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1、 兰州市五十三中 2022-2023 学年度第一次模拟考试 数学试卷（理科）第 I 卷（选择题）一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合2log22AxxR，1,0,1,2,3B ，则AB真子集的个数（）A8 B7 C4 D6 2设 i 是虚数单位，若复数 z12i，则复数 z 的模为（）A1 B2 2 C3 D5 3下列命题中是假命题的是（）Ax R，2log0 x Bx R，cos1x Cx R，20 x Dx R，20 x 4已知为第二象限角，则222sin1 sincos1 cos的值是（）A1 B1
2、 C3 D3 5总体由编号为 01，02，49，50 的 50 个个体组成，利用下面的随机数表选取 6 个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）附：第 6 行至第 9 行的随机数表 2 748 6 198 7 164 4 148 7 086 2 888 8 519 1 620 7 477 0 111 1 630 2 404 2 979 7 991 9 683 5 125 3 211 4 919 7 306 4 916 7 677 8 733 9 974 6 732 2 635 7 900 3 370 9 160 1 6
3、20 3 882 7 757 4 950 A3 B19 C38 D20 5已知非零单位向量a，b满足abab，则a与ba的夹角为（）A6 B3 C4 D34 7若存在 xR，使220axxa，则实数 a 的取值范围是（）A（，1）B（，1 C（1，1）D（1，1 8已知数列 na满足11a，且对任意的 nN*都有11nnaaan，则1na的前 100 项和为（）A100101 B99100 C101100 D200101 9一个几何体三视图如下图所示，则该几何体体积为（）A12 B8 C6 D4 10已知 F 是椭圆2222:10 xyEabab的左焦点，经过原点 O 的直线 l 与椭圆 E
4、交于 P，Q 两点，若3PFQF，且120PFQ，则椭圆 E 的离心率为（）A74 B12 C34 D32 11李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的 7 天假期中，到“东亚文化之都泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有（）A16 种 B18 种 C20 种 D24 种 12已知函数 lnafxxx，若函数 f（x）在1，e上的最小值为32，则 a 的值为（）Ae B2e C32 D12e 第 II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中的横线上）13如图为计算 y|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应
5、填 14已知 x0，y0，若2282yxmmxy恒成立，则实数 m 的取值范围是 15已知直线12:lyx，则过圆222410 xyxy的圆心且与直线1l垂直的直线2l的方程为 16对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式：221 3；231 3 5 ；241 3 57 ；323 5；3379 11；3413 15 17 19 根据上述分解规律，则251 3 579 ，若3*()m mN的分解中最小的数是 73，则 m 的值为_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据
6、要求作答（一）必考题：共 60 分 17（12 分）在四边形 ABCD 中，ABCD，ADBDCD1（1）若32AB，求 BC；（2）若 AB2BC，求 cosBDC 18（12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为直角梯形，ADBC，ABAD，四边形 ADEF为正方形，平面 ADEF平面 ABCDBC3AB3AD，M 为线段 BD 的中点 （1）求证：BD平面 AFM；（2）求平面 AFM 与平面 ACE 所成的锐二面角的余弦值 19（12 分）清华大学自主招生考试题中要求考生从 A，B，C 三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有 600 名学生参加测试，选
7、择 A，B，C 三题答卷如下表：题 A B C 答卷数 180 300 120（1）负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从 600 份答案中抽出若干份答卷，其中从选择 A 题作答的答卷中抽出了 3 份，则应分别从选择 B，C 题作答的答卷中各抽出的多少份？（2）测试后的统计数据显示，A 题的答卷得优的有 60 份，若以频率作为概率，在（1）问中被抽出的选择 A题作答的答卷中，记其中得优的份数为 X，求 X 的分布列及其数学期望 E（X）20（12 分）已知椭圆2222:10 xyEabab的离心率为63，直线 l：xty1 交 E 于 A，B 两点；当 t0 时，2
8、63AB （1）求 E 的方程；（2）设 A 在直线 x3 上的射影为 D，证明：直线 BD 过定点，并求定点坐标 21（12 分）设函数 2ln2()f xaxxax，其中 aR（1）若曲线 yf（x）在点（2，f（2）处切线的倾斜角为4，求 a 的值；（2）已知导函数 f（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当 x（1，e）时，2f xe （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4-4：坐标系与参数方程 22（10 分）已知曲线 C：22149xy，直线 l：222xtyt（t 为参数）（1）写出曲线 C 的参数方程，直线
9、l 的普通方程；（2）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求PA的最大值与最小值 选修 4-5：不等式 23（10 分）已知 a，b，cR，且满足 a2b3c6，求22223abc的最小值 参考答案 1B 2D 3C 4B 5B 6D 7A 8D 9D 10A 11C 12A 130 x 144,2 15230 xy 169m 17解析（1）在ABD 中，132cos4ABABDBD ABCD，BDCABD 在BCD 中，22222312cos112 1 142BCBDDCBDDCBDC ，22BC （2）设 BCx，则 AB2x，12cosABABDx
10、BD 在BCD 中，2222cosBCBDDCBD CDBDC，21 1 2xx，2220 xx，解得31x coscos31BDCABDx 18解析（1）因为四边形 ADEF 为正方形，所以 AFAD 又因为平面 ADEF平面 ABCD，且平面ADEF 平面 ABCDAD，所以 AF平面 ABCD所以 AFBD因为 ABAD，M 线段 BD 的中点，所以 BDAM又 AMAFA，所以 BD平面 AFM（2）由（1）知 AF平面 ABCD，所以 AFAB，AFAD，又 ABAD，所以 AB，AD，AF 两两垂直 分别以 AB，AD，AF 为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 A
11、xyz（如图）设 AB1，则 A()0，0，0，B()1，0，0，C()1，3，0，D()0，1，0，E()0，1，1，所以1,1,0BD ，0,1,1AE，1,3,0AC，设平面 ACE 的一个法向量为,nx y z，则0,0AC nAE n 即030yzxy 令 y1，则 x3，z1，则3,1,1n 由（1）知，1,1,0BD 为平面 AFM 的一个法向量 设平面 AFM 与平面 ACE 所成的锐二面角为，则 222222311 1102 22coscos,11311110BD nBD nBD n 所以平面 AFM 与平面 ACE 所成的锐二面角的余弦值为2 2211 19解析（1）由题意
12、可得：A，B，C 答卷数的比为 180300120，即为 352，故应分别从 B，C 题的答卷中抽出 5 份，2 份（2）由题意可知，A 题答案得优的概率为13，显然被抽出的 A 题的答案中得优的份数 X 的可能取值为 0,1,2,3，且13,3XB，030312803327P XC ；12131241339P XC ；21231222339P XC ；303312133327P XC 随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 827 49 29 127 所以 842101231279927E X 另解：13,3XB，1313E X 20解析（1）由题意得22222223cabeaa，
13、整理得223ab，由 t0 时，2 63AB 得2212=13ab，因此3a，b1故 E 的方程是2213xy（2）设11,A x y，22,B x y，则13,Dy，将 xty1 代入2213xy得223220tyty，12223tyyt，12223yyt，从而1212tyyyy 直线 BD：211233yyyxyx，设直线 BD 与 x 轴的交点为0,0 x，则21012303yyxyx，所以12121120212121322333yxytyyty yxyyyyyy，将式代入上式可得02x，故直线 BD 过定点（2,0）21解析（1）22afxxax，由题意可知 2tan14f，24212
14、afa，得 a2 （2）22222xaxaafxxaxx，设 2221()()2()h xxaxaxxa，令 h（x）0，得 x1 或2ax，fx在（1，e）上存在零点，12ae，即 2a2e 由此可知 x 1,2a 2a,2ae fx 0 f（x）减 极小值 增 当 x（1，e）时，22minln2ln222224aaaaaaf xfaaaa 设 2ln2224aag aaaae，则 ln22aaga，12ae，ln12a，0g a，g（a）在（2，2e）上单调递减，2242 ln24eg aeeee，当 x（1，e）时，2f xe 22解（1）曲线 C 的参数方程为2cos,3sinxy（为参数）直线 l 的普通方程为 2xy60（2）曲线 C 上任意一点2cos,3s n()iP到 l 的距离为54cos3sin65d 则2 55sin6sin305dPA，其中为锐角，且4tan3 当in1()s 时，|PA|取得最大值，最大值为22 55 当in1()s时，|PA|取得最小值，最小值为2 55 23解 由柯西不等式，得22221232312233abcabc 得22226232336abcabc所以222236abc 当且仅当23123abc，即 abc1 时，上式等号成立 所以22223abc的最小值为 6