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1、第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年河北省石家庄二中实验学校高一上学期 12 月学情监测数学试题 一、单选题 1已知角(02)的终边上一点P的坐标为22cos,sin33，则角的值为（）A6 B23 C53 D116【答案】B【分析】根据任意角的三角函数即可求解.【详解】由已知可得：角的终边上一点P的坐标为13(,)22，位于第二象限，它到原点的距离为13144r，2，则由任意角的三角函数的定义可知：3sin=2即2=3，故选：B.2下列函数中，其定义域和值域分别与函数 lg10 xf x 的定义域和值域相同的是（）A1yx Blgyx Cxye D21yx【答案】D【分析】根据
2、函数的解析式，分别求出各个函数的定义域和值域即可【详解】由0 x，0 x，lg10 xf xx的定义域为0 x x，值域为0y y，A 选项，1yx的定义域为0 x x，A 选项错误；B 选项，lgyx的定义域为0 x x，B 选项错误；C 选项，xye的定义域为 R，C 选项错误；D 选项，21yx的定义域为0 x x，值域为0y y，D 选项正确.故选：D 3已知3sin35，则下列结论正确的是（）第 2 页 共 15 页 A4cos35 B4cos65 C4tan63 D24sin35【答案】C【分析】由诱导公式、同一三角函数的平方关系和商数关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于
3、A，24cos1 sin335 ，所以 A 不正确；对于 B，3cos=cos=cos=sin6232335，所以 B 不正确；对于 C，由 B 知，3cos65，所以4sin65，则4tan63，所以 C 正确；对于 D，23sinsinsinsin33335.所以 D 不正确.故选：C.4函数 log(0af xx a，且1)a 与函数 21g xaxax在同一坐标系中的图像可能是（）A B C D【答案】B【分析】21g xaxax过原点，排除 AC；当01a时，g x开口向下，排除 D，得到答案.【详解】21g xaxax过原点，排除 AC；当01a时，logaf xx单调递减，g x
4、开口向下，排除 D.第 3 页 共 15 页 故选：B 5212cos3 tan 3的化简结果是（）Asin3cos3 Bcos3sin3 Csin3cos3 Dsin3cos3【答案】A【分析】利用诱导公式、商数关系和平方关系求解.【详解】解：212cos3 tan 3，2sin312cos 3cos3，12sin3 cos3，2sin3cos3，sin3cos3，因为3,2，所以sin30,cos30，所以sin3cos30，所以212cos3 tan 3sin3cos3，故选：A 6已知x同时满足下列条件：12111sin,1,log1,1222xxxx，则实数x的范围是（）A01x B
5、02x C102x D1x 【答案】C【分析】分别解不等式，再求交集即可求解【详解】由1sin2x解得72 2,Z66kxkk，由112x解得0 x，对于1log12x，当01x时，由1log12x即1log1log2xxx 得，第 4 页 共 15 页 0112xx，解得102x，当1x 时，由1log12x即1log1log2xxx 得，112xx，解得1x，所以由1log12x解得102x或1x 由121x 解得01x，又x同时满足12111sin,1,log1,1222xxxx，所以102x，故选：C 7,ABC是三角形的三个内角，下列选项能判断ABC为等腰三角形的是（）Asinsin
6、ABCABC Bsincos22ABCABC Csinsin22ABCABC D2sin3cosAA【答案】C【分析】根据诱导公式和三角函数基本关系式即可判定.【详解】对于选项 A，存在以下两种情况：ABCABC，所以22BC，所以BC.：180()ABCABC，所以2180A，所以90A，故选项 A 错误；对于选项 B，存在以下情况：第 5 页 共 15 页 9022ABCABC,解得90A，故选项错误;对于选项 C，22ABCABC或18022ABCABC 解得BC或180A(舍去)故ABC为等腰三角形，故选项 C 正确；对于选项 D，2sin3cosAA，所以22sin3cosAA，所以
7、22(1cos)3cosAA，解得22cos3cos20AA，所以2cos1 cos20AA，记得1coscos22AA 或（舍去），所以60A，但是不能判断ABC为等腰三角形，故选项错；故答案为：C.8已知,x y满足ln20,ln 130 xxyy，其中e是自然对数的底数，则xy的值为（）Ae B1 C1e D4e【答案】B【分析】设1yt，对式子ln 130yy 换元结合 ln2f xxx单调性可得xt，即可求值.【详解】设11ytyt ，则ln 13ln20yytt，又 ln2f xxx单调递增，所以 0f xf txt，故111ytxxy .故选：B 二、多选题 9（多选）下列选项正
8、确的是（）第 6 页 共 15 页 A若为锐角，则2一定是锐角或钝角 B存在R，使得3sin cos5 C若0,2，则sin D存在,R，使得sinsinsin成立【答案】CD【分析】A.2是锐角、直角或钝角，所以该命题错误；B.6sin 215，所以该命题错误；C.利用单位圆和三角函数的定义证明其正确；D.可以举例说明其是正确的.【详解】A.若为锐角，所以090,02180，所以2是锐角、直角或钝角，所以该命题错误；B.假设命题正确，所以存在R，使得662sin cos,sin2155，显然不成立，所以该命题错误；C.若0,2，如图所示，在单位圆中，sin11CACAAB,所以sin，所以该
9、命题正确；D.存在,R，使得sinsinsin成立，如=0，所以该命题正确.故选：CD 10下列说法正确的是（）A当24x时，222,logxxx的大小关系是222logxxx B总会存在一个0 x，当0 xx时，恒有222logxxx C函数 22xf xx有零点，但不可以用二分法求出零点所在范围 D方程220 xx 有两个根【答案】AB【分析】作出函数2xy，2yx，2logyx图象的简图，数形结合判断选项正误.第 7 页 共 15 页【详解】如图，24x时，222logxxx，所以 A 正确；当4x时，222logxxx，所以 B 正确；22()xf xx的零点都为变号零点，所以可以用二
10、分法求零点所在范围，C 错误；方程220 xx 在,0有一个根，在0,上有两个根，共三个，D 错误.故选：AB.11已知函数 2lg1f xxax，下列论述中正确的是（）A当0a 时，f x的定义域为R B f x的定义域为R，则实数a的取值范围是2,2 C f x的值域为R，则实数a的取值范围是,22,D若 f x在区间2,上单调递增，则实数a的取值范围是4,【答案】ABC【分析】由对数型复合函数的定义域可判断 AB；由对数函数的值域判断 C；由复合函数的单调性可判断 D【详解】对于 A：当0a 时，2lg1f xx，由210 x解得xR，故 A 正确；对于 B：f x的定义域为R，则210
11、 xax 恒成立，则240a，解得22a，故 B 正确；对于 C：f x的值域为R，则21txax能取完所有正数，此时240a，解得,22,a ，故 C 正确；对于 D：因为复合函数 2lg1f xxax是由lgyt，21txax，复合而成，而lgyt在0,第 8 页 共 15 页 上单调递增，又 2lg1f xxax在区间2,上单调递增，所以21txax在2,上单调递增，则有22a，解得4a ，又210 xax 在2,上恒成立，则有22210a，解得52a ，综上，52a ，故 D 错误；故选：ABC 12若函数cos1 cos,Zfxnx n，则下列说法正确的是（）A若1n，则sin1 s
12、infxx B若1n，对R,cos0 xfx 恒成立.C若1n，方程sin10 xfx 的根的个数是 8 个.D若sincosfxfx，则4,Znk k【答案】ABD【分析】将1n 代入 A，B，C 中检验即可；选项 D 利用诱导公式推理即可.【详解】当1n 时，cos1 cos1 cosfxnxx ，令cos,1,1tx t，所以 1,1,1f tt t ，所以选项 A，sin1 sinfxx，正确；Rx，cos1,1x，所以cos1 cos0fxx，故 B 正确；选项 C，1n 时，sin1 sin1010 xxfxx，令121 sin,10 xyx y，则如图所示：由图可得12,y y只
13、有 7 个交点，故方程只有 7 个实数根，第 9 页 共 15 页 故 C 选项错误；选项 D，因为sincos2xx，所以 sincos2fxfx 1 cos2nx 1 cos2nnx，由cos1 cosfxnx，sincosfxfx，所以cos=2cosnnnxx，所以+2=(Z)2nnnxkxk，所以4,Znk k，故选项 D 正确；故选：ABD.三、填空题 13210321298log 16(e)2525_.【答案】15#0.2【分析】利用指数、对数运算公式即可.【详解】210321298log 16e2525 231124 1555 故答案为：15 14已知函数 f x与 exg x
14、 互为反函数，函数 yh x的图像与 yf x的图像关于x轴对称，若 1h a，则实数a的值为_.【答案】1e【分析】由函数 f x与 exg x 互为反函数可得函数 f x解析式，又因函数 yh x的图像与第 10 页 共 15 页 yf x的图像关于x轴对称，所以 h xf x，得出 yh x解析式代值计算即可【详解】因为函数 f x与 exg x 互为反函数，所以 lnf xx，又因函数 yh x的图像与 yf x的图像关于x轴对称，所以 lnh xx 由 ln1h aa 可解得1ea 故答案为：1e 15已知扇形圆心角60，所对的弧长6l，则该扇形面积与其内切圆面积的比值为_.【答案】
15、32【分析】根据扇形的性质，结合锐角三角函数定义、扇形面积公式、弧长公式进行求解即可.【详解】因为扇形圆心角60，所以扇形圆心角3，设扇形的半径为R，因为所对的弧长6l，所以有6183RR，扇形的面积为：1618542，设扇形内切圆的半径为r，如下图所示：显然6APO，OAOBr，18PBR，由1sin6218AOrAPOrPOr，所以扇形内切圆的面积为：2636，因此该扇形面积与其内切圆面积的比值为：543362，故答案为：32.16设函数 31,12,1xxxf xx，则满足()()2f aff a的实数a取值范围是_.第 11 页 共 15 页【答案】2,)3【分析】令()f at，得到
16、()2tf t，分1t 和1t 两种情况讨论，结合函数的图象和函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数 31,12,1xxxf xx，令()f at，因为()()2f aff a，则()2tf t，当1t 时，可得312tt ，令31,2tyty，其中1t，作出两个函数的图象，如图所示：所以1t 时，方程312tt 无解；当1t 时，22tt成立，由()1f a，当1a时，可得31 1a，解得213a；当1a 时，可得21a，解得1a.综上可得，实数a取值范围是2,)3 故答案为：2,)3.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及指数函数和一次函数的图象与性质的应用，其中解答中结合分段函
17、数的分段条件，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及运算能力.四、解答题 17已知 11sin 2coscoscos229cossin 3sinsin2f，若角的终边过点4 3P,.第 12 页 共 15 页(1)求2f的取值.(2)求214cos6sin cos的值.【答案】(1)43(2)25136 【分析】（1）由诱导公式化简()f，化简()2f，由三角函数定计算出tan可得结论（2）由平方关系化待求式为关于sin,cos的齐次式，然后弦化切，代入（1）的结论计算【详解】（1）sincossinsintancossin sin cosf 角的终边过点34,3,tan4P
18、，14tan22tan3f .（2）22221sincos=4cos6sin cos4cos6sin cos2tan12546tan136 18已知函数 cos2 cosf xxx.(1)请用“五点法”画出函数 f x在0,2上的图象（先列表，再画图）；(2)由图象直接写出：当0,2x时，函数 f x与直线ym的交点个数的所有可能情况，并求出交点个数为 2 个时m的范围.【答案】(1)答案见解析(2)交点个数可能为 0 个，2 个，3 个，4 个，1,30 【分析】（1）化简函数 f x的解析式，取五点，列表，即可作出函数图象.（2）根据（1）种函数图象，数形结合，即可求得答案.【详解】（1）
19、由题意得 33cos,02223cos,22xxxf xxx或，列表如下：第 13 页 共 15 页 x 0 2 32 2 cosx 1 0 1 0 1 cos2 cosf xxx 3 0 1 0 3 在直角坐标系中描点连线，如图所示：（2）由图象可知当0,2x时，函数 f x与直线ym的交点个数可能为 0 个，2 个，3 个，4 个.当交点个数为 2 个时，m的范围是1,30.19已知 f x是定义在R上的奇函数，且当0 x 时，1 3xf x .(1)求函数 f x的解析式；(2)当2,8x时，方程222log4log0fxfax有解，求实数a的取值范围.【答案】(1)1 3,0()1 3
20、,0 xxxf xx ；(2)4,5.【分析】（1）当0 x 时，则0,1 3xxfx ，再利用 f x为奇函数，f xfx 和(0)0f，即可求出答案.（2）利用函数是奇函数把方程222log4log0fxfax化为222loglog4fxf ax，再利用 f x是R上的单调减函数得222loglog40 xax，在2,8x上有解.再令2logtx，则240tat在 1,3t有解.分离参数有解问题，即可求出答案.第 14 页 共 15 页【详解】（1）当0 x 时，则0,1 3xxfx ，f x是奇函数，1 3xf xfx .又当0 x 时，(0)0f 1 3,0()1 3,0 xxxf x
21、x .（2）由222log4log0fxfax，可得222log4logfxfax.f x是奇函数，222loglog4fxf ax.又 f x是R上的单调减函数，所以222loglog40 xax在2,8x有解.令2log,2,8tx x，则 21,3,40ttat在 1,3t有解.即4att 在 1,3t有解，设 4,g ttt 易知函数在（1,2）递减，（2,3）递增，故值域为4,5.实数a的取值范围为4,5 20已知函数 1 sinln,1 sinxf xtx为方程14230 xx的解.(1)判断 f x的奇偶性；(2)若不等式：22e22f xtmtmt对于Rm 恒成立，求满足条件的
22、x的集合.（其中e为自然对数的底）【答案】(1)奇函数；(2)72266x kxk且2,Z2xkk.【分析】（1）先判断定义域关于原点对称，在验证()f x与()fx的关系，即可得到答案.（2）先解出方程14230 xx的解，再把t与()f x代入不等式 22e22f xtmtmt中，化简得222222min1 sin2log 3log 33l gs3o31inxmmxm，即可1sin2x 再结合函数的定义域即可求出答案.第 15 页 共 15 页【详解】（1）定义域：,Z2x xkk，定义域关于原点对称 1 sin1 sin()lnln1 sin1 sinxxfxxx 则1 sin1 sin
23、()()lnlnln101 sin1 sinxxf xfxxx 既满足()()f xfx 故函数 f x为奇函数.（2）14230 xx 222 2302321023xxxxx 2log 3x t为方程14230 xx的解 2log 3t 由 22e22f xtmtmt 可得：22221 sin2log 3log 331 sinxmmx 上式恒成立，只需222222min1 sin2log 3log 33l gs3o31inxmmxm 即1 sin31 sinxx，即1 sin3 1 sinxx 4sin2x 1sin2x 解得：722,Z66x kxkk且,Z2x xkk 综上，满足条件的x的集合 72266x kxk且2,Z2xkk