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1、第 1 页 共 15 页 2021-2022 学年四川省绵阳市开元中学高二下学期期末适应性质量检测数学（理）试题 一、单选题 1命题“x R，sinxx”的否定是（）A0 xR，00sinxx B0 xR，00sinxx Cx R，sinxx D0 xR，00sinxx【答案】D【分析】根据命题否定的定义即可求解.【详解】对于全称量词的否定是特称量词，并对结果求反，即000,sinxR xx；故选：D.2在复平面内，复数z对应的点的坐标是1,3，则复数zz的虚部是（）A35 B45 C3i5 D4i5【答案】A【分析】首先根据题意得到43i55zz，再求其虚部即可.【详解】由题知：1 3iz
2、，21 3i1 3i86i43i1 3i1 3i1 3i1055zz ，所以zz的虚部为35.故选：A 3设,x yR，向量(,1,1),(1,1),(2,4,2)axbyc，且,ac bc，则|xy（）A1 B2 C3 D4【答案】A【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示求出 y和 x 即可【详解】024201aca cxx，b1224ycy，1xy.第 2 页 共 15 页 故选：A.4已知命题 p：x R，21x，命题 q：函数 sinxxxf在 R 上单调递增，则下列命题中，是真命题的为（）Apq Bpq Cq Dpq【答案】D【分析】首先判断命题p、q的真假，再根据复合命题的真假性规则
3、判断即可；【详解】解：对于命题p，当0 x 时021x，故命题p为假命题，所以p为真命题；对于 sinxxxf，1 cos0fxx 恒成立，所以函数 sinxxxf在 R 上单调递增，故命题q为真命题，所以q为假命题，所以pq为假命题，pq 为假命题，pq为真命题；故选：D 5在二项式22nxx的展开式中，二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为（）A-32 B-1 C1 D32【答案】B【分析】根据二项式系数的和是2n，可解得5n，令1x 代入结果即为展开式中各项系数的和【详解】二项式系数的和是 32，则232n，5n 令1x，则展开式中各项系数的和为 511 故选：B 6已知随机变
4、量(3,)XBp，且213EX，则()D X=（）A1 B2 C13 D23【答案】D【分析】由期望的性质有(21)2()1EXE X，结合二项分布期望公式求参数p，再由其方差公式求()D X.【详解】由题设，(21)6132(1E XpEX，则13p，所以122()3(1)3333D Xpp.故选：D 第 3 页 共 15 页 7如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，点EF、分别是棱AB、BC的中点，则点1C到平面1B EF的距离等于（）A23 B2 23 C2 33 D43【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，找到平面1B EF的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即
5、可.【详解】以1D为坐标原点，分别以11D A，11DC，1DD的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则1(2,2,0)B，1(0,2,0)C，(2,1,2)E，(1,2,2)F.设平面1B EF的法向量为(,)nx y z，1(0,1,2)B E 1(1,0,2)B F 则1100n B En B F，即2020yzxz 令1z，得(2,2,1)n.又11(2,0,0)BC ，第 4 页 共 15 页 点1C到平面1B EF的距离1122|2 200|43|221n BChn ，故选：D.【点睛】本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到
6、这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.8甲乙丙丁四个人参加比赛，只有一人获奖，甲说：是乙或丙获奖，乙说：丙丁都未获奖，丙说：甲获奖了，丁说：乙没获奖.已知四人中有且只有一人说了假话，则获奖的人为（）A甲 B乙 C丙 D丁【答案】A【分析】根据题意，分别假设甲、乙、丙、丁获奖，验证是否符合题意,即可判断出答案.【详解】若甲获奖，则四人中有且只有甲说了假话，符合题意；若乙获奖，则四人中丙丁说了假话，不符合题意；若丙获奖，则四人中乙丙说了假话，不符合题意；若丁获奖，则四人中甲乙丙说了假话，不符合题意；故选:A 9若函数 2exf xxaxa在区间3,1 内单调递减，则实数a的取值范围是()A1,B1
7、,C,1 D,1【答案】C【分析】求 f(x)的导数 fx，原问题等价于 0fx在3,1 上恒成立，据此即可求出 a 的范围.【详解】2exf xxaxa，2e2e2xxfxxa xxxa，x3,1 时，e0 xx，若 f x在3,1 内单调递减，则20 xa 在3,1 上恒成立，即得2ax在3,1 恒成立，1a.故选：C.10某学校有四个优秀的同学甲、乙、丙、丁获得了保送到哈尔滨工业大学、东北林业大学和哈尔滨医科大学 3 所大学的机会，若每所大学至少保送 1 人，且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，则不同的保送方案共有（）A24 种 B36 种 C48 种 D64 种【答案】A 第 5 页 共
8、15 页【分析】先考虑甲去的学校有 2 种情况，对甲去的学校分类讨论得解.【详解】每所大学至少保送 1 人,且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，先考虑甲去的学校有 2 种情况，对甲去的学校分类讨论，若该校只有 1 人保送，则另外 3 人去两所学校共有2232C A；若甲去的学校有 2 人保送，则另外 3 人去3 所学校共有33A.则不同的保送方案共有2233232(CA)24A.故选:A.11已知0a，0b，则“2ln39baab”是“ab”成立的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件【答案】B【分析】构造函数，利用函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行
9、判断即可.【详解】解：由22lnln 2ln33baaabb，得 2ln 23ln3abab，令 ln3xf xx，f x在0,上单调递增，又 2faf b，则2ab即当0a，0b 时，2ln392baaabb显然，2abab，但由2ab不能得到ab 故选：B 12已知函数()(ln)xef xkxxx，若1x 是函数()f x的唯一极值点，则实数k的取值范围是 A(,e B(,)e C(,)e D1(,e【答案】A【分析】由 f（x）的导函数形式可以看出 ex-kx=0 在（0，+）无变号零点，令 g（x）=ex-kx，g（x）=ex-k，需要对 k 进行分类讨论来确定导函数为 0 时的根【
10、详解】函数 lnxef xkxxx的定义域是（0，+），22111xxekxxexkxfxxxx（）x=1 是函数 f（x）的唯一一个极值点 x=1 是导函数 f（x）=0 的唯一根 ex-kx=0 在（0，+）无变号零点，令 g（x）=ex-kx g（x）=ex-k 第 6 页 共 15 页 k0 时，g（x）0 恒成立g（x）在（0，+）时单调递增的 g（x）的最小值为 g（0）=1，g（x）=0 无解 k0 时，g（x）=0 有解为：x=lnk 0 xlnk 时，g（x）0，g（x）单调递减；xlnk 时，g（x）0，g（x）单调递增.g（x）的最小值为 g（lnk）=k-klnk k-
11、klnk0 0ke 综上所述，ke 故选 A【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题对参数需要进行讨论属于中档题 二、填空题 13复数12iz （其中i为虚数单位），则3iz_.【答案】2【分析】根据复数的模长概念求解即可.【详解】3i1 i2z.故答案为：2 14若62601261(1)(1)xaaxaxax，则4a _.【答案】15【分析】首先根据题意得到6611xx，再根据通项求解即可.【详解】6626012611(1(1)1)xaxaaxaxx，因为616C1rrrTx，令64r，解得2r.所以44236C1151Txx，即15a.故答案为：15 15已知某中学高二年级学生某次考试的
12、数学成绩X（单位：分）服从正态分布2105,N，且(120)0.8P X，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间90,105内的概率为_.【答案】0.3【分析】根据(90105)(105120)(120)(105)PXPXP XP X求解即可.第 7 页 共 15 页【详解】(90105)(105120)(120)(105)0.80.50.3PXPXP XP X.故答案为：0.3 16已知定义在 R 上的函数 f x的导函数为 fx，且满足 0fxf x，则不等式 42e34exfxf x的解集为_.【答案】2,【分析】首先构造函数 exf xg x，根据题意得到 g x在 R 上为增函数，
13、再将 42e34exfxf x转化为 34gxg x求解即可.【详解】设 exf xg x，exfxf xgx，因为 0fxf x，所以 0gx，即 g x在 R 上为增函数.422433434e34eeee4exxxxfxf xfxf xfxf x 34gxg x.因为 g x在 R 上为增函数，所以34xx，解得2x.故答案为：2,三、解答题 17如图所示，在四棱锥PABCD中，22PMMCPAAD，且60PABPAD，底面ABCD为正方形.(1)设,ABa ADb APc试用,a b c表示向量BM；(2)求BM的长.【答案】(1)111222BMabc 第 8 页 共 15 页(2)6
14、2 【分析】（1）将ADBC，BPAPAB代入12BMBCBP中化简即可得出答案.（2）利用22BMBM，结合向量数量积运算律计算即可.【详解】（1）M是 PC的中点，12BMBCBP.ADBC，12ADAPABMB，结合ABa，ADb，cAP，得11112222bcBMaabc.（2）1,2ABADPA，1,2abc，,60ABADPABPAD，0a b，2 1 cos601a cb c ，2222211112222224BMabcabca ba cb c 131 1402242.62BM，即 BM 的长等于62.18已知曲线 322f xxxa(1)若1a，过点0,1作 f x的切线，求切
15、线的方程；(2)当 f x有 3 个零点时，求 a的取值范围【答案】(1)10y 和10 xy (2)32,027 【分析】（1）设出切点，求导，利用导数的几何意义得到切线斜率，进而表达出切线方程，代入0,1，求出切点横坐标，进而求出切线方程；（2）利用导函数研究函数的单调性，极值情况，得到不等式组，求出 a 的取值范围.【详解】（1）因为1a，所以 3221f xxx，所以 234fxxx，第 9 页 共 15 页 设所求切线的切点坐标为32000,21x xx，切线斜率为 200034kfxxx，则所求切线方程为 32200002134yxxxxxx 因为切线过点0,1，所以 322000
16、0121340 xxxxx，即32000 xx，解得：00 x 或1 所以0k 或1 即所求的切线有两条，方程分别是1y 和1yx 即10y 和10 xy （2）23434fxxxxx，令 0fx，解得143x ，20 x 令0fx，得0 x 或43x ，f x在4,0,3上为增函数，令 0fx，得403x，f x在4,03上为减函数，所以 f x的极大值为432327fa，极小值为 0fa 因为 f x有 3 个零点，所以320270aa，解得：32027a 所以 a 的取值范围是32,027 19 如图，在等腰梯形 ADEF 中，ADEF，3AD，2DE，1EF 在矩形 ABCD 中，1A
17、B 平面ADEF 平面 ABCD (1)证明：BFCF；(2)求直线 AF与平面 CEF所成角的大小【答案】(1)证明见解析；(2)6.第 10 页 共 15 页【分析】（1）过点 F作 AD 的垂线，则FM 平面 ABCD，结合条件可得222BFCFBC，即得；（2）利用坐标法，由题可得平面 CEF 的一个法向量，利用线面角的向量求法即得.【详解】（1）如图，过点 F作 AD的垂线，垂足为 M，连接 MB，MC 四边形 ADEF 为等腰梯形，3AD，2DE，1EF，1AMMF，2MD 平面ADEF 平面 ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，FM 平面 ADEF，FMAD，FM 平面 AB
18、CD，而 MB,MC在平面 ABCD中 FMMB，FMMC 四边形 ABCD为矩形，1AB，3BC，2BM，5CM，3BF，6CF 222BFCFBC，BFCF（2）以 A 为坐标原点AB，AD的方向分别为 x轴，y 轴的正方向，以过点 A 垂直于平面 ABCD 且向上的方向为 z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则1,0,0B，1,3,0C，0,3,0D，0,2,1E，0,1,1F 0,1,1AF，1,1,1CE ，0,1,0EF 第 11 页 共 15 页 设平面 CEF 的一个法向量为,nx y z 由00n EFn CE，得00yxyz 令1x，得1,0,1n 设直线 AF与平
19、面 CEF 所成的角为 则11sincos,222AF nAF nAF n 又0,2，6 直线 AF与平面 CEF 所成角的大小为6 20某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道甲组题和3道乙组题）不放回地依次任取3道作答.（1）求该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）规定理科考生需作答2道甲组题和1道乙组题，该考生答对甲组题的概率均为23，答对乙组题的概率均为14，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到3道题（2道甲组题和1道乙组题），求其所得总分的分布列与数学期望.【答案】（1）()1|()5P ABP B AP A；（2）分布列见解析，956
20、E X.【分析】（1）利用条件概率公式，即可求得该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）先明确X的可能取值，求出相应的概率值，得到X的分布列，进而得到数学期望.【详解】（1）记“该考生在第一次抽到甲组题”为事件A，“该考生第二次和第三次均抽到乙组题”为事件B，则 47P A,432476535P AB.所以该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率为 1|5P ABP B AP A.（2）X的可能取值为：0,10,20,30，则 212113121311130,10334123343436P XP XC，第 12 页 共 15 页 22
21、12223121420343349P XCC，11341301123699P X ，X的分布列为 X 0 10 20 30 P 112 1336 49 19 则X的数学期望为 113419501020301236996E X.21已知函数()lnf xxx.（1）若1()f xmx在1,e上恒成立，求实数m的取值范围；（2）若5()()2xg xe f xx，求证：当1x时，()3g x .【答案】（1）1m；（2）证明见解析.【分析】（1）构造函数 1lnh xxxx，即 minmh x恒成立，根据导数求 h x得最小值即可；（2）利用放缩法进行放缩，然后证明25ln302xxx，即可证明5
22、ln302xe xxx构造函数 253ln2F xxxx，根据函数 F x的单调性求得函数 F x在区间1,上的最小值，根据最小值大于0证得结果.【详解】（1）由1()f xmx，即1lnmxxx在1,e恒成立，设 1lnh xxxx，21ln1h xxx，3120hxxx恒成立，故 h x在1,e上单调递增，又 211ln1 101h，故 h x在1,1e单调递减，在1,单调递增，故 min11h xh，即1m；（2）要证明当1x时，()3g x ，即证1x时，5ln302xe xxx，当1x时，1xex恒成立，ln0 x，2lnlnxe xxxx 第 13 页 共 15 页 故有255ln
23、3ln322xe xxxxxx，若证得25ln302xxx，即可证得5ln302xe xxx，下面证明25ln302xxx，不等式两侧同时除以2x可将不等式转化为253ln02xxx，令 253ln2F xxxx，则 223334231562512222xxxxFxxxxxx，当312x时，0Fx，F x单调递减；当32x 时，0Fx，F x单调递增，故1x，2335331lnln0322233222F xF，故当1x时，()3g x .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，
24、往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为1122xtttyt（t为参数）以坐标原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为sin2 24(1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C的普通方程；(2)已知点 P 的直角坐标为0,4，直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A，B，求PAPB的值【答案】(1)40 xy；2214xy；(2)32 23.【分析】（1）由曲线C的参数方程消去t即
25、可得曲线C的普通方程；由直线l的极坐标方程为sin2 24及cos,sinxy，即可得直线l的直角坐标方程；第 14 页 共 15 页（2）根据题意得直线l的标准参数方程为22242xmym（m为参数），把它代入曲线C的直角坐标方程，利用直线l的参数的几何意义解题即可.【详解】（1）由曲线 C 的参数方程得22221124xytttt 曲线 C 的普通方程为2214xy 直线 l 的极坐标方程化简为sincos4 由极坐标与直角坐标的互化关系cosx，siny，得直线 l 的直角坐标方程为40 xy（2）设直线 l 的参数方程为22242xmym（m为参数）将直线 l 的参数方程代入曲线 C的
26、普通方程，整理可得2332 21360mm 232 24 3 1364160 设1m，2m是方程的两个实数根 则1232 23mm，1213603m m 121232 23PAPBmmmm 23已知函数 21f xxx(1)求不等式 3f x 的解集；(2)若关于 x的不等式 20f xxm恒成立，求实数 m 的取值范围【答案】(1)1,2(2)2,【分析】（1）由绝对值不等式及一元二次不等式的解法即可求解；（2）分离参数，将原问题转化为221mxxx恒成立，然后利用零点分段讨论法求出 221g xxxx的最小值即可得答案.第 15 页 共 15 页【详解】（1）解：由 3f x，有213xx，所以22xx，即222xx，即2222xxxx，解得12x，所以不等式 3f x 的解集为1,2；（2）解：由已知，有2210 xxxm 恒成立，即221mxxx恒成立，令 221g xxxx，则 222223,03,0123,121,2xxxxxg xxxxxx，当0 x 时，2()233,g xxx；当01x时，2()32,3g xx ；当12x时，2232,3()gxxx；当2x 时，23(1),xg x.所以 g x的最小值为 2，所以2m，即2m ，所以实数 m的取值范围为2,