比数列的定义证明；（2）采用分组求和法分别求出数列 na与数列 nb的前 n项和，再相加即可.【详解】（1）设 na的公差为d，由2412aa，可得 11312adad，即12412ad.又12a，可得2d.故1121 22naandnn 依题意，224nnnb，因为11444nnnnbb（常数）.故 nb是首项为 4，公比 4 的等比数列.（2）na的前n项和为122122nn a
15、annn n nb的前n项和为11443441114nnnbb qq 故nnab的前n项和为41413nn n.18已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为 36，24，24.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠质量的调查.（1）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？（2）若抽出的 7 人中有 3 人睡眠不足，4 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.用X表示抽取的 3 人中睡眠充足的学生人数，求随机变量X的分布列与数学期望.【答案】（1）3 人，2 人，2 人.（2）分布列见解析，127E X 【解析】（1）根据各组人数和抽样比,即可求得
16、各组抽取的人数.（2）根据独立重复试验中概率计算公式,可分别求得随机变量X的概率,即可得其分布列.由数学期望公式,即可求得期望值.【详解】（1）由已知,甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为3:2:2,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,因此应从甲、乙、丙三个兴趣小组中分别抽取 3 人,2 人,2 人.（2）随机变量X的所有可能取值为 0,1,2,3.则343370,1,2,3kkCCP XkkC,第 9 页 共 13 页 所以,随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 135 1235 1835 435 随机变量X的数学期望 112184120123353535357E X .【点睛
17、】本题考查了分层抽样的特征和计算,独立重复试验概率的计算方法,离散型随机变量分布列及数学期望的求法,属于基础题.19如图，已知四棱锥VABCD的底面是矩形，VD 平面,222,ABCD ABADVDE F G分别是棱,AB VC CD的中点 (1)求证：EF平面VAD；(2)求平面AVE与平面VEG夹角的大小【答案】(1)证明见详解；(2)3 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面VAD的法向量，然后EF与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面AVE与平面VEG夹角公式可求得.【详解】（1）如图建系，10 0 0,10 0,0,0,1110,0 2 0,010,012
18、DAVECGF，第 10 页 共 13 页 10 0,0 01DADV，设平面VAD的法向量为=,na b c 所以0,0DA naDV nc不妨取=0,1,0,n 又111,0,1 00 100,22EFEF n 又EF 平面VAD，EF平面VAD；（2）由（1）知：0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1AEAVGEGV,设平面AVE的法向量为1=,nx y z，平面VEG的法向量2=,np q r 所以110,0AE nyAV nxz 不妨取1=1,0,1;n 同理220,0GE npGV nqr不妨取2=0,1,1;n 设平面AVE与平面VEG夹角为,0,2 所以12222211
19、coscos,.231111n n 20在ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，221cos2abbcacB(1)求角 A；(2)若sin 3sinbAB，求ABC面积的最大值【答案】(1)3A(2)3 34 【分析】（1）先利用正弦定理及余弦定理求得cos A的值，进而求得角 A的值；（2）先利用余弦定理构造关于bc、的不等式，进而得到bc的最大值，即可求得ABC面积的最大值【详解】（1）由221cos2abbcacB，可得22222122acbabacbcac，得222bcabc，则2221cos22bcaAbc，由于0A，所以3A（2）由sin3sinbAB，可得sin3si
20、naBB，又sin0B，则3a，第 11 页 共 13 页 则222222cos2abcbcAbcbcbcbc，（当且仅当bc时等号成立）则3bc，（当且仅当3bc时等号成立）则1133 3sin32224ABCSbcA，即ABC面积的最大值为3 34 21已知椭圆M的短轴长为2 3，焦点坐标分别为2,0和2,0.(1)求椭圆M的标准方程.(2)直线l与椭圆M交于,A B两点，若线段AB的中点 1,1P，求直线l的方程.【答案】(1)22173xy；(2)37100 xy.【分析】（1）假设椭圆方程，根据短轴长、焦点坐标和椭圆,a b c关系可构造方程组求得,a b，由此可得椭圆方程；（2）利
21、用点差法可求得直线l斜率，由此可得直线l方程.【详解】（1）由题意可设椭圆M方程为：222210 xyabab，则2222 34bab，解得：73ab，椭圆M的标准方程为：22173xy.（2）设11,A x y，22,B xy，则22112222173173xyxy，两式作差得：1212121273xxxxyyyy，直线l斜率1212121237yyxxkxxyy，又AB中点为 1,1P，122xx，122yy，37k，直线l方程为：3117yx ，即37100 xy.22已知函数21()ln2f xxaxa(1)当1a 时，求()f x的最大值；(2)若ln2()2f x恒成立，求 a 的
22、取值范围【答案】(1)12 第 12 页 共 13 页(2)12 【分析】（1）利用导数求得()f x的单调区间，进而求得()f x的最大值；（2）通过分类讨论和构造新函数，列出关于 a 的不等式，解之即可求得 a的取值范围【详解】（1）1a 时，21()ln12f xxx，0 x 则111()xxfxxxx，0 x 当01x时，()0fx，()f x单调递增；当1x 时，()0fx，()f x单调递减，则当1x 时，()f x取得最大值11(1)ln1122f（2）21()ln2f xxaxa，0 x，则211()axfxaxxx，0 x 当0a 时，()0fx，()f x在0,单调递增，且
23、1(2)ln2ln22faa，则当2x 时，ln2()2f x，不符合要求.当0a 时，2111()axaxaxfxxx，0 x 当0axa时，()0fx，()f x单调递增；当axa时，()0fx，()f x单调递减，则当axa时，()f x取得最大值11()ln22faaaa 则由ln2()2f x恒成立，可得111lnln2222aa成立，令111()lnln2,0222h xxxx 则121()1,022xh xxxx 当102x时，()0h x，()h x单调递减；当12x 时，()0h x，()h x单调递增，则当12x 时，()h x取得最小值111111()lnln20222222h 则111()lnln20222h xxx恒成立，（当且仅当12x 时等号成立）则111lnln20222aa的解集为12 则 a的取值范围为12 第 13 页 共 13 页