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1、第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年四川省成都市第七中学高二上学期 12 月月考数学（文）试题 一、单选题 1在我校举办的艺术节舞蹈比赛中，有 15 位评委为选手打分，若选手甲所得分数用茎叶图表示如图所示，则该选手所得分数的中位数为（）A80 B81 C84 D85【答案】C【分析】根据茎叶图，结合中位数的定义进行求解即可.【详解】根据茎叶图，从小到大排列，第 8 个数据为 84，所以该选手所得分数的中位数为 84，故选：C 2椭圆 22195yx的焦距为（）A1 B2 C4 D8【答案】C【分析】直接利用222cab计算焦距即可.【详解】椭圆22195xx，3a，5b，故222
2、cab，焦距为24c.故选：C 3分别对“xAB”和“xAB”进行描述，正确的是（）AxA或xB，xA且xB BxA或xB，xA或xB CxA且xB，xA或xB DxA且xB，xA且xB【答案】A【分析】由交集和并集的定义结合集合与元素的关系即可得出答案.【详解】由交集和并集的定义知，xAB即xA或xB，xAB即xA且xB.故选：A.第 2 页 共 14 页 4已知 O为坐标原点，(2,2)A，则以OA为直径的圆方程为（）A22(1)(1)2xy B22(1)(1)2xy C22(1)(1)8xy D22(1)(1)8xy【答案】B【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解【详解】由题
3、知圆心为 1,1，半径22112020222rOA=，圆的方程为22(1)(1)2xy 故选：B 5 记直线 12,l l的斜率分别为12,k k，命题p：“若12kk，则12ll/”，命题q：“若121kk，则12ll”，则下列选项中，为真命题的是（）Apq Bpq Cpq Dpq 【答案】C【分析】判断p是假命题，q是真命题，再依次判断每个选项得到答案.【详解】若12kk，12,l l可能重合，故命题p是假命题；若121kk，则12ll，命题q是真命题.故pq为假命题，A 错误；pq为假命题，B 错误；pq 为真命题，C 正确；pq 为假命题，D 错误.故选：C 6双曲线2213xy的渐近
4、线方程为（）A3yx B13yx C3yx D33yx 【答案】D【分析】利用双曲线的标准方程，令方程右边的常数 1 为 0，两边开平方，即可得到答案【详解】双曲线2213xy，由方程2203xy，可得双曲线的渐近线方程为33yx 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线的方程求法，属于基础题 第 3 页 共 14 页 7如图的程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前 300 年左右提出的“辗转相除法”执行该程序框图，若输入1813,333mn，则输出m的值为（）A4 B37 C148 D333【答案】B【分析】利用辗转相除法求 1813 和 333 的最大公约数.【详解】题
5、中程序框图为辗转相除法求 1813 和 333 的最大公约数.因为18133335148，333148237，1483740，所以 1813 和 333 的最大公约数为 37.故选：B.8为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.2 8.6 10.0 11.2 12 支出y(万元)7.40 7.50 8.00 8.50 m 但是统计员不小心丢失了一个数据(用m代替)，在数据丢失之前得到回归直线方程为0.760.4yx，则m的值等于（）A8.60 B8.80 C9.25 D9.52【答案】A【分析】根据表格数据求,x y，由样本
6、中心点(,)x y在回归直线上，将点代入即可求m的值.【详解】由题设知：8.28.6 10 11.2 12105x，7.47.588.531.455mmy，第 4 页 共 14 页(,)x y在回归直线上，31.40.76 100.45m，解得8.6m.故选：A.9阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为 5，则程序中a的取值范围是()A56a B56a C56a D56a【答案】D【分析】模拟执行该循环体 5 次，求出此时 i的取值即可判断 a的范围.【详解】模拟执行程序：0,1Si，0 1,2,2Sia；3,3,3Sia；6,4 4Sia，；10,5,5Sia；15,6,6Sia，共执行了
7、 5 次循环体，结束循环，56a.故选：D.10过点(4,1)P的直线l与圆22(3)4xy相交于,A B两点记:p直线l的斜率等于0，:|2 3qAB则p是q的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线l的斜率等于0时，直线l的方程为1y，代入方程22(3)4xy中，得33x，显然|2 3AB，第 5 页 共 14 页 当直线l的不存在斜率时，直线l的方程为4x，代入方程22(3)4xy中，得3x ，显然|2 3AB，因此p是q的充分不必要条件，故选：A 11已知圆2
8、2:1O xy，点00(,0),(0)A xx，动圆M经过点 A且与圆 O 相切，记动圆圆心 M 的轨迹为 E，有下列几个命题：00 x，则轨迹 E表示圆，001x，则轨迹 E表示椭圆，01x，则轨迹 E 表示抛物线，01x，则轨迹 E 表示双曲线，其中，真命题的个数为（）A1 B2 C3 D4【答案】C【分析】设动圆M圆心,M x y，半径为r，根据圆与圆内切和外切两种情况，结合圆，抛物线，椭圆和双曲线的定义，依次判断每个选项得到答案.【详解】设动圆M圆心,M x y，半径为r，当00 x 时，动圆M与圆 O 内切，故1MOr，即1MOMO，12MO，轨迹为圆，正确；当001x时，动圆M与圆
9、 O 内切，故1MOr，即1MOMAAO，故轨迹为椭圆，正确；当01x 时，动圆M与圆 O 内切时，1MOr，1MOMAAO，轨迹为线段OA；动圆M与圆 O 外切时，1MOr，1MOMAAO，轨迹为射线，错误；当01x 时，动圆M与圆 O 外切，1MOr，即1MOMAAO，故轨迹为双曲线，正确.故选：C 12某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的 S等于（）第 6 页 共 14 页 A24 B26 C30 D32【答案】D【分析】确定函数表示椭圆的上半部分，d表示椭圆上的点到一个焦点的距离，S表示距离之和，画出图像计算得到答案.【详解】25 116xy，即2251162xy，0y，表示
10、椭圆的上半部分，焦点为10,3F，20,3F，d表示椭圆上的点到一个焦点的距离，S表示距离之和，如图所示：1121314152627232732SAFA FA FA FA FA FA Faacac.故选：D 第 7 页 共 14 页 二、填空题 13抛物线22yx的焦点到准线的距离等于_.【答案】14【分析】先将抛物线方程22yx，转化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程即可.【详解】因为抛物线方程是22yx，转化为标准方程得：212xy，所以抛物线开口方向向右，焦点坐标为1,08F 准线方程为：18x ，所以焦点到准线的距离等于14.故答案为：14【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，还考查了
11、理解辨析的能力，属于基础题.14命题“对Rb，方程22211xyab表示焦点在 x 轴上的椭圆”为真命题，则满足条件的a的一个值可以是_【答案】0.5（填满足01a的任意实数均可）【分析】由题意知，210ba，又因为211b ，可求出01a，即可得出答案.【详解】因为命题“对Rb，方程22211xyab表示焦点在 x 轴上的椭圆”为真命题，则210ba，因为211b ，所以01a.故答案为：0.5（填满足01a的任意实数均可）.15在平面直角坐标系中，已知点(1,4),(3,2)AB，现将坐标平面沿 x轴折成直二面角，则折叠后 A，B 间的距离为_【答案】6【分析】如图所示，过A作ACx轴于C
12、，作BDx轴于D，确定ACBC，利用勾股定理计算即可.【详解】如图所示：过A作ACx轴于C，作BDx轴于D，折叠后的两个平面为,，x轴，ACx轴，故AC，BC，故ACBC，则2222242 5BCBDCD，2216206ABACBC.第 8 页 共 14 页 故答案为：6 16已知点2 0M，直线2140l axay：Ra，M关于直线l的对称点为点N，则OM ON的取值范围是_.【答案】4,12【分析】利用对称将向量相乘转化为求点的运动轨迹问题，做出图像即可得到OM ON的取值范围.【详解】解：由题意，Ra 在2140l axay：中，2 0M，2,0OM 240laxyy：直线l过点2 4A
13、，M关于直线l的对称点为点N 直线为线段MN的垂直平分线 直线l过点2 4A，的任意直线，直线的轨迹是以点2 4A，旋转的旋转圆，点M和点N在以点2 4A，为圆心 4 为半径的圆上，由图可知 当点N在12,4N时，OM ON最小，为：第 9 页 共 14 页 2,02,4220 44OM ON 当点N在26,4N时，OM ON最大，为：2,06,42 60 412OM ON OM ON的取值范围为4,12 故答案为：4,12.【点睛】本题考查数形结合的思想，考查学生的作图能力.三、解答题 17某幼儿园为调查学生的年龄与体重之间的关系，现从全校学生中随机抽取 100 名学生对他们的体重进行分析，
14、这 100 个样本已经按体重15,20),20,25),25,30),30,35（单位：公斤）分成四组，绘制成如图所示的频率分布直方图 (1)若要从体重在15，20），20，25)，25，30)三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 16 人参加一项活动，求从体重在25，30)内的学生中应选取的人数；(2)求这 100 名学生的平均体重【答案】(1)7；(2)25.5.【分析】（1）根据在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为 1，结合分层抽样的性质进行求解即可；（2）根据平均数的定义进行求解即可.【详解】（1）(0.030.040.06)51a，所以解得0.07a，体重在15，20），20，
15、25)，25，30)三组内的学生人数分别为 15、30、35 人 第 10 页 共 14 页 设体重在25，30)内的学生中应选取的人数为 x，则16735153035xx；（2）这 100 名学生中，体重在15，20）内的频率为15100，体重在20，25）内的频率为30100，体重在25，30）内的频率为35100，体重在30，35）内的频率为20100，所以平均体重为153530453555206525.51002100210021002.18已知:p方程22122xymm表示双曲E，:q方程2222xyym表示圆 C(1)若pq为真，pq为假，求m的取值范围；(2)若pq为真，求双曲线
16、 E 的离心率的取值范围【答案】(1)2,12,m (2)2 3(1,)3e 【分析】（1）当p为真命题时，22m，当q为真命题时，1m，考虑p真q假和p假q真两种情况，计算得到答案.（2）确定(1,2)m，242em，根据m范围得到离心率的取值范围.【详解】（1）pq为真命题，pq为假，故p，q恰有一个是真命题 当p为真命题时，(2)(2)0mm，解得22m；当q为真命题时，2222xyym，即2211xym，故1m.当p真q假时，221?mm，解得21m；当p假q真时，21mm或21?mm，解得2m.综上所述：m的取值范围是 2,12,m，（2）pq为真，则(1,2)m，根据双曲线 E的方
17、程得222,2ambm.所以242em，12m，324m，44123m 所以双曲线的离心率2 3(1,)3e 19已知某同学的物理成绩 y（单位：分，满分 100 分）与数学成绩 x（单位：分，满分 150 分）之间具有线性相关关系，在连续的五次月考中，该生的物理成绩与数学成绩统计如下表：第 11 页 共 14 页 数学成绩 x 120 110 125 130 115 物理成绩 y 92 83 90 96 89 (1)根据该同学的数学与物理成绩，若都以 100 分值计算，判断哪一科更稳定；(2)利用上表中的五组数据求回归直线方程ybxa.若在第六次月考中该生数学成绩为135x，利用该回归直线方
18、程预测第六次月考的物理成绩 参考公式：222211221()()1=()()(),()niiinniixxyysxxxxxxbaybxnxx【答案】(1)物理成绩更加稳定；(2)98.1分.【分析】（1）根据方差的运算公式和性质进行求解判断即可；（2）根据题中所给的公式，利用代入法进行求解即可.【详解】（1）根据表中数据可得：120 110 125 130 1159283909689120,90,55xy 按 100 分值计算，数学学科的方差为：222222211100200(0105105)51509s，物理学科的方差为22222221(27061)185s，200189，所以均以 100
19、分值计算，该同学物理成绩更加稳定；（2）51()()135iiixxyy 521()250iixx51521()()0.54()iiiiixxyybxx.900.54 120ayb x 25.2a，故所求回归直线的方程为0.5425.2yx 当135x，98.1y(分)第 12 页 共 14 页 故第六次月考物理成绩预测值为98.1分.20已知动圆P的圆心P在y轴的右侧，圆P与y轴相切且与圆 C：222xyx外切.(1)求动圆圆心P的轨迹E方程；(2)过圆心 C 作直线l与轨迹E和圆 C交于四个点，自上而下依次为,A M N B，若AMMNNB，成等差数列，求直线l的方程；【答案】(1)24(
20、0)yx x(2)22yx或22yx 【分析】（1）根据相切和外切得到圆心P到直线=1x的距离等于圆心到1,0C的距离，轨迹为抛物线，计算得到答案.（2）确定2MN 得到6AB，设出直线，联立方程，得到根与系数的关系，根据弦长公式计算即可.【详解】（1）设动圆P的半径为r，圆 C：2211xy，圆心为1,0C，半径为1，则1PCr，又圆心P到y轴的距离为r，则圆心P到直线=1x的距离为1r，由抛物线的定义得圆心P的轨迹E方程为抛物线，且12p，2p，故轨迹方程为：24(0)yx x（2）由圆C的半径为 1 可得2MN，AMMNNB，成等差数列，故24AMNBMN，又AMNBABMN，6AB，设
21、直线:1l xmy，11,A x y，22,B xy，联立214xmyyx，2440ymy，121244yymy y，2222121214116166ABmyyy ymm，解得212m，22m ，此时0 成立，所以直线l的方程为212xy，即22yx或22yx 21已知0a，三条直线123:0,:(1)0,:(1)10laxyalxaya alaxya 两两相交，交点分别为,A B C(1)证明：ABC是直角三角形，且有一个顶点为定点；第 13 页 共 14 页(2)求ABC面积的最大值【答案】(1)证明见解析；(2)34.【分析】（1）根据直线垂直的性质，结合直线点斜式方程的特征进行求解即可
22、；（2）根据三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】（1）记12,l l的交点为 A，记13,l l的交点为 B，记23,l l的交点为 C，1:0laxya的斜率为1ka，2:(1)0lxaya a的斜率为21ka，121k k ，12ll，即ABC是直角三角形，其中90A，又1:0(1)laxyaya x，所以过定点(1,0)，3:(1)10(1)(1)laxyayax，所以过定点(1,0)，ABC有一个顶点 B 为定点(1,0)；（2）ABC的面积为1|2SAB AC，其中 AB 为 B(1,0)到直线2l的距离，即22|1|1aaABa，又23,l l得交点为(0,1)Ca
23、到直线1l的距离，即21|1ACa，2222211111111131112212241112aaaaSaaaaaaa，当且仅当1aa时取等号，1a时，ABC面积取得最大值34 22已知椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别为12,F F，抛物线24yx与椭圆有相同的焦点，点 P 为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且17|3PF (1)求椭圆的方程；(2)过 F 作两条斜率不为 0 且互相垂直的直线分别交椭圆于 A，B 和 C，D，线段 AB的中点为 M，线段 CD的中点为 N，证明：直线MN过定点，并求出该定点的坐标【答案】(1)22143xy；第 14 页 共 14 页(2)证明见解析
24、，定点4(,0)7.【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标，结合余弦定理、抛物线和椭圆的定义进行求解即可；（2）直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式进行求解即可.【详解】（1）抛物线焦点坐标为(1,0)，故221ab.设2|PFt，由抛物线定义得：点 P 到直线=1x的距离为 t.123cos7tPF F，由余弦定理，得21249434cos772 23ttPF F.整理，得2936650tt，解得53t 或133t （舍去）.由椭圆定义，得12|24PFPFa，2,3ab，椭圆的方程为22143xy；（2）设:1,(0)ABlxmym，联立22221(34)690143xmymymyxy，即2634ABmyym，23234ABMyymym，代入直线方程得2434Mxm，2243(,)34 34mMmm，同理可得22243(,)43 43mmNmm，2744MNmkm，222374:()344434MNmmlyxmmm，令0y，得2222241212121647347(34)7(34)mmxmmm，所以直线 MN过定点4(,0)7.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.