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1、第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年河南省周口市太康县第二高级中学高二上学期 12 月月考数学（文）试题 一、单选题 1“1a”是“直线1:430laxy 与直线2:320lxay平行的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出当12ll/时实数a的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12ll/时，34a a，即2340aa，解得1a 或4.当1a 时，直线1l的方程为430 xy，直线2l的方程为420 xy，此时12ll/；当4a 时，直线1l的方程为304xy，直线2l的方程为20 xy，此时12ll/.因
2、为 11,4，因此，“1a”是“直线1:430laxy 与直线2:320lxay平行”的充分不必要条件.故选：A.2在空间直角坐标系中，已知(1,2,3)A，(3,2,1)C，(4,3,0)D，则直线AB与CD的位置关系是（）A垂直 B平行 C异面 D相交但不垂直【答案】B【详解】因为1,2,3A，2,1,6B，3,2,1C，4,3,0D，所以,(3,3,3),(1,1,1)ABCD,可得3ABCD，所以ABCD，线AB与CD的位置关系是平行，故选 B 3已知向量,1,2ax，2,4by，且ab，则xy（）A1 B2 C2 D1【答案】D【分析】由空间向量共线的坐标运算求出x，y再求和即可.【
3、详解】ab，ba，即 2,4,1,2,2yxx，第 2 页 共 14 页 242xy 解得212xy ，1 21xy .故选：D.4如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，AA12，ABBC1，动点 P，Q 分别在线段 C1D，AC上，则线段 PQ 长度的最小值是()A23 B33 C23 D53【答案】C【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，设点 P 的坐标为(0，2)，0,1，点 Q 的坐标为(1，0)，0,1，PQ22222(1)()425221 2219545()()5599，当且仅当 19，59时，
4、线段 PQ 的长度取得最小值23.5如图，在棱长为 a 的正方体1111ABCDABC D中，P 为11AD的中点，Q 为11AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点 Q 到平面PEF的距离（）第 3 页 共 14 页 A等于55a B和EF的长度有关 C等于23a D和点 Q 的位置有关【答案】A【分析】取11BC的中点 G，连接,PG CG DP，利用线面平行判断出选项 B,D 错误；建立空间直角坐标系，利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出结论.【详解】取11BC的中点 G，连接,PG CG DP，则/PGCD，所以点 Q 到平面PEF的距
5、离即点 Q 到平面PGCD的距离，与EF的长度无关，B 错又11/AB平面PGCD，所以点1A到平面PGCD的距离即点 Q 到平面PGCD的距离，即点 Q 到平面PEF的距离，与点 Q 的位置无关，D 错 如图，以点 D 为原点，建立空间直角坐标系，则1(0,0),(0,0,0),(,0,),0,2aCaDA aaPa，(0,0)DCa，1(,0,)DAaa，,0,2aDPa，设(,)nx y z是平面PGCD的法向量，则由0,0,n DPn DC 得0,20,axazay 令1z，则2,0 xy，所以(2,0,1)n 是平面PGCD的一个法向量 设点 Q 到平面PEF的距离为 d，则1255
6、|5DA naaadn，A 对，C 错 故选：A 【点睛】本题主要考查点到直线的距离，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属中档题.第 4 页 共 14 页 6已知点(2,0),(0,2)AB，若点 C 是圆2220 xyx上的动点，则ABC面积的最小值为()A3 B2 C32 D32【答案】D【分析】首先求出直线AB的方程和线段AB的长度，利用圆心到直线的距离再减去圆的半径得出ABC的高的最小值，即可求解.【详解】由题意，易知直线AB的方程为20 xy，且|2 2AB,圆2220 xyx可化为22(1)1xy，圆心为(1,0)，半径为 1，又圆心(1,0)到直线AB的距离33 222d，ABC
7、的面积最小时，点 C 到直线AB的距离最短，该最短距离即圆心到直线AB的距离减去圆的半径，故ABC面积的最小值为113 2|(1)2 2132222ABd.故选：D.7点 M，N是圆2224xykxy0 上的不同两点，且点 M，N关于直线 xy10 对称，则该圆的半径等于（）A 2 2 B2 C3 D9【答案】C【分析】根据题意可得：直线 l：xy10 经过圆心（2k，1），代入运算解得 k4，再代入254kr 求圆的半径【详解】圆2224xykxy0 的标准方程为（x2k）2（y1）2524k，则圆心坐标为（2k，1），半径为254kr 因为点 M，N在圆2224xykxy0 上，且点 M，
8、N关于直线 l：xy10 对称，所以直线 l：xy10 经过圆心，所以2k110，k4 第 5 页 共 14 页 所以圆的方程为：22424xyxy0，圆的半径254kr 3.故选：C 8 若直线:20l kxy与曲线2:1(1)1Cyx有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A4,23 B4,43 C442,233 D4,3【答案】A【分析】确定曲线C是半圆（右半圆），直线l过定点(0,2)P，求出直线l过点(1,0)A时的斜率，再求得直线l与半圆相切时的斜率，由图形可得k的范围【详解】直线:20l kxy恒过定点(0,2)P，曲线2:1(1)1Cyx表示以点(1,1)C为圆心，半径为 1
9、，且位于直线1x 右侧的半圆（包括点(1,2)，(1,0)如图，作出半圆C，当直线 l经过点(1,0)A时，l与曲线C有两个不同的交点，此时2k，直线记为1l；当l与半圆相切时，由2|3|11kk，得43k，切线记为2l 由图形可知当423k时，l与曲线C有两个不同的交点，故选：A 9 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为F，过F作倾斜角为60的直线与椭圆C交于,A B两点，M为线段AB的中点，若3OFFM（O为坐标原点），则椭圆C的离心率是（）A12 B105 C32 D34【答案】B 第 6 页 共 14 页【分析】依据题给条件得到关于,a c的关系式，即可求得椭圆C的离心率
10、.【详解】设112200,A x yB xyM xyA B在椭圆上，所以2222112222221,1xyxyabab，两式相减，得 12121212220 xxxxyyyyab，由直线 AB的倾斜角为60，可知12123yyxx，所以002230 xyab；设22,0,60FccabOFM，1133FMOFc，所以53,66Mcc，所以2253660ccab，所以2235ab，即2225ac，所以105cea.故选：B.10已知双曲线222:1yC xb的一个焦点为(2,0)，则双曲线C的一条渐近线方程为（）A30 xy B30 xy C310 xy D310 xy 【答案】B【分析】由双曲
11、线中 a，b，c的关系先求出 b，进而可求焦点在 x轴上的双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题意，1,2ac，又222cab，解得3b.所以双曲线C的一条渐近线方程为3byxxa ，即30 xy.故选：B.11已知F是抛物线2yx的焦点，点,A B在该抛物线上且位于x轴的两侧，O为坐标原点，若12OA OB，则AOB面积的最小值为（）A6 B8 C10 D12【答案】B【详解】设直线 AB 的方程为：x=ty+m，点 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 与 x 轴的交点为 M（m，0），x=ty+m 代入2yx，可得20ytym，根据韦达定理有1212yymyyt，第 7 页 共
12、14 页 12OA OB，121212xxyy，从而21212120yyyy（），点 A，B 位于 x 轴的两侧，124yy ，故4m 故直线 AB 所过的定点坐标是4 0（，），即有AOB面积22121212144421682Syyyyy yt ，当0t 时，即直线 AB 垂直于 x 轴，AOB的面积取得最小值，且为 8【点睛】本题考查考查三抛物线中三角形的面积的最值，注意求出直线恒过定点，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题 12若方程22153xykk表示椭圆，则 k 的取值范围为（）A3,4 B4,5 C3,5 D 3,44,5【答案】D【分析】由题意可得503053kkk
13、k，解方程即可得出答案.【详解】因为方程22153xykk表示椭圆，所以505303534kkkkkkk，解得：35k且4k.故 k的取值范围为：3,44,5.故选：D.二、填空题 13若直线10 xy 与直线310mxy 互相垂直，则实数m的值为_【答案】3【解析】直接利用两直线垂直，求出 m.第 8 页 共 14 页【详解】因为直线10 xy 与直线310mxy 互相垂直，所以30m，解得：3m 故答案为：3【点睛】若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要 A1A2+B1 B2=0,两直线垂直.14在四棱锥 P-ABCD中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形
14、，PA=2，则 AB与 PC的夹角的余弦值为_.【答案】66【分析】利用向量夹角公式来计算出AB与PC的夹角的余弦值.【详解】ABPCAB(PAAC)=ABPAABAC=12cos 45=1，又|AB|=1，|PC|=6，cos=16616AB PCABPC.故答案为：66 15已知双曲线22210 xyaa的右焦点与抛物线28yx的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是_.【答案】33yx 【分析】求出抛物线的焦点，根据222acb可求a的值，从而可求渐近线方程.【详解】抛物线28yx的焦点是（2，0），2c，24 13a ，3a，33ba所以双曲线的渐近线方程为33yx.故答案为:33yx.第
15、 9 页 共 14 页 16已知 F 是抛物线2:8Cyx的焦点，M是 C 上一点，FM的延长线交 y轴于点 N若 M为 FN的中点，则|FN _【答案】6【分析】由抛物线方程求得焦点坐标，设出N点坐标，利用中点坐标公式求得M点的坐标，代入抛物线方程并化简，由此计算出FN的值.【详解】如图，过 M、N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为1M、1N，设抛物线的准线与 x轴的交点为1F，则112NNOF，14FF 因为 M为 FN的中点，所以13MM，由抛物线的定义知1|3FMMM，从而|2|6FNFM 故答案为：6 三、解答题 17如图，正方体ABCDABCD 的棱长为 a (1)求A B和B C
16、的夹角；(2)求证：AA BC【答案】(1)60(2)证明见解析 【分析】（1）选好基底后，根据空间向量数量积即可求解；第 10 页 共 14 页（2）利用向量垂直，数量积为 0 即可得解.【详解】（1）AB a=，ADb，AAc 由于正方体ABCDABCD 的棱长为 a，abca，且,90a b，,90a c，,90b c A BABAAac，B CA DADAAbc，()()A B B Cacbc222000a ba cb ccaa 又2A Ba，2B Ca，21cos,222A B B CaA B B CaaA B B C 又,0,180A B B C，,60A B B C，A B与B
17、C的夹角为 60（2）证明：由（1）知A Bac，ACABBCCCABADAAabc，22()()A B ACacabcaa ba cc ac bc2200000aa ，A BAC，A BAC 18已知ABC的三个顶点,A m n、2,1B、2,3C (1)求BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD的方程为2360 xy，且7ABCS，求点A的坐标【答案】(1)240 xy(2)3,4或3,0 【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可；（2）首先根据AD直线方程，可得2360mn，然后利用点到直线距离，得到点A到直线BC的距离为：245mn，再根据7ABCS，得到247mn，最后解方
18、程组即可得到参数的值.【详解】（1）因为2,1B、2,3C，所以 BC边所在直线的方程为：122403 122yxxy；第 11 页 共 14 页（2）BC 边上中线 AD的方程为2360 xy，所以有2360mn，点 A 到直线 BC 的距离为：222424512mnmn，22223 12 5BC ，因为7ABCS，所以有2412 5724725mnmn，因此有+24=723+6=0mnmn或+24=723+6=0mnmn，解得：=3=4mn或=3=0mn，所以点 A 的坐标为：3,4或3,0 19如图，圆228xy内有一点012P ,，AB 为过点0P且倾斜角为的弦 （1）当135时，求
19、AB 的长（2）是否存在弦 AB被点0P平分？若存在，写出直线 AB 的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）30AB;（2）250 xy.【分析】（1）求出直线 AB的斜率即可写出其点斜式方程，利用勾股定理可求得弦长；（2）当弦AB被点0P平分时，AB 与0OP垂直，由此可求出直线 AB的斜率，写出其点斜式方程化简即可.【详解】（1）依题意，直线 AB的斜率为1，又直线 AB 过点012P ,，所以直线 AB 的方程为：21yx，圆心0,0O到直线 AB的距离为22d，则11308222AB，所以30AB；（2）当弦AB被点0P平分时，AB 与0OP垂直，第 12 页 共 14 页 因为0
20、2OPk，所以12ABk，直线 AB 的点斜式方程为1122yx 即250 xy.20图中是抛物线形拱桥，当水面在 l时，拱顶离水面 2m，水面宽 4m.水下降 1m 后，水面宽多少？（精确到 0.1m）【答案】4.9 m【分析】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将点(2,2)代入抛物线方程求得p，得到抛物线方程，再把点(,3)x 代入抛物线方程求得x进而得到答案【详解】在抛物线形拱桥上，以拱顶为坐标原点，水平方向为 x轴，竖直方向为 y 轴，建立平面直角坐标系，如答图所示.设该拋物线的方程为22(0)xpy p.拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m，点(2,2)在拋物线上，222(2)p ，
21、解得1p，拋物线的方程为22xy.当水面下降 1 m 时，=3y，代入22xy，得22(3)6x ，即6x ，2 64.9，故这时水面宽约为 4.9 m.21设双曲线22221xyab(0ab)的半焦距为 c，直线 l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线 l的距离为34c，求双曲线的离心率【答案】e2.第 13 页 共 14 页【分析】先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为3 4c，222cab，求出22ac的值，进而根据0ab求出离心率【详解】由 l过两点(a,0)，(0，b)，得 l的方程为 bxayab0.由原点到 l的距离为c，得c.将 b代入平方后整理，得 1621630
22、.解关于的一元二次方程得 或.e，e或 e2.又 0a.应舍去 e.故所求离心率 e2.【点睛】本题考查双曲线性质，考查求双曲线的离心率常用的方法即构造出关于,a b c的等式，属于中档题 22设椭圆 C：22221(0)xyabab的焦点为13,0F、23,0F，且该椭圆过点13,2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上的点00,M x y满足12MFMF，求0y的值【答案】（1）2214xy；（2）033y .【解析】（1）由题意可得2222233104cababc，解方程组即可求解；（2）由题意可得120MF MF，即220030 xy，将点00,M x y代入2214xy可得22
23、0014xy，解方程组即可求解.【详解】（1）由题意得，2222233104cababc，解得24a，21b，所以椭圆 C 的标准方程为2214xy （2）点00,M x y满足12MFMF，则有120MF MF，且00y 第 14 页 共 14 页 0013,xyMF，2003,xyMF，即22120000003330MF MFxxyyxy ，而点00,M x y在椭圆C上，则220014xy，取立消去20 x，得2013y，所以033y .【点睛】关键点点睛：第二问求0y的关键点是利用12MFMF由120MF MF，可得220030 xy，再利用00,M x y在椭圆C上可得220014xy即可求解.