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1、普集镇高级中学 2022-2023 学年高二上学期数学期末模拟试题 数学卷 一、单选题 1已知双曲线222210,0 xyabab的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为 2 的等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（）A2 B3 C4 D2 2已知1,2,0A，3,1,2B，2,0,4C，则点C到直线AB的距离为（）A2 B5 C2 3 D2 5 3若平面，且平面 的一个法向量为 n1(2,1,)2，则平面 的法向量可以是（）A1 1(1,)2 4 B(2，1，0)C(1，2，0)D1(,1,2)2 4 在ABC中，已知BCa，ACb，且 a，b是方程213400 xx的两个
2、根，60C，则AB（）A3 B7 C89 D49 5抛物线22yx的焦点坐标为（）A1,02 B1,02 C10,8 D10,8 6已知抛物线2:(0)C ymx m上的点(,2)A a到其准线的距离为4，则m（）A14 B C18 D4 7若变量,x y满足约束条件50,20,4,xyxyy则32zxy的最小值为（）A5 B72 C52 D2 8在ABC中，若5 2a，10c，30A，则B等于（）A105 B60或 120 C15 D105或 15 9如图，某公园内有一个半圆形湖面，O为圆心，半径为 1 千米，现规划在半圆弧岸边上取点C，D，E，满足2AODDOEAOC ，在扇形AOC和四边
3、形ODEB区域内种植荷花，在扇形COD区域内修建水上项目，并在湖面上修建DE，EB作为观光路线，则当DEEB取得最大值时，sinAOC（）A32 B22 C12 D14 10记数列 na的前 n 项和为nS，598S，数列2nnS是公差为 7 的等差数列，则 na的最小项为（）A2 B1516 C1 D14 二、填空题 11已知等比数列 na中，12a，公比2q，则2a _.12设 a0，若对于任意正数 m，n，都有 m+n=7，则满足11411amn的 a 的取值范围是_.13在ABC中，已知120B，19AC，2AB，则BC _.14已知双曲线222210,0 xyabab过左焦点且垂直于
4、 x 轴的直线与双曲线交于 P，Q 两点，以 P，Q 为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切，若两圆的半径之和为5a，则双曲线的离心率为_.三、解答题 15（1）已知数列an满足 a11，an1an1n(n1)，nN*，求通项公式 an；（2）设数列an中，a11，an1(1)nan1(n2)，求通项公式 an.16等差数列 na满足1210aa，432aa.（1）求 na的通项公式.（2）设等比数列 nb满足23ba，37ba，求数列 nb的前 n 项和.17记ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，已知coscos3 tanaBbAcA.(1)求A；(2)若2,2 3ab，求AB
5、C的面积.18已知 O 为坐标原点，双曲线 C：22221xyab（0a，0b）的离心率为3，点 P 在双曲线 C上，点1F，2F分别为双曲线 C的左右焦点，2124PFPF.(1)求双曲线 C的标准方程；(2)已知点1,0A，10B,，设直线 PA，PB 的斜率分别为1k，2k.证明：12k k为定值.19若椭圆 E：22221(0)xyabab过抛物线 x24y的焦点，且与双曲线 x2y21 有相同的焦点.(1)求椭圆 E 的方程；(2)不过原点 O的直线 l：yxm与椭圆 E 交于 A，B 两点，求OAB 面积的最大值以及此时直线的方程.20正项数列 na的前n项和nS满足：222(1)
6、()0nnSnnSnn（1）求nS（2）求数列 na的通项公式na（3）令2221(1)nnnbna，求数列 nb的前n项和 普集镇高级中学 2022-2023 学年高二上学期数学期末模拟试题 数学卷 参考答案：1D【分析】根据等边三角形的性质，结合双曲线的渐近线方程、离心率公式进行求解即可.【详解】因为OAF是边长为 2 的等边三角形，所以2c，显然渐近线byxa的倾斜角为60，因此有2222222tan6033422bcbacaacacaeaa，故选：D 2B【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算 C到直线 AB的距离【详解】因为2,1,2AB，1,2,4AC，所以AC在AB方向上的投影数
7、量为2284|4 14AB ACAB 设点 C到直线AB的距离为 d，则22|41416165dAC 故选：B.3A【解析】略 4B【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】因为 a，b是方程213400 xx的两个根，所以13,40abab.由余弦定理，22222cos3133 407cababCabab.即AB7.故选：B 5C【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标.【详解】由22yx可得212xy，焦点在y轴的正半轴上，设坐标为0,2p，则122p，解得14p，所以焦点坐标为10,8.故选：C.6C【分析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定2p的值，再根据焦半径公式求解
8、.【详解】21xym，0m，因为点(,2)A a到C的准线的距离为4，所以1244m，得18m 故选：C 7A【分析】首先根据题意画出不等式组表示的可行域，再根据的几何意义求解即可.【详解】不等式组表示的可行域如图所示：50144xyxyy，1,4A 由32zxy得322zyx，表示直线322zyx的y轴截距的2倍，当直线322zyx过1,4A时，取得最小值，min3 85 z.故选：A 8D【分析】首先利用正弦定理5 210sin30sinC得到2sin2C，从而得到45C 或135，即可得到105B 或15.【详解】由题知：5 210sin30sinC，所以2sin2C，又因为0180C，
9、ca，所以45C 或135.所以105B 或15.故选：D 9D【分析】设AOC，利用三角恒等变换、余弦定理求得DEEB的表达式，结合二次函数的性质求得正确答案.【详解】设AOC，则2,4AODDOEBOE，04,0,0242，则sin、cos2为正数.在三角形ODE中，由余弦定理得：21 1 2 1 1 cos22 2cos24sin2sinDE ，在三角形BOE中，由余弦定理得：221 1 2 1 1 cos 422cos44cos 22cos22 1 2sinEB ，所以222sin2 12sin4sin2sin2DEEB,由于2sin0,2，所以当21sin244 时，DEEB取得最小
10、值，也即1sin4AOC时，DEEB取得最小值.故选：D 10C【分析】根据给定条件，求出数列2nnS的通项公式，进而求出数列 na的通项公式，再探讨其最小项作答.【详解】依题意，559232368S，因数列2nnS是公差为 7 的等差数列，则55227(5)71nnSSnn，因此712nnnS，当2n 时，117176137222nnnnnnnnnaSS，而114aS不满足上式，当2n 时，11167137720222nnnnnnnnaa，即当3n时，1nnaa，于是当3n时，数列 na是递增的，而214a ，31a ，则min3()1naa，所以 na的最小项为1.故选：C 114【分析】
11、根据等比数列的通项公式21aa q，即可求解.【详解】由题意，等比数列 na中，12a，公比2q，则212 24aa q.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算问题，考查了计算能力，属于容易题.121，+）【分析】由题意结合均值不等式首先求得1411mn的最小值，然后结合恒成立的条件得到关于 a的不等式，求解不等式即可确定实数 a的取值范围【详解】解：m+n=7，（m+1）+（n+1）=9，则 41141411111152 451111199119mnmnmnmnmn，当且仅当41111mnmn，即 m=2，n=5 时取等号，11a，a0，a1，a的取值范围是1，
12、+），故答案为：1，+）.133【分析】设角A，B，C所对的边分别为a，b，利用余弦定理得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而得到BC的长度【详解】解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，结合余弦定理，可得219422 cos120aa ，即22150aa，解得3a 或5a （舍去），所以3BC 故答案为：1432【分析】不妨取22,bbPcQcaa,，分别计算两点到渐近线0bxay的距离12,r r，根据125rra求解即可.【详解】xc 代入222210,0 xyabab可得2bya，不妨取22,bbPcQcaa,，渐近线方程为0bxay，设圆 P 和圆 Q 的半径分别为12,r r
13、，圆 P 和圆 Q 均与双曲线的同条渐近线相切，2222122222,bbbcabcaaabcbbcbrrccabab,又两圆的半径之和为5a，1225rrba，即52ba，离心率2222531142cbeaa，故答案为：32【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查了数形结合思想和运算能力，属于中档题.15（1）an1n(nN*)；（2）an1n(nN*)【分析】（1）由已知条件可得 an1an111(1)1n nnn，然后利用累加法可求出通项公式 an.（2）由 an1(1)nan1，可得1nnaa1nn，然后利用累乘法可求出通项公式【详解】（1）an1an1n(n1)，a2a111
14、2；a3a212 3；a4a313 4；anan11(1)nn.以上各式累加得，ana111 212 31(1)nn 1(1)211()2311()1nn11n.an111n，an1n(n2)又n1 时，a11，符合上式，an1n(nN*)（2）a11，an1(1)nan1(n2)，1nnaa1nn，an1nnaa12nnaa23nnaa32aa21aaa11nn21nn32nn231211n.又n1 时，a11，符合上式，an1n(nN*)16（1）22nan；（2）224n.【解析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算23,b b，从而求出1,b q，利用等比数列前n项
15、和公式即可求出ns.【详解】解：()na是等差数列，121431021022aaadaad，解出2d，14a，1(1)naad n 422n 22n.(2)232 328ba，372 7216ba，nb是等比数列，322bqb，b1=4 21(1)4(12)24112nnnnbqsq 17(1)6A(2)3或2 3 【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和求解即可；（2）根据余弦定理可得2c 或4c，再根据面积公式求解即可(1)由正弦定理可得sincossincos3sintanABBACA，故sin3sintanABCA，因为ABC，故sin3sintansinABCAC，故3tan3A
16、，又0,A，故6A(2)根据余弦定理可得222322 32 2 32cc，故240cc，故2c，4c.当2c 时，111sin2 323222ABCSbcA ；当4c 时，111sin2 342 3222ABCSbcA，故ABC的面积为3或2 3 18(1)2212yx (2)证明见解析 【分析】(1)根据题意和双曲线的定义求出1a，结合离心率求出 b，即可得出双曲线的标准方程；(2)设00,P x y，根据两点的坐标即可求出1k、2k，化简计算即可.(1)由题知：122PFPF 由双曲线的定义知：22a，1a 又因为e3ca，所以3c，所以2222bca 所以，双曲线 C的标准方程为2212
17、yx (2)设00,P x y，则220012yx 因为1,0A，10B,，所以0101ykx，0201ykx 所以220000122200002111112yyyyk kxxxy 19(1)2213xy(2)OAB面积最大值为32，此时直线的方程为2yx 【分析】首先求出抛物线与双曲线的焦点坐标，即可得到b、，再由222cab，即可求出2a，即可求出椭圆方程；（2）将直线方程和椭圆方程联立组成方程组，然后求解得到|AB的值，并通过求解得到点O到直线的距离d，即可得到含有m的OABS表达式，进而求解得出最大值(1)解：抛物线24xy的焦点为0,1，双曲线221xy的焦点为2,0或2,0，依题意
18、可得12bc，又222cab，所以23a，所以椭圆方程为2213xy；(2)解：根据题意，设点1(A x，1)y，2(B x，2)y，联立直线方程与椭圆方程可得，2233xyyxm，消去y得，2246330 xmxm，即得1232mxx，212334mx x，则由相交弦长公式可得2223332|24123242mmABm，又由点到直线距离公式可得，点O到直线AB的距离即为，|2|21 1mdm 所以222112213|1233(2)12222242OABSdABmmm，当且仅当22m，即2m 时，OAB面积取得最大值为32，此时直线的方程为2yx 20（1）2nSnn；（2）2nan；（3）2
19、11141n【分析】（1）将所给式子因式分解，即可得解；（2）根据11,1,2nnnS naSSn计算可得；（3）由（2）可得2211141nbnn，再利用裂项相消法计算可得；【详解】解：因为222(1)()0nnSnnSnn 所以201()nnSnnS 所以2nSnn或1nS 因为 na各项均为正数，所以2nSnn；（2）因为2nSnn，当1n时211112Sa，当2n 时，1211nSnn，所以221112nnnaSSnnnnn，当1n时2nan也成立，所以2nan（3）因为2221(1)nnnbna，所以2222211114(1)41nnbnnnn 所以222222221111111111114 124 234 3441nTnn 2222222221111111111114 122334411nnn