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1、2023 届高三数学模拟试题 时量：120 分钟满分：150 分 一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合214,210AxxBx xaxa，若AB，则实数a的取值范围为（）A.2a a B.2a a C.1a a 或2a D.1a a 2.已知22221,22Pabc Qabc，则（）A.P Q B.PQ C.P Q D.,P Q的大小无法确定 3.若tan1，则sin2cos2（）A.15 B.14 C.12 D.1 4.各项为正的数列 na的前n项和为nS，满足2114nnSa，则263nnSa的最小值为（
2、）A.92 B.4 C.3 D.2 5.已知过点1,3的动直线l与圆22:16C xy交于,A B两点，过,A B分别作C的切线，两切线交于点N.若动点cos,sin(0 02)M，则MN的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9 6.阅读材料：空间直角坐标系Oxyz中，过点000,P xy z且一个法向量为,na b c的平面的方程为0000a xxb yyc zz.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为3570 xyz，直线l是两平面370 xy与4210yz 的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（）A.1035 B.75 C.715 D.1455 7.已知0.111,tan0.
3、1,ln0.9eabc，其中e为自然对数的底数，则（）A.cab B.abc C.bac D.acb 8.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F P为C上不与左有顶点重合的一点，I 为12PFF的内心，且12322IFIFPI，则C的离心率为（）A.13 B.25 C.33 D.65 二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 9.给出下列命题，其中正确的命题是（）A.若0a b，则,a b是钝角 B.若124777OPOAOBOC，则,P A
4、B C一定共面 C.过点1,2P且在,x y轴截距相等的直线方程为30 xy D.直线sin20 xy的倾斜拜的取值范围是30,44 10.已知奇函数 3sincos(0,0)f xxx 的周期为，将函数 fx的图像向有平移6个单位长度，可得到函数 yg x的图像，则下列结论正确的是（）A.函数 2sin 23g xx B.函数 g x在区间,63 上单调递增 C.函数 g x的图像关于直线12x 对称 D.当0,2x时，函数 g x的最大值是3 11.如图，在直三棱柱111ABCABC中，190,2,ACBACBCCCE为11BC的中点，过AE的截面与棱111BB AC分别交于点F G，则下
5、列说法中正确的是（）A.存在点F，使得1AFAE B 线段1C G长度的取值范围是 0,1 C.当点F与点B重合时，四棱锥CAFEG的体积为 2 D.设截面AFEGAEGAEF的面积分别为123S S S，则2123SS S的最小值为2 3 12.数列 na满足211,31nnnaa aaa，则下列说法正确的是（）A.若1a 且2a，数列 na单调递减 B.若存在无数个自然数n，使得1nnaa，则1a C.当2a 或1a时，na的最小值不存在 D.当3a 时，121111,12222naaa 三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知2:,210,:1,pxR axx
6、q a ，则q是p的_条件.（在充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要中选一个正确的填入）14.已知定圆22:(3)16Mxy，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹：椭圆；双曲线；拋物线；圆；直线；一个点.其中所有可能的结果有_个.15.点O是ABC的外心，,a b c分别为内角,A B C的对边，3A，且coscos2sinsinBCABACOACB，则的值_.16.已知m n为实数，e1xf xmxn，若 0f x对x R恒成立，则nmm的最小值为_.四解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
7、17.（10 分）设 na是公比为正数的等比数列，1322,4aaa.（1）求 na的通项公式；（2）设 nb是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列nnab的前n项和nS.18.（12 分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c D为边BC上一点，若ABDBACDC（1）证明：（i）AD平分BAC；（ii）2ADAB ACDB DC；（2）若1 sinsincos1 cosBBACBBAC，求abc的最大值.19.（12 分）汽车尾气排放超标是全球变暖海平面上升的重要因素.我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展，某汽车制造
8、企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份t 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码2016x xt 1 2 3 4 5 销量/y万辆 10 12 17 20 26（1）统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破 50 万辆；（2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业随机调查了该地区 200 位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有 45 名，女性车主中有 20 名购置传统燃油汽车.若95，
9、将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区 2023 年购値新能源汽车的女性车主的人数假设每位车主只购头一辆汽车，结果精确到千人）；设男性车主中购置新能源汽车的概率为p，若将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取 5 人，记恰有 3 人购置新能源汽车的概率为 fp，求当w为何值时，fp最大.附：ybxa为回归方程，1221,niiiniix ynx ybaybxxnx.20.（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面,2ABCD PAAD，4,2 3,BDABBD是ADC的平分线，且BDBC.（1）若点E为棱PC
10、的中点，证明：BE平面PAD；（2）已知二面角PABD的大小为60，求平面PBD和平面PCD的夹角的余弦值.21.（12 分）已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过2,0A，31,2B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）F为椭圆C的右焦点，直线l交椭圆C于,P Q（不与点A重合）两点，记直线,AP AQ l的斜率分别为12,k k k，若123kkk，证明：FPQ的周长为定值，并求出定值.22.（本小题满分 12 分）已知函数 2sinlnf xxxa x.（1）当0a 时，0,2xfxmx，求实数m的取值范围；（2）若1212,0,x xxx，使得 12f xf x，求证：212
11、x xa 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C D D B A B B BD AC BC ACD 一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】21 2aa，1a 时，B，满足AB；1a 时，221,Bx axaAB，得241aa，解得2a.综上，实数a的取值范围为1a a 或2a，故选：C.2.C【解析】22222221122(1)(1)0PQabcababccc，故0PQ，所以P Q.故选：C.3.D【解析】222222222sin coscossin2ta
12、n1tan2 1 1 1sin2cos21sincostan111 .故选：D.4.D【解析】各项为正的数列,0nnaa，2114nnSa，2n时，2211111144nnnnnaSSaa，化为：1120nnnnaaaa，110,2nnnnaaaa，又211114aa，解得11a.数列 na是等差数列，首项为 1，公差为 2.1 2121nann，221(21 1)4nSnn，22262634412 2122321 3111nnSnnnnannnn ，当且仅当1n时取等号，263nnSa的最小值为 2.故选：D.5.B【解析】易得圆心0,0C，半径为 4，如图，连接,CA CB，则,CANA
13、CBNB，则,N A C B四点在以NC为直径的圆上，设00,N xy，则该圆的圆心为00,22xy，半径为22002xy，圆的方程为22220000224xyxyxy，又该圆和圆C的交点弦即为AB，故2222220000:16224xyxyAB xyxy，整理得0016x xy y，又点1,3在直线 AB上，故00316xy，即N点轨迹为3160 xy，又M在圆221xy上，故MN的最小值为 圆心0,0到直线3160 xy的距离减去半径 1，即16173 1.故选：B.6.A【解析】平面的方程为3570,xyz平面的法向量可取3,5,1m，平面370 xy的法向量为1,3,0a，平面4210
14、yz 的法向量为0,4,2b，设两平面的交线l的方向向量为,nx y z，由30420n axyn byz，令3x，则1,2yz，所以3,1,2n，设直线l与平面所成角的大小为210,sincos,351435m nm nm n.故选：A.7.B【解析】令 e1xg xx，则 e1xgx，当0 x 时，0gx，当0 x时，0gx，所以当0 x 时，g x取得最小值，即 00g xg，所以e1xx，所以0.1e10.1 1 10.1a ；因为tan,0,2xx x，所以tan0.10.1b .令 1 ln(0)xxx x，则 111xxxx，当01x时，0 x，当1x 时，0 x，所以当1x 时
15、，x取得最小值，所以 10 x，所以ln1x x，所以ln0.90.9 10.1c .设 ln1tan,1,0f xxx x，222cos1111cos1 cosxxfxxxxx.设 2cos1,2cos sin1sin21h xxxh xxxx，在1,0上，0,h xh x递减，所以 00h xh，所以 0,fxf x递增，所以 0.10ff，即ln0.9tan0.10，所以cb，综上：abc，故选：B.8.B【解析】设M是2PF的中点，连接IM，如图，则22IPIFIM，由12322IFIFPI，得1211322340,IFIFIPIFIMF I M三，点共线，11434,3FIIMIIM
16、.由1FM既是12PFF的平分线，又是2PF边上的中线，得12112,2FMPFPFFFc，2222,PFac MFac.作INx轴于点112,RtRtNFINcFF M，且11122422,35FIFIFFccINIMeINIMMFaca，故选：B.二选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.9.BD【解析】对,0,A a ba b不一定是钝角，可能是平角，A错；对B，若A B C 不共线，由1241777，得,P A B C共面.若A B C 共线，由124777OPOA
17、OBOC得A B C P 共线，即共面，B对；对C，若截距均为 0，则直线方程为2,Cyx错；对D,tansin1,1k ，又0,，故30,44，D 对；故选：BD.10.AC【解析】由已知，3sincos2sin6fxxxx，因为函数 fx为奇函数，所以,6kkZ，可得,6kkZ，又因为0，所以6，又因为函数 fx的周期为，所以2，解得2，所以 2sin2f xx.将函数 fx的图像向右平移6个单位长度，得 2sin 22sin 263yg xxx，故选项 A 正确；当,6 3x 时，22,333x ，此时函数 g x在区间,63 不单调，故选项 B 错误；当12x 时，2sin 22sin
18、2121232g ，所以12x 是函数 g x的一条对称轴，故选项 C 正确；当0,2x时，22,333x，所以3sin 2,132x，所以2sin 23,23x，故选项 D 错误.故选：AC.11.BC【解析】因为1CC 平面,ABC ACBC，以点C为坐标原点，1CA CB CC所在直线分别为x y z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则1112,0,00,2,00,0,02,0,20,2,20,0,20,1,2ABCABCE 设点0,2,0,2FaG b，其中02,02ab.对于A选项，若存在点F，使得1AFAE，且12,2,2,2,1,2AFaAE ，142220AF AEa，解得1
19、a，不合乎题意，A错；对于B选项，设AGmAEnAF，其中,m nR，即2,0,22,1,22,2,bmna，即2222022mnbmnman，可得424ba，02a，则442a，所以，420,1,B4ba 对；对于C选项，当点F与点B重合时，0a，则1b，此时点G为11AC的中点，如下图所示：在直三棱柱111ABCABC中，四边形11AAB B为矩形，则11ABAB且11ABAB，E G分别为1111BC AC的中点，则11/EGAB且1112EGAB，所以，EGAB且12EGAB，同理1/CGAC且111,2CGAC C EBC且112C EBC，所以，1112C EC GEGABBCAC
20、，故几何体1ABCGEC为三棱台，1111112,222ABCC BGSAC BCSC E CG，1111117723323ABC GECABCGECABCGECVSSSSCC，111111123323C GECGECVSCC，因此，112,CCAFEGABC GECC GECVVV对；对于D选项，2,1,2,2,2,AEAFa ，则点F到直线AE的距离为222152436|3AE AFaadAFAE，2,0,2AGb，则点G到直线AE的距离为222|AG AEdAGAE 225482 5243633 4bbaaa，所以，223124SdSda，故2223312232332242422 224
21、4242SSSSSaaS SS SSSaa，当且仅当2a 时，等号成立，故2123SS S的最小值为4,D错.故选：BC.12.ACD【解析】A 选项，221211nnnnnaaaaa ，令1nnaa，解得：1na，令21311nnnaaa，解得：2na，综上：1na 且2na，所以1a 且2a，数列 na单调递减，A 正确；B选项，当2a 时，2211316411aaa ，当3n时，3 1 1 1na ，所以存在无数个自然数n，使得1nnaa，故 B 错误；C选项，当2a 或1a时，2212110nnnnnaaaaa ，所以数列 na单调递减，所以最小值不存在，C 正确；D选项，211321
22、2nnnnnaaaaa ，所以1111111212nnnnnaaaaa，所以1111211nnnaaa，故1212231111111111222111111nnnaaaaaaaaa 11111111121nnaaa，因为 212113,3110,naaaaaa 单调递减，所以当2n时，12110,01nnaaa，所以1111212na，又因为111na单调递减，所以当1n时，11121na取得最大值，最大值为2111112122a，综上：121111111,1222212nnaaaa，D 正确.故选：ACD.三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.充分不必要 【解析】由
23、题意知，2:,21 0pxaxx R，即0a 且440a，解得1a，所以qp，即q是p的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.14.4 【解析】当点A在圆M外时，连接QA，因点Q在线段PA的中垂线上，如图，则QAQP，有|4|QAQMQPQMPMMA，因此点Q的轨迹是以点,M A为两焦点，实轴长为 4 的双曲线；当点A在圆M内（除圆心M外）时，连接QA，因点Q在线段PA的中垂线上，如图，则QAQP，有4QAQMQPQMPMMA，因此点Q的轨迹是以点,M A为两焦点，长轴长为 4 的椭圆；当点A与圆心M重合时，有PM与PA重合，则线段PA的中垂线与PM交点Q是线段PM 中点，即2QM，因此点Q的
24、轨迹是以点M为圆心，2 为半径的圆；当点A在圆M上时，圆M上点P与A不重合，弦PA的中垂线过圆心M，即线段PA的中垂 线与PM交点Q是点M，因此点Q的轨迹是点M，所以所有可能的结果有 4 个.故答案为：4 15.32 【解析】如图，分别取,AB AC的中点,D E，连接,OD OE，则221111;2222AB OAABABcAC OAACACb ，因为coscos2sinsinBCABACOACB，设ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得2sinsinsinabcRABC，所以两边同时点乘OA可得2coscos2sinsinBCAB OAAC OAOACB，即222cos1cos12sin2
25、sin2BCcbRCB ，所以211coscos22 sin2 sincbcBbCRCB，所以2112cos2cos222R cBR bCR，所以coscos2cBbCR，所以222222222acbabccbRacab，即2aR，所以3sinsin232aAR .故答案为：32.16.1 【解析】若0m，则 0fx恒成立，所以 fx在R上单调递增，且当x 时 f x，不符合题意，所以0m，令 0fx，解得lnxm，当lnxm时 0fx，当lnxm时 0fx，所以 fx在,lnm上单调递减，在ln,m上单调递增，所以min()lnln1 0f xfmmm mn，所以ln1n m mm，则ln2
26、1nm m mm，则1ln2nmmmm.令 1ln2,0,g xxxx，则 22111xgxxxx，所以当1x 时 0gx，当01x时 0gx，即 g x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，所以 min()11g xg，所以1nmm，即nmm的最小值为1.故答案为：1.四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）因为 na是公比为正数的等比数列，所以公比0q，因为1322,4aaa，所以2224qq，解得：2q 或1，因为0q，所以2q，所以 na的通项公式为112nnnaa q；（2）由题意得：12121nbnn，所以数列nnab的前
27、n项和122 1 21 21221 22nnnnnSn.18.【解析】（1）（i）在三角形ABD中，由正弦定理得sinsinABDBADBBAD，即sinsinABADBDBBAD；在三角形ACD中，由正弦定理得sinsinACDCADCCAD，即sinsinACADCDCCAD.因为ABDBACDC，所以ABACDBDC，所以sinsinsinsinADBADCBADCAD.因为ADB与ADC互补，所以sinsinADBADC，所以sinsinCADBAD.因为A为三角形内角，所以CADBAD，所以CADBAD，所以AD平分BAC；（ii）因为CADBAD，所以，由余弦定理得22222222
28、ABADDBACADDCAB ADAC AD，化简得222ADACABAB AC ACABDCABDBAC，由（i）得AB DCAC DB，代入上式有2:ADACABAB AC ACABDC AC DBDB AB DC.当ABAC时，消去ACAB，得：2ADAB ACDB DC，即证.当ABAC时，ABC为等腰三角形，由三线合一可知，ADBC，且ABAC.由勾股定理得：222ADABDB.因为,ABAC DBDC.所以2ADAB ACDB DC成立.综上所述2:ADAB ACDB DC.（2）由已知得1 sinsincos1 cosBBACBBAC 2222sincos2sincoscossi
29、n2cos2222222BBBACBACBBBAC 1tan2tantantan224221tan2BBACBACBBACBB，所以ABC是直角三角形，即222cab，所以222()212abababcabba，当且仅当ab时取等号，所以abc的最大值为2.19.【解析】（1）由题意得 2111234510121720263,17,295,5555nniiiiixyx yx.12212955 3 174,174 355545niiiniix ynx ybaybxxnx .y关于x的线性回归方程为45yx，令4550yx，得11.25x，所以最小的整数为12,2016122028，所以该地区新能
30、源汽车的销量最早在 2028 年能突破 50 万辆.（2）由题意知，该地区 200 名购车者中女性有200954560名，故其中购置新能源汽车的女性车主有602040名.所以购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为408404517.所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为817.预测该地区 2023 年购置新能源汽车的销量为 33 万辆，因此预测该地区 2023 年购置新能源汽车的女性车主的人数为83315.517万人.由题意知，45,013545pw，则 3325435C(1)102fpppppp，4322210 58310583fppppppp 2101 53ppp 当30,
31、5p时，知 0fp，所以函数 fp单调递增，当3,15p时，知 0fp，所以函数 fp单调递减.所以当35p 时，fp取得最大值3235333216C1555625f .此时453455，解得30w，所以当30w时 fp取得最大值216625.20.【解析】（1）方法一：延长,CB DA交于点F，连接PF，在CDF中，BD是ADC的平分线，且BDBC，点B是CF的中点，又E是PC的中点，BEPF，又PF 平面,PAD BE 平面PAD，直线BE平面PAD.方法二：取CD的中点为G，连接GE，E为PC的中点，GEPD，又PD 平面,PAD GE 平面PAD，/GE平面PAD，又在四边形ABCD中
32、，2,4,2 3ADBDAB，则90,60BADBDABDC，又因为,BDBC G为CD的中点，所以60DBGBDA，所以ADBG，可得BG平面PAD，由得平面BEG平面PAD，又BE 平面,BEG BE 平面PAD，直线BE平面PAD.（2）在ABD中，2,4,2 3ADBDAB，则90BAD，即BAAD，由已知得60,8BDCBDACD，又平面PAD 平面,ABCD BA 平面ABCD，所以BA 平面PAD，即BAPA，所以PAD为二面角PABD的平面角，所以60PAD，又2PAAD，所以PAD为正三角形，取AD的中点为O，连OP，则,OPAD OP平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，则
33、 1,0,0,1,2 3,0,5,4 3,0,1,0,0,0,0,3ABCDP，所以1,0,3,2,2 3,0,4,4 3,0DPBDDC ，设111222,mx y znxyz分别为平面PBD和平面PCD的法向量，则 00m DPm BD，即11113022 30 xzxy，取11y ，则3,1,1m ，00n DPn DC，即22223044 30 xzxy，取21y，则3,1,1n，所以3cos,5m nm nmn，则平面PBD和平面PCD所成夹角的余弦值为35.21.【解析】（1）由已知设椭圆C方程为：221(0,0)mxnymn，代入32,0,1,2AB，得11,43mn，故椭圆C方
34、程为22143xy.（2）设直线1122:,l ykxm P x yQ xy，由22222,43841203412ykxmkxkmxmxy，得1222222222122843,644 434121924814441243kmxxkk mkmkmmxxk，11212112,222ykxmkxmkkxxx又 故12121212121212122242224kx xk xxm xxmkxmkxmkkxxx xxx 2222228241681612412 161612kmkk mkmk mmmkmk 223644mkmkmk 由123kkk，得22320mkmk，故202mkmkmk或mk，.当2mk
35、时，直线:22l ykxkk x，过定点2,0A，与已知不符，舍去；当mk时，直线:1l ykxkk x，过定点1,0，即直线l过左焦点，此时222192481441441440kmk，符合题意.所以FPQ的周长为定值48a.22.【解析】（1）由 f xmx，得2sinxx mx，即sin2xmx，其中0,2x.令 sin2,0,2xh xxx，得 2sincosxxxh xx，.设 sincos,0,2xxxx x，则 sin0 xxx，所以 x在0,2上单调递增，所以 0sin00 cos00 x，所以 0h x，所以 h x在0,2上单调递增，所以 h x在0,2上有最大值，maxsi
36、n22()2222h xh，所以m的取值范围为22,；（2）由 12f xf x，可得1112222sinln2sinlnxxa xxxa x，整理为 212121lnln2sinsinaxxxxxx，令 sin,0u xxx x，则 1 cos0uxx，所以 sinu xxx在0,上单调递增，设12xx，所以1122sinsinxxxx，从而2121sinsinxxxx，所以 212121212121lnln2sinsin2axxxxxxxxxxxx，所以2121lnlnxxaxx.下面证明211221lnlnxxx xxx，即证明2122111lnxxxxxx，令21xtx，即证明1lnttt，其中1t，只要证明1ln0ttt，设 1ln(1)tv tt tt，则 2(1)02tv tt t，所以 v t在1,上单调递增，所以 1 11ln101v tv，所以211221lnlnxxx xxx，所以211221lnlnxxax xxx，所以212x xa.