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1、第 1 页 共 13 页 2021-2022 学年陕西省咸阳市秦都区高一上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合14AxNx，集合23Bxx，则AB（）A0,1,2 B 1,2 C13xx D24xx 【答案】A【分析】求出集合A，利用交集的定义可求得集合AB.【详解】集合140,1,2,3Axx，集合23Bxx，因此，0,1,2AB.故选：A.2函数1()2xf xx的定义域为（）A(1，+)B1，+)C1，2)D1，2)(2，+)【答案】D【分析】求出使函数式有意义的自变量的范围即可.【详解】由题意1020 xx，解得1x且2x 故选：D 3函数 0.5log43f xx，则 0f x
2、时x的取值范围是（）A3,14 B3,4 C1,D3,11,4【答案】A【分析】根据对数复合函数的单调性求解不等式即可.【详解】0.5log43f xx为减函数，由 0f x 可得0431x，解得314x，所以不等式的解集为3,14，故选：A 4已知 f x是R上的奇函数，且当0 x 时，22f xxx，则当0 x 时，f x的解析式是 A(2)f xx x B(2)f xx x 第 2 页 共 13 页 C(2)f xx x D(2)f xx x【答案】D【详解】令0 x，则0 x，所以22fxxx，又 f x是R上的奇函数，所以2()2(2)f xfxxxx x，故选 D.5圆2224xy
3、与圆22239xy的位置关系为（）A内切 B外切 C相交 D相离【答案】B【解析】求出两圆的圆心距与半径之和、半径之差比较大小即可得出正确答案.【详解】由2224xy可得圆心为2,0，半径2r，由22239xy可得圆心为2,3，半径3R，所以圆心距为222230523rR ，所以两圆相外切，故选：B.6若函数 f(x)=3525xxf xx，则 f(2)=（）A2 B3 C4 D5【答案】B【分析】根据 2 的范围确定解析式，代入求值即可.【详解】f(x)3525xxf xx，f(2)f(22)f(4)f(42)f(6)633.故选：B.7函数 lnxxxfxee的大致图象是（）A B 第 3
4、 页 共 13 页 C D【答案】D【分析】先根据函数奇偶性排除 B 选项，根据特殊点，排除 C 选项，根据分子和分母的增长速度排除 A 选项.【详解】因为 f x定义域为,00,，且=f xfx，所以 f x是偶函数，排除 B；又 10f，排除 C；当1x 时，函数xxyee比lnyx增长得更快，故函数的大致图象为 D 选项.故选：D 8已知1.012a，0.11.2b，4log 0.3c，则（）Abac Bcba Cabc Dbca【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可.【详解】因为1.011.01110222a，0.101.21.21b，44log 0.3log 1
5、0c，所以bac.故选：A 9过原点和直线1:340lxy与2:250lxy的交点的直线的方程为（）A1990 xy B9190 xy C3190 xy D1930 xy【答案】C【分析】先求出两直线的交点，从而可得所求的直线方程.【详解】由340250 xyxy可得19737xy，故过原点和交点的直线为319yx 即3190 xy，故选：C.第 4 页 共 13 页 10下列条件中能推出平面/平面的是（）A存在一条直线a，/a，/a B存在一条直线a，a，/a C存在两条平行直线a，b，a，b，/a，/b D存在两条异面直线a，b，a，b，/a，/b【答案】D【分析】A、B、C，画图举例判断
6、；D.由面面平行的判定定理判断.【详解】A.如图所示：，存在一条直线a，/a，/a，但平面与平面相交，故错误；B.如图所示：，存在一条直线a，a，/a，但平面与平面相交，故错误；C.如图所示：，存在两条平行直线a，b，a，b，/a，/b，但平面与平面相交，故错误；D.如图所示：，在平面内过 b上一点P作/c a，则/c，又/b，且bcP，所以/，故正确；故选：D 11 中国北斗导航系统是继美国 GPS 等系统后另一个能为全球提供高质量导航定位的系统.北斗卫星由长征三号乙运载火箭送入太空，长征三号乙运载火箭在发射时会产生巨大的噪音，声音的等级第 5 页 共 13 页 d x（单位：dB）与声音的
7、强度x（单位：2W/m）满足 139lg1 10 xd x，火箭发射时的声音等级约为153dB，两人交谈时的声音等级大约为54dB，那么火箭发射时的声音强度大约是两人交谈时声音强度的（）A910倍 B1010倍 C1110倍 D1210倍【答案】C【分析】结合对数运算求得x，进而求得声音强度的倍数.【详解】由139lg1 10 xd，得13139991313lg,10,1 1010101 109 1 10dddxdxx，所以火箭发射时的声音强度大约是两人交谈时声音强度的1531391154139101010倍.故选：C 12一个空间几何体的三视图如图所示，三个视图都是外轮廓为边长是 2 的正方
8、形，则其表面积等于（）A16 B20 C122 2 D162 6【答案】D【分析】先确定几何多面体的原图，再求表面积.【详解】解：如图所示：2 24ABCDADCFSS 12 222GEFGBCCDEBAFSSSS 由题得145GE，442 2EC 第 6 页 共 13 页 过点 G作GHEC,垂足为 H 故 22523GH 所以12 2362GBFGECSS 所以多面体的表面积为：4 24 22 6162 6 故选：D 二、填空题 13直线3490 xy和直线6820 xy之间的距离为_.【答案】2【分析】首先要将两条平行直线化为相同的形式，即方程x与y的系数分别相同，然后代入公式1222C
9、CdAB，来求两平行直线的距离.【详解】将直线6820 xy化为3410 xy，故直线3490 xy和直线6820 xy之间的距离为229 1102534.故答案为：2.14函数2()ln25f xxxx的零点个数为_【答案】2【分析】令 0f x，得到2250lnxxx+，即是2ln25xxx，函数2()ln25f xxxx的零点个数就是方程2ln25xxx的根的个数，分别做出方程两边的函数的图象，可以观察出交点的个数，即为零点的个数，得解.【详解】令 0f x，得到2250lnxxx+，即是 2ln25xxx，函数2()ln25f xxxx的零点个数就是方程2ln25xxx的根的个数，就是
10、对数曲线lnyx与抛物线225yxx的交点个数.如下图所示，由图象知：对数曲线lnyx与抛物线225yxx两个交点，所以函数 f x有两个零点，故填：2 .第 7 页 共 13 页 【点睛】本题考查函数的零点的个数，关键在于令函数为零，整理对应的方程将方程的左右分别令成函数，在同一坐标系下做出这两个函数的图象，观察其交点个数，属于基础题.15在我国古代数学名著九章算术商功中刘徽注解“邪解立方得二堑堵”.如图，在正方体1111ABCDABC D中“邪解”得到一堑堵11ABCDC B，E为1C D的中点，则异面直线1AB与BE所成的角为_.【答案】90【分析】由图形中直线的位置关系，将问题转化为求
11、1DC与BE所成的角，易得结果.【详解】因为在正方体1111ABCDABC D中，11ABDC，所以异面直线1AB与BE所成的角等于1DC与BE所成的角，又因为1BDC为正三角形，且 E为1DC的中点，所以1BEDC，即1DC与BE所成的角为90，异面直线1AB与BE所成的角为90.故答案为：90.16在直三棱柱111ABCABC中，13ABACAA，ABAC，则该直三棱柱111ABCABC的外接球的体积是_.【答案】92#92【分析】利用勾股定理求得外接球的半径，进而求得外接球的体积.【详解】由于ABAC，所以336BC，且直角三角形ABC的外心在BC的中点处，第 8 页 共 13 页 设外
12、接球的半径为R，则22633222R，所以外接球的体积为3439322.故答案为：92 三、解答题 17已知直线l：3450 xy，点1,1P.(1)求过点P且与l平行的直线方程；(2)求过点P且与l垂直的直线方程.【答案】(1)3410 xy (2)4370 xy.【分析】（1）（2）根据直线平行垂直的性质，求出相应的斜率，运用点斜式直线方程求解.【详解】（1）易知直线l的斜率为34k ，设过点P且与l平行的直线1l的斜率为1k，则134kk，直线1l的方程为3114yx ，即3410 xy；（2）易知直线l的斜率为34k ，设过点P且与l垂直的直线2l的斜率为2k，则21kk，243k，直
13、线2l的方程为4113yx，即4370 xy；18已知函数 222f xxax，2,3x.(1)当1a 时，求函数 f x的值域；(2)求实数a的取值范围，使 f x在区间2,3上是单调函数.【答案】(1)1,10(2),32,.第 9 页 共 13 页 【分析】（1）判断出 f x在2,1上单减，在 1,3上单增，利用单调性法求值域；（2）求出对称轴，利用 f x在区间2,3上是单调函数列不等式，即可求解.【详解】（1）依题意，当1a 时，222211f xxxx，所以 f x在2,1上单减，在 1,3上单增，所以当1x 时，f x取得最小值 1f，且 11f，又 210f，35f，则函数
14、f x的最大值为 10，最小值为 1，值域为1,10.（2）函数 222f xxax为二次函数，其对称轴为直线xa，要使 f x在区间2,3上是单调函数，只需2 a或3a，解得：3a 或2a，则a的取值范围为,32,.19已知函数()yf x，其中2()22xf xaaa是指数函数（1）求()f x的表达式；（2）解不等式：log(1)log(2)aaxx【答案】（1）()3xf x；（2）1|12xx 【解析】（1）根据指数函数的定义，有2221aa，结合0,1aa求 a，写出()f x；（2）由（1）的结论，结合对数函数的性质及其单调性列不等式组求解集即可.【详解】（1）()yf x是指数
15、函数，所以2221aa，解得3a 或1a(舍)，()3xf x.（2）由（1）知：33log(1)log(2)xx，102021xxxx，解得112x，解集为1|12xx.20如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA 底面ABCD，PAAB，E，M分别为棱PB，CD的中点，F为棱BC上的动点.求证：第 10 页 共 13 页 (1)EM/平面PAD；(2)平面AEF 平面PBC.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理证得EM/平面PAD；（2）通过证明AE平面PBC来证得平面AEF 平面PBC.【详解】（1）如图，
16、取PA的中点G，连接EG，GD.E为棱PB的中点，/EG AB，且12EGAB.又M为棱CD的中点，且底面ABCD为正方形，/DM AB，且12DMAB，/DM EG，且DMEG，四边形DMEG为平行四边形，则/EM GD，又DG 平面PAD，EM 平面PAD，/EM平面PAD.（2）E为棱PB的中点，PAAB，AEPB.PA 底面ABCD，BC平面ABCD，PABC，又BCAB，ABPAA，,AB PA 平面PAB，BC平面PAB，AE 平面PAB，BCAE.PBBCB，,PB BC 平面PBC，第 11 页 共 13 页 AE平面PBC.AE 平面AEF，平面AEF 平面PBC.21已知圆
17、 C 过2,2A，2,6B两点，且圆心 C 在直线30 xy上(1)求圆 C的方程；(2)若直线 l过点0,5P且被圆 C截得的线段长为4 3，求 l的方程【答案】(1)222616xy；(2)0 x 或34200 xy.【分析】（1）设圆 C的圆心为,a b，半径为 r，结合题意得222222302226ababrabr，解出 a、b、r的值，将其值代入圆的方程即可得答案（2）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：当直线 l的斜率不存在时，满足题意，当直线 l的斜率存在时，设所求直线 l的斜率为 k，则直线 l的方程为：5ykx，由点到直线的距离公式求得 k 的值，即可得直线的方
18、程，综合 2 种情况即可得答案【详解】（1）根据题意，设圆 C的圆心为,a b，半径为 r，则圆 C 方程为222xaybr，又圆 C过2,2A，2,6B，且圆心 C在直线30 xy上，222222302226ababrabr，解得：2a，6b，216r，故圆 C的方程为222616xy（2）根据题意，设直线 l与圆 C交与 MN两点，则4 3MN，设 D 是线段 MN 的中点，则CDMN，2 3MD，4MC 在Rt MCD中，可得2CD 当直线 l的斜率不存在时，此时直线 l的方程为0 x，满足题意，当直线 l的斜率存在时，设所求直线 l的斜率为 k，则直线 l为：5ykx，即50kxy 由
19、 C 到直线 MN的距离公式：226521kk，解得：34k，第 12 页 共 13 页 此时直线 l的方程为34200 xy 综上，所求直线 l的方程为0 x 或34200 xy 22如图 2，四边形ABCD为矩形，PD 平面ABCD，1AB，2BCPC，作如图 3 折叠，折痕/EF DC.其中点E、F分别在线段PD、PC上，沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M，并且MFCF.（1）证明：CF 平面MDF；（2）求三棱锥MCDE的体积.【答案】（1）详见解析；（2）216.【详解】试题分析：（1）要证 CF平面 MDF，只需证 CFMD，且 CFMF 即可；由 PD平面ABCD，得出平面
20、PCD平面 ABCD，即证 MD平面 PCD，得 CFMD；（2）求出 CDE 的面积SCDE，对应三棱锥的高 MD，计算它的体积 VM-CDE 试题解析：（1）证明：PD平面 ABCD，PD平面 PCD，平面 PCD平面 ABCD；又平面 PCD平面 ABCD=CD，MD平面 ABCD，MDCD，MD平面 PCD，CF平面 PCD，CFMD；又 CFMF，MD、MF平面 MDF，MDMF=M，CF平面 MDF；第 13 页 共 13 页 （2）CF平面 MDF，CFDF，又易知PCD=60，CDF=30，CF=12CD=12；EFDC，DECFDPCP，即12=23DE，34DE，3 34PE，1328CDESCD DE，2222MDMEDEPEDE=223 336()()442，11362338216MCDECDEVSMD【解析】空间线面垂直、面面垂直的判定与性质，空间几何体的体积计算，逻辑推论证能力，运算求解能力