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1、 1 2021 级高二上学期期末考试 数学试题 一单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.点3,4,5A 关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是（）A.3,4,5B.3,4,5 C.3,4,5D.3,4,5 2.已知直线1310mxy 与直线410 xmy 平行，则m的值为（）A.3B.4C.3 或4D.3 或 4 3.已知直线1:310lxy，若直线2l与1l垂直，则2l的倾斜角为（）A.150B.60C.120D.30 4.在等比数列 na中，132,3 2aS，则公比q的值为（）A.1B.2C.1 或 2D.1 或
2、2 5.已知等差数列 na满足151,9aa，若数列11nna a的前n项和为nT，则nT（）A.21nnB.221nnC.21nD.2121nn 6.已知圆22:60C xyx与直线:21lxy，则圆C上到直线l的距离为 1 的点的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4 7.等轴双曲线1yx的焦距为（）A.2B.2 2C.4D.4 2 8.已知点2,1C与不重合的点,A B共线，若以,A B为圆心，2 为半径的两圆均过点1,2D，则DA AB的取值范围为（）A.2,2B.2,2C.8,0D.8,4 二多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有
3、多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0 分.9.设等差数列 na的前n项和为nS，且202220230,0SS，则下列结论正确的是（）A.2022S最小 B.10120a C.10110aD.10a 10.下列说法正确的是（）A.若G是四面体OABC的底面三角形ABC的正心，则13OGOAOBOC 2 B.在四面体OABC中，苦151266OGOAOBOC，则,A B C G四点共面 C.已知平行六面体1111ABCDABC D的棱长均为1，且1160BADBAADAA，则对角线1AC的长为2 D.若向量pmxnykz，则称,m n k为p在基底,
4、x y z下的坐标.已知向量p在单位正交基底,a b c下的坐标为1,2,3，则p在基底,ab ab c下的坐标为31,322 11.已知曲线2212:1,6xyCF Fmm分别为C的左右焦点，点P在C上，且12PFF是直角三角形，下列判断正确的是（）A.曲线C的焦距为2 6 B.若满足条件的点P有且只有 4 个，则m的取值范围是6m 且12m C.若满足条件的点P有且只有 6 个，则12m D.若满足条件的点P有且只有 8 个，则m的取值范围是06m 12.两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）.已知圆锥轴截面的顶角为2，
5、一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为.当2时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线；当0时，截口曲线为双曲线.在长方体1111ABCDABC D中，1ABAD，12AA，点P在平面ABCD内，下列说法正确的是（）A.若点P到直线1CC的距离与点P到平面11BBC C的距离相等，则点P的轨迹为拋物线 B.若点P到直线1CC的距离与点P到1AA的距离之和等于 4，则点P的轨迹为椭圆 C.若145BD P，则点P的轨迹为拋物伐 D.若160BD P，则点P的轨迹为双曲线 三填空题：本大题共 4 小题，律小题 5 分，共 20 分.13.已知ABC的三个顶点分别是点4,0,2,0,2,2ABC，
6、则ABC的外接圆的方程为_.14.已知数列 na的前n项和为nS，且22nnSa，则nS _.15.如图，已知圆O的半径为定长,r A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线 3 段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q.当点P在圆上运动时：（1）当点A在圆O内且不与点O重合时，点Q的轨迹是_（从圆椭圆抛物线中选择一个填写，2 分）；（2）当OA_r.（从，=，16.3 四解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.17.解：（1）将1,2M代入22ypx，得42p，解得2p，所以点F的坐标为1,0.（2）由（1）得抛物线方程为24yx，直线l
7、的方程为413yx，5 联立24413yxyx消y得241740 xx，解得14x 或4x，因为A在第一象限，所以14,4ABxx，所以515,14ABAFxBFx ，所以4AFBF 18.解：（1）由题设，MN中点为3,0，则圆心在直线3x 上，联立23yx，可得圆心为3,3 圆的半径为22(32)310r，综上，圆C的标准方程：22(3)(3)10 xy.（2）22(1 3)(1 3)2010 ，P在圆外，当直线l斜率不存在时，直线方程为1x，则 1,36,1,36AB，显然2 6AB 符合题设；当直线l斜率存在时，设为11yk x，联立圆C可得：222212438150kxkkxkk 若
8、1122,A x yB x y，则22121222243815,11kkkkxxx xkk，22121228331142 61kkABkxxx xk，可得：34k.此时，直线3:114l yx，即3470 xy.综上，符合条件的直线有 2 条，分别为1 3470 xxy.说明：利用垂径定理是处理圆弦长问题的通用方法，一般不用弦长公式处理圆的弦长问题.19.解：（1）如图，取PC的中点F，连接,EF DF，Q,E F分别为,PB PC的中点，6 1,22EFBC EFBC，ADBC且2AD，EFAD且2EFAD，四边形ADFE是平行四边形，DFAE，QAE 平面,PCD DF 平面PCD，AE平
9、面PCD.说明：也可以取BC中点 G，通过证明平面 AEG/平面 PCD 来证明结论.（2）取AB中点的O，作OyBC，由底面ABCD为直角梯形且ADBC，2,4PAPBADBC，由侧面PAB 底面ABCD，面PAB 面,ABCDAB P B面PAB，P在面ABCD的投影在直线AB上，又PB与底面ABCD所成的角为60，PB与底面ABCD所成角的平面角60PBA，则PAB为等边三角形.以O为原点，OB Oy OP为x y z 轴建空间直角坐标系，如下图示：1,0,01,4,01,2,00,0,3BCDP，则(1,0,3)BP ，(1,2,3),(2,2,0)PDDC 设平面BDP的法向量,nx
10、 y z 则30230n BPxzn PDxyz 取3x，得(3,3,1)n 设平面PCD的法向量,ma b c 则230220m BPabcm DCab 取1a 得(1,1,3)m 设平面PCD与平面PBD的夹角为，7 则cos|3105cos35|75m nmn 平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值为10535.20.解：（1）由132nnnaaa，两边取倒数得132132nnnnaaaa，即11313nnaa，即111131nnaa 故数列11na是首项为1112a，公比为 3 的等比数列，所以111112 3,12 3nnnnaa ，即112 31nna，所以数列 na的通项公式为11
11、2 31nna（2）由（1）知112 3,21,212 3nnnnnnbcnb cn 01211 2 33 2 35 2 3212 3nnSn 12331 2 33 2 35 2 32 2 12 3mnS 两式相减得：121222 2 32 2 32 2 3212 3nnnSn 3324212 342 3212 344131 3nnnnnnnn 2213nnSn 参考答案：（1）2212yx （2）（i）不能（参看教材 128 页第 13 题）（ii）222 22200000212,0 xyxxy 22.解：（1）由2222222333,4,244ccababaaa得即得 又22411ab，解
12、得22282,6abc 椭圆C的标准方程为22182xy.（2）当ABx轴时，M位于x轴上，且OMAB，8 126,3;2AOBOMABSOMAB由可得此时 当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为ykxt，与椭圆交于11,A x y，22,B xy 由22182xyykxt，得222148480kxktxt.由222(8)4 14480ktkt，得22820kt 且2121222848,1414kttxxx xkk，从而224,1414kttMkk.已知2OM，可得22222 141 16ktk.222222121222848|14141414kttABkxxx xkkk 2222216 82114ktkk 设O到直线AB的距离为d，则2221tdk，结合22222 141 16ktk化简得 2222222222212411241211616421 161 16AOBkkkkSAB dkk 当且仅当221241kk即218k 时取等号，此时232t，满足不等式 此时AOB的面积最大，最大值为 2.综上，AOB 的面积的最大值为 2.