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1、第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年黑龙江省哈尔滨市香坊区第六中学校高二上学期期中数学试题 一、单选题 1两直线20 xy和4250 xy之间的距离为（）A52 B5 C2 D54【答案】A【分析】把两个方程中对应项系数化为相同，然后由平行间距离公式计算【详解】方程20 xy化为420 xy，所求距离为22505242d 故选：A 2若直线1axby与圆221xy有两个公共点，则点,P a b与圆的位置关系是（）A点 P 在圆上 B点 P 在圆外 C点 P 在圆内 D以上都有可能【答案】B【分析】由题意可得圆心(0,0)到直线1axby的距离小于半径 1，从而可得221ab，进而
2、可得结论【详解】因为直线1axby与圆221xy有两个公共点，所以圆心(0,0)到直线1axby的距离小于半径 1，即 2211dab，所以221ab，所以221ab，所以点,P a b与圆221xy外，故选：B 3随机变量X的分布列是.若 1E X，则 D X（）X-2 1 2 P a b 12 第 2 页 共 14 页 A0 B2 C3 D4【答案】B【分析】利用分布列的概率之和为 1，利用期望的性质和方差公式求解.【详解】由题意可知，112211abab，解得1613ab，所以222111()2 11 12 12632D X .故选：B.4设P是椭圆C：2217xym上一点，13,0F，
3、23,0F分别是C的左、右焦点13PF，则2PF（）A5 B10 33 C4 D2 583【答案】A【分析】根据题意得到椭圆的焦点的位置，3c，27b，再利用椭圆的定义求解.【详解】依题意得椭圆C：2217xym焦点在x轴，且3c，27b，因为222abc，所以27316m，即4a，又13PF，1228PFPFa，所以25PF，故选：A 5流感是流行性感冒的简称，是由流感病毒引起的一种呼吸道传染病.接种疫苗是预防流感的主要措施.某医疗研究所为了检验某流感疫苗预防感冒的作用，把 500 名使用疫苗的人与另外 500 名末使用疫苗的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0:H“注射此种疫苗对预防流感无
4、关”，利用2 2列联表计算得26.789X，经查临界值表知26.6350.01P X.则下列结论正确的是（）A若某人未使用该疫苗，那么他在一年中有99%的可能性得感冒 B在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“注射此种疫苗对预防流感有关”C这种疫苗预防感冒的有效率为99%D这种疫苗预防感冒的有效率为 1%【答案】B 第 3 页 共 14 页【分析】根据独立性检验的性质判断即可【详解】根据独立性检验，可以得到 B 正确，其余的理解均不正确.故选：B 6甲乙丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有,A B两支正在等待检测的队伍，则甲乙丙三人不同的排队方案共有（）A12 种 B18 种 C
5、24 种 D36 种【答案】C【分析】对该问题进行分类，分成以下情况3 人到A队伍检测，2 人到A队伍检测，1 人到A队伍检测，0 人到A队伍检测；然后，逐个计算后再相加即可求解；注意计算时要考虑排队时的顺序问题.【详解】先进行分类：3 人到A队伍检测，考虑三人在A队的排队顺序，此时有33A6种方案；2 人到A队伍检测，同样要考虑两人在A队的排队顺序，此时有23A6种方案；1 人到A队伍检测，要考虑两人在B队的排队顺序，此时有23A6种方案；0 人到A队伍检测，要考虑两人在B队的排队顺序，此时有33A6种方案；所以，甲乙丙三人不同的排队方案共有 24 种.故选：C 7已知3AB，A、B分别在x
6、轴和y轴上运动，O为原点，1233OPOAOB，则点P的轨迹方程为（）A2214yx B2214xy C2219xy D2219yx 【答案】A【分析】设点,P x y、,0A a、0,Bb，利用平面向量的坐标运算可得出332axby，再利用3AB 化简可得出点P的轨迹方程.【详解】设点,P x y、,0A a、0,Bb，由1233OPOAOB可得1212,00,3333x yabab，所以，1323xayb，解得332axby，所以，22229934yABabx，化简可得2214yx.第 4 页 共 14 页 因此，点P的轨迹方程为2214yx.故选：A.8平面直角坐标系中，(0,1)A，(
7、0,2)B，若动点C在直线yx上，圆M过 A，B，C三点，则圆的半径最小值为（）A22 B63 C12 D1【答案】A【分析】先判断出 C点需在第一象限内.可设,0C a aa.设圆心3,2Mm，半径为 r，由BMMCr，得到22322aama，利用基本不等式求出22r，圆 M 的面积最小.【详解】为使圆 M的面积尽可能小，则 C点需在第一象限内.可设,0C a aa.因为(0,1)A，(0,2)B，所以线段 AB 的垂直平分线方程为32y.所以圆心在直线32y 上.设圆心3,2Mm，半径为 r，则BMMCr，所以2222233222rmaam，所以22232amaa，所以2232131312
8、2222aamaaaaa（当且仅当1aa，即1a 时等号成立）.所以 222min1312222r.此时22r，圆 M 的面积最小.故选：A 二、多选题 第 5 页 共 14 页 9下列说法中，正确的是（）A直线53yx在y轴上的截距为 3 B直线310 xy 的一个方向向量为3,3 C1,3A，2,5B，2,3C 三点共线 D过点3,4且在x，y轴上的截距相等的直线方程为70 xy【答案】BC【分析】结合直线截距的意义、直线方向向量的定义以及平面共线向量的运算依次判断选项即可.【详解】A：直线53yx在 y轴上的截距为-3，故 A 错误；B：由题意，点(3,4),(0,1)AB在直线上，故直
9、线的一个方向向量为(3,3)AB ，故 B 正确；C：由(13)(2 5)(23)ABC，、，、，可得(1 2)(48)ABBC，所以14ABBC，A、B、C 三点共线，故 C 正确；D：斜率为1，以及过原点的直线在在 x、y 轴截距都相等，故过点(3 4)，且在 x、y轴截距相等的直线方程为70 xy或43yx，故 D 错误.故选：BC 10已知5234560123456(2)(1 2)xxaa xa xa xa xa xa x，则（）A0a的值为 2 B5a的值为 16 C123456aaaaaa的值为5 D135aaa的值为 120【答案】ABC【分析】利用赋值法判断 A、C、D；利用通
10、项公式判断 B.【详解】令 x0，得02a，故 A 正确；5544552(2)(2)16CC ，故516a，B 正确；令 x1，得01234563aaaaaaa，又02a，1234565aaaaaa，故 C 正确；令 x1，得0123456243aaaaaaa，由得：135123aaa，D 错误 故选：ABC 第 6 页 共 14 页【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式，以及赋值法的应用，属于基础题,11假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表：品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50%30%20%优质率 80%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，用1A，2A，3A分别
11、表示买到的智能手机为甲品牌乙品牌其他品牌，B 表示买到的是优质品，则（）A 230%P A B370%P BA C180%P B A D 81%P B 【答案】ACD【分析】根据表中数据，结合条件概率公式、全概率公式逐一判断即可.【详解】因为乙品牌市场占有率为 30%，所以 230%P A，因此选项 A 正确；因为333()()20%70%14%P BAP A P B A，所以选项 B 不正确；因为180%P B A，所以选项 C 正确；因为 112233()()()()()()50%80%30%90%20%70%81%,P BP A P B AP A P B AP A P B A 所以选项
12、D 正确，故选：ACD 12已知椭圆22:198xyC的左右焦点分别为12,F F，点P为椭圆C的一个动点，点1,1M，则下列结论正确的是（）A存在点P，使得12PFPF B12PF F的面积最大值为2 2 C点P到直线210 xy 距离的最大值为2 3 D1PMPF的最大值为 7【答案】BCD 第 7 页 共 14 页【分析】利用椭圆的定义及几何性质可判断 ABD，利用三角函数可判断 C.【详解】对于 A，当 P 为椭圆短轴顶点时，12FPF为最大，此时222212112129947cos022 3 39PFPFFFFPFPFPF，即12FPF为锐角，所以不存在点 P使得120PF PF，故
13、 A 错误；对于 B，当 P 为椭圆短轴顶点时，12PF F的面积最大，且最大面积为：12 2 22 22S ，故 B 正确；对于 C，由椭圆22:198xyC，令3cos2 2sinxy，则3cos2 2sinP，在椭圆上，则3cos2 2sinP，到直线210 xy 的距离为 3cos22 2sin15sin1123d，当sin1 时，max5 12 33d，故 C 正确；对于 D，由椭圆22:198xyC，所以21,0F，又1,1M，所以2221 10 11MF，所以12226667PMPFPMPFPMPFMF，故 D 正确.故选：BCD.三、填空题 13 若随机变量服从正态分布2,N，
14、且280.15pp，则25p_.【答案】0.35#720【分析】由已知可得：5，从而计算出281281 0.150.150.70PPP ，再利用对称性，即可计算出.【详解】由随机变量服从正态分布2,N，且280.15pp，可得：5，且281281 0.150.150.70PPP ，第 8 页 共 14 页 又2558PP，所以0.7025=0.352P.故答案为：0.35 14设随机变量 B(2，p)，若 P(1)=59，则 D()的值为_.【答案】49【分析】由二项分布的特征，先求出13p，套公式即可求出 D().【详解】因为随机变量 B(2，p)，且 P(1)=59，所以 P(1)=11P
15、=10P=25119p.解得：13p.所以 D()12412339npp.故答案为：49 15 已知直线:0l kxyk，若直线l与圆:C222430 xxyy在第一象限内的部分有公共点，则k的取值范围是_.【答案】23,3【分析】根据题意画出图像，观察图像得到直线l与圆在第一象限内的部分有公共点时，其临界直线分别为直线,PA PB，求出对应的斜率可写出k的取值范围.【详解】如图所示，由直线:0l kxyk得1yk x直线l过点1,0P，由题意得圆:C22122xy，圆心为1,2，半径为2r，令0 x 得1y 或3，所以圆C与y轴的交点为0,1,0,3DA，第 9 页 共 14 页 所以直线P
16、A的斜率为 30301PAk，当直线l与圆相切时，有2221kkk，整理得2410kk，解得23k，其中切线PB的斜率为23PBk，若直线l与圆C在第一象限内的部分有公共点，则直线l斜率的取值范围为233k.故答案为：23,3.16已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，点 P 为椭圆上一点，线段1FP与 y轴交于点 Q，若1|2PQQF，且12PF F为等腰三角形，则椭圆的离心率为_.【答案】312【分析】由线段1FP与 y 轴交于点 Q，得P点横坐标，代入椭圆方程得P点纵坐标，由12PFF为等腰三角形，得122FFPF，用,a b c表示此等式转化为离心率e的方程
17、，解之可得【详解】1(,0)Fc，线段1FP与 y轴交于点 Q，1|2PQQF，P在y右侧，则2Pxc，222241cyab，22224(1)cyba，12PFF为等腰三角形，则122FFPF，所以22224(2)(1)2cccbca，2222244b caca，整理得424810ee，2312e ，312e，故答案为：312 四、解答题 17已知圆221:(6)(7)25Cxy及其上一点2,4A.(1)设平行于OA的直线l与圆1C相交于,B C两点，且BCOA，求直线l的方程；(2)设圆2C与圆1C外切于点A，且经过点3,1P，求圆2C的方程.【答案】(1)250 xy或2150 xy(2)
18、22(2)(1)25xy 第 10 页 共 14 页 【分析】（1）由题意可设直线l的方程为2yxb，再由根据弦长结合点到直线的距离与勾股定理求解即可；（2）由题意可知圆心2C在直线1AC上也在在AP的中垂线上，先求出这两条直线，再联立可得圆心坐标，进而可得半径，即可求解【详解】（1）因为直线lOA，所以直线l的斜率为40220.设直线l的方程为2yxb，则圆心1C到直线l的距离222+112755bbd.则22252 52 255bBCd，又2 5BCOA，所以252 252 55b，解得5b 或15b ，即直线l的方程为：250 xy或2150 xy.（2）因为圆2C与圆1C外切于点A，所
19、以圆心2C在直线1AC上 由两点式427462yx得直线1AC方程为34100 xy 又因为圆2C经过点A和P，所以圆心2C在AP的中垂线上，AP中点为5 5,32 2APk 所以AP中垂线方程为515232yx，即350 xy 由34100350 xyxy解得圆心坐标为22,1C，半径2235rC P 所以圆2C的方程为22(2)(1)25xy 182022 年 2 月 22 日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了第 11 页 共 14 页 10 名网红直播的观看人次和农产品销售
20、量的数据，如下表所示：观看人次 x（万次）76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 销售量 y（百件）80 87 75 86 100 79 93 68 85 77 参考数据：10102211600,768,80iiiixxyyx(1)已知观看人次x与销售量y线性相关，且计算得相关系数11 216r，求回归直线方程ybxa；(2)规定：观看人次大于等于 80（万次）为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于 90（百件）为优秀，小于 90（百件）为不优秀，对优秀赋分 2，对不优秀赋分 1从金牌主中随机抽取 3 名，若用X表示这 3 名主播赋分的和，求随机变量X的分布列和数学期望（附
21、：121,niiiniixxyyaybxxxb，相关系数 12211niiinniiiixxyyrxxyy）【答案】(1)11510yx(2)答案见解析 【分析】（1）由相关系数11 216r 求出101660iiixxyy，进而可得,b a，即可求出回归直线方程；（2）X的可能取值为 3，4，5，求出对应的概率，得到分布列，然后求出期望即可【详解】（1）因为12211niiinniiiixxyyrxxyy，所以10111 216600 768iiixxyy 所以101660iiixxyy，所以10110216601160010iiiiixxyybxx，18087778310y，1183805
22、10aybx，所以回归直线方程为11510yx（2）金牌主播有 5 人，2 人赋分为 2，3 人赋分为 1，则随机变量X的可能取值为 3，4，5，第 12 页 共 14 页 3335C13C10P X，122335C C34C5P X，212335C C35C10P X，所以X的分布列为：X 3 4 5 P 110 35 310 所以 13321345105105E X 19已知平面上动点,M x y与定点1,0的距离和M到定直线2x 的距离的比是常数22，动点M的轨迹为曲线C.直线l与曲线C交于1122,P x yQ x y两个不同的点.(1)若直线l的方程为22yx，求OPQ的面积；(2)
23、若OPQ的面积为22，证明：2212xx和2212yy均为定值.【答案】(1)2 109(2)证明见解析.【分析】（1）由题知曲线C的方程为2212xy，进而直线l的方程与椭圆方程联立结合弦长公式得10 29PQ，原点到直线22yx的距离为2 55d，再计算面积即可；（2）先考虑直线斜率存在时的情况，设其方程为ykxm，进而与椭圆方程联立，结合弦长公式得2212mk，再计算2212xx，2212yy即可证明.【详解】（1）解：动点,M x y与定点1,0F的距离为221MFxy，M到定直线2x 的距离为2x，所以221222xyx，化简得2212xy，所以，曲线C的方程为2212xy；所以，联
24、立方程221222xyyx得291660 xx，400 第 13 页 共 14 页 所以，1212162,93xxx x，所以，原点到直线22yx的距离为222 5521d，221212256810 212458139PQxxx x，所以，OPQ的面积112 510 22 1022599Sd PQ 所以，OPQ的面积为2 109（2）解：由（1）曲线C的方程为2212xy，因为直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立2212ykxmxy得2221 24220kxkmxm，2222244 122216880 kmkmkm，2121222422,1212kmmxxx xkk，原点到直线
25、ykxm的距离为21mdk，22221212121241PQxxyyxxx xk 2222222222488168811121212kmmkmkkkkk，所以OPQ的面积为22222211222211168812mkkkkPmdQ，化简得224224844144 k mmmkk，即222210mk，2212mk，222221212221212444212kmxxxxx xmkk 2222224422222221116442 218168222212121212kkkkkkkkkkk，所以22122xx为定值.所以，222222121221222122kxmkxmkyxxkm xmyx 第 14 页 共 14 页 2222222222212821242221212kkk mmkkmkkmmkk 2222222222222128211121224121211222kkkkkkkkkkkk 所以，22121yy为定值.当斜率不存在时，设其方程为0022xxx，与椭圆方程联立02212xxxy得2012xy ，所以，200200,1122,P xQxxx 所以，202 12xPQ，所以，OPQ的面积为220000122 112222xxxx，解得01x ，所以，02122222xxx，2222012011222xyyx 综上，22122xx为定值，22121yy为定值.