2022-2023学年江苏省苏州市高二上学期期末模拟数学试题(解析版).pdf-淘文阁

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1、第 1 页共 20 页 2022-2023 学年江苏省苏州市高二上学期期末模拟数学试题一、单选题 1直线2360 xy不经过（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】C【分析】作出直线2360 xy的图象，可得出结论.【详解】作出直线2360 xy的图象如下图所示：由图可知，直线2360 xy不过第三象限.故选：C.2已知向量1,2,3,2,4abx，若ab，则实数x的值为（）A8 B7 C7 D14【答案】B【分析】根据向量垂直，则向量数量积为 0，得到 1 22340 x ，解出即可.【详解】已知向量1,2,3,2,4abx，因为ab，所以 1 22340 x ，解得7

2、x 故选：B 3如图，在四面体OABC中，G是BC的中点，设OAa，OBb，OCc，则AG（）第 2 页共 20 页 A1122abc B1122abc C12abc D12abc【答案】B【分析】根据三角形法则先求得向量AB、AC，进而求得AG【详解】解：ACOCOAca，ABOBOAba，111122222AGACABabcabc 故选：B 4在数列 na中，*122,Nnnaann，11a，则数列12nna a前 5 项和5S（）A169 B89 C1011 D2011【答案】C【分析】根据递推公式判断其为等差数列，表示出其通项公式，然后代入12nna a裂项相消可求5.S【详解】11

3、2,1,nnnaaaa 为 1 为首项，2 为公差的等差数列，1221111221,21212121nnnanna annnn ，故511111101.33591111S 故选：C 5 若双曲线222:104yxCaa的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为165，则双曲线C的离心率为（）A133 B173 C53 D393【答案】C【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利用垂径定理可构造方程求得a的值，进而根据离心率241ea可求得结果.【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为2ayx；由圆的方程知：圆心为2,0，半径2r；2ayx与2ayx 图象关于x

4、轴对称，圆的图象关于x轴对称，两条渐近线截圆所得弦长相等，第 3 页共 20 页不妨取2ayx，即20axy，则圆心到直线距离224ada，弦长为222241622 445arda，解得：32a，双曲线离心率241651193ea.故选：C.6如果实数x，y满足2222xy，则yx的范围是（）A1,1 B1,1 C,11,D,11,【答案】B【分析】设ykx，求yx的范围救等价于求同时经过原点和圆上的点,x y的直线中斜率的范围，结合图象，易得取值范围.【详解】解：设ykx，则ykx表示经过原点的直线，k为直线的斜率.如果实数x，y满足22(2)2xy和ykx，即直线ykx同时经过原点和圆

5、上的点,x y.其中圆心2,0C，半径2r 从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为E 则直线的斜率就是其倾斜角EOC的正切值，易得2OC，2CEr，可由勾股定理求得222OEOCCE，于是可得到tan1CEkEOCOE为yx的最大值；同理，yx的最小值为1.则yx的范围是1,1.故选：B.7已知等差数列 1,2,3,nank kN满足1113,13nnnaaa a，若125kaaa，则 k的最大值是（）A8 B9 C10 D11 第 4 页共 20 页【答案】B【分析】设等差数列 na公差为d，由题意可得22213dk，从而建立关于k的不等式，求解不等式即可

6、得答案.【详解】解：设等差数列 na公差为d，由1133nnnaaa，且11a，得11(1)131(1),1,2,3,13ndndndnk，即(21)2,1,2,1(23)2ndnknd ，当1n 时，223d，当2,1nk时，由222123nn，得221dn，所以22213dk，所以(1)(1)252221k kk kkdkk，即21050kk，解得9k，所以 k 的最大值是 9.故选：B.8已知椭圆222210 xyabab）的焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，且21212PF PFPFPF，若12FPF的内切圆的半径r满足1123 sinPPFrFF，则2217aeb（其中e为椭圆C的离

7、心率）的最小值为（）A1010 B3 1010 C217 D2 217【答案】B【分析】由已知即向量数量积定义可得121cos2FPF，应用余弦定理求得2124|3PFPFb，根据等面积法可得233()brac，再由正弦定理列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设1211212222cosPF PFPFPFFPFPFPF，故121cos2FPF，又120,)FPF，则123FPF，由余弦定理知：222221212121212121212|(|)2|cos2|2|PFPFFFPFPFPFPFFFFPFPFPFPFPF第 5 页共 20 页 121222

9、 1010.故选：B 二、多选题 9设等比数列 na的公比为q，其前n项和为nS，前n项积为nT，且满足条件11a，202220231aa，20222023110aa，则下列选项正确的是（）A na为递减数列 B202220231SS C2022T是数列 Tn中的最大项 D40451T【答案】AC【分析】根据题意先判断出数列 na的前 2022 项大于 1，而从第 2023 项开始都小于 1.再对四个选项一一验证：对于 A：利用公比的定义直接判断；对于 B：由20231a及前 n项和的定义即可判断；对于 C：前n项积为nT的定义即可判断；对于 D：先求出4045T40452023a，由2023

10、1a即可判断.第 6 页共 20 页【详解】由 20222023110aa可得：20221a和20231a异号，即202220231010aa 或202220231010aa .而11a，202220231aa，可得2022a和2023a同号，且一个大于 1，一个小于 1.因为11a，所有20221a，20231a，即数列 na的前 2022 项大于 1，而从第 2023 项开始都小于 1.对于 A：公比202320221aqa，因为11a，所以11nnaa q为减函数，所以 na为递减数列.故 A 正确；对于 B：因为20231a，所以2023202320221aSS，所以20222023

11、1SS.故 B 错误；对于 C：等比数列 na的前n项积为nT，且数列 na的前 2022 项大于 1，而从第 2023 项开始都小于1，所以2022T是数列 Tn中的最大项.故 C 正确；对于 D：40451234045Ta a aa 240441111a a qa qa q 40451 2 340441aq 40452022 40451aq 404520221a q 40452023a 因为20231a，所以404520231a，即40451T.故 D 错误.故选：AC 10如图，平行六面体1111ABCDABC D，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法

12、中正确的是（）A16 6AC B1ACBD 第 7 页共 20 页 C向量1BC与1AA的夹角是60.D异面直线1BD与AC所成的角的余弦值为63.【答案】AB【分析】根据题意，引入基向量，分别用基向量表示1111,AC BD BC AA BD AC，利用向量求长度的计算公式，计算可得 A 正确；利用向量证垂直的结论，计算可得 B 正确；利用向量求夹角公式，计算可得 CD 错误.【详解】设1,ABa ADb AAc，因为各条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，所以6 6 cos6018a bb cc a，因为1ACcab，所以，222212223 363 2 186 6ACabcabca

13、bb cc a ，故 A 正确；由BDba，所以221=+=3636+18180ACBDabcbabac bc a，所以1ACBD，故 B 正确；因为1BCbc，且16BC，所以 21118361cos,6 62bccb ccBC AAbccbcc，所以其夹角为120，故 C 错误；因为1,BDcab ACab，213636362 182 182 186 2BDcab ，236362 186 3ACab，221363618 1836BDACcababbac ac b，所以1366cos,66 26 3cababBD ACcabab，故 D 错误.故选：AB.11数学美的表现形式不同于自然美或艺

14、术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线22 C:22xyxy就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）A曲线 C围成的图形有 4 条对称轴 B曲线 C围成的图形的周长是4 2 C曲线 C上的任意两点间的距离不超过 5 第 8 页共 20 页 D若,T a b是曲线 C上任意一点，4318ab的最小值是11 5 2【答案】ABD【分析】去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而可作出曲线的图像，由图像即可判断 ABCD.【详解】2222xyxy，当0,0 xy时，2222xyxy，即22(1)

15、(1)2xy，表示圆心为(1,1)，半径2r 的半圆；当0,0 xy时，2222xyxy，即22(1)(1)2xy，表示圆心为(1,1)，半径2r 的半圆；当0,0 xy时，2222xyxy，即22(1)(1)2xy，表示圆心为(1,1)，半径2r 的半圆；当0,0 xy时，2222xyxy，即22(1)(1)2xy，表示圆心为(1,1)，半径2r 的半圆.曲线22C:22xyxy的图像如下图所示：对于 A，易知曲线图像有 4 条对称轴，A 正确；对于 B，曲线图形由 4 个半圆组成，故其周长为2 24 2r，B 正确；对于 C，由图可知，曲线 C上的任意两点间的最大距离为44 2r，C 错误

16、；对于 D，圆心(1,1)到直线43180 xy的距离为1221154343 18d，第 9 页共 20 页,T a b到直线43180 xy的距离22243184331485dabab，若使2d最小，则有211125ddr，所以54318ab1125，得24131158ab，D 正确.故选：ABD.12已知数列 na满足11a 且11(1)nnaan，数列 nb满足nnnba t（*nN），下列说法正确的有（）A数列 nb为等比数列 B当2t 时，数列 nb的前n项和为11 22nn C当(0,1)t且1tt为整数时，数列 nb的最大项有两项 D当1(0,)2t时，数列 nb为递减数列【答

17、案】BCD【分析】A 选项，111nnaan变形为11nnaann，得到nan为常数列，故nan，nnbnt，根据定义求出 nb不是等比数列，A 错误；B 选项，错位相减法求和，B 正确；C 选项，作差法得到随着n的变大，nb先增后减，根据1tt为整数，得到1nnbb且最大，即数列 nb的最大项有两项，C 正确；D 选项，作差法结合1(0,)2t得到1101nnnnbbnttn，故 D 正确.【详解】111nnaan变形为11nnaann，又111a，故数列nan为常数为 1 的数列，故nan，所以nnbnt，因为1111nnnnntbntbntn，若0t，则 nb为常数为 0 的常数列，不是

18、等比数列，若0t，则11nnbntbn不是定值，不是等比数列，综上 A 错误；当2t 时，2nnbn，设数列 nb的前n项和为nT，232223 22nnTn，则2341222 23 22nnTn ，第 10 页共 20 页-得：234112222221 22nnnnTnn，B 正确；当(0,1)t时，11111nnnnnnbbntntnttn，因为(0,1)t，所以当1ntn，即1tnt时，10nnbb，即1nnbb 当1ntn，即1tnt时，10nnbb，即1nnbb，故随着n的变大，nb先增后减，因为1tt为整数，故1nnbb且最大，即数列 nb的最大项有两项，C 正确；当1(0,)2

19、t时，11111nnnnnnbbntntnttn，因为Nn，所以1111nnn 单调递增，故112nn，因为1(0,)2t，所以1101nnnnbbnttn，数列 nb为递减数列，D 正确；故选：BCD 三、填空题 13已知 na是等差数列，nb是等比数列，nS是数列 na的前n项和，1111S，3 73b b，则6325logab_.【答案】1【分析】根据等差数列的求和公式以及等差中项，求第六项，再根据等比数列的等比中项，解得第五项的平方，结合对数运算可得答案.【详解】因为 na是等差数列，且nS是数列 na的前n项和，所以1111161111112aaSa，解得61a，因为 nb是等比数列

20、，所以23 753b bb，则633251loglog13 ab.故答案为：1.14已知椭圆方程为2212xy，且椭圆内有一条以点11,2P为中点的弦AB，则弦AB所在的直线l的方程是_.第 11 页共 20 页【答案】2230 xy【分析】由点差法得AB斜率后求解直线方程，【详解】设1122(,),(,)A x yB xy，由题意得222212121,122xxyy，两式相减化简得1212121212yyyyxxxx，而P是AB中点，得12122,1xxyy，代入得12121yykxx，故直线AB方程为1(1)2yx，即2230 xy，点P在椭圆内，故直线与椭圆相交，故答案为：2230 x

21、y 15过双曲线22221(0,0)xyabab上的任意一点P，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点,M N，若214OM ONb，则双曲线离心率的取值范围是_.【答案】6(1,2【分析】设点00(,)P xy，分别联立两组直线方程，求出,M N的坐标，然后利用向量的数量积，推出离心率的范围即可.【详解】因为双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线方程为：0bxay，即byxa，设点00(,)P xy，可得：00()byyxxa，联立方程组00()byyxxabyxa，解得：0000(,)22bxaybxayMba，同理可得：0000(,)22bxaybxayNba，所以222222

22、2200002244b xa yb xa yOM ONba，因为2200221xyab，所以22222200b xa ya b，所以224abOM ON，由题意可得：22244abb，所以2212ba，故离心率22612cbeaa，又因为双曲线的离心率1e，所以双曲线离心率的取值范围为6(1,2，故答案为：6(1,2.16已知等腰RtABC内接于圆 O，点 M 是下半圆弧上的动点（不含端点，如图所示）.现将上半第 12 页共 20 页圆面沿 AB折起，使所成的二面角CABM为4.则直线 AC与直线 OM 所成角的正弦值最小值为_.【答案】12#0.5【分析】取下半圆弧的中点 D，连接 OC

23、，OD，以点 O 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.【详解】在折后的图形中，取下半圆弧的中点 D，连接 OC，OD，如图，依题意，,OAOD OAOC OCODO OC OD平面COD，于是得OA平面COD，且COD是二面角CABM的平面角，即4COD，在平面COD内过点 O 作OzOD，因此射线,OA OD Oz两两垂直，以点 O为原点，射线,OA OD Oz分别为,x y z非负半轴建立空间直角坐标系，令2OA，则(2,0,0),(0,2,2)AC，设点(,0),0M a bb，显然有224ab，于是得(2,2,2),(,0)ACOMa b，令直线 AC与直线 OM 所成的角

24、为，因此222|22|1cos|cos,|(2)4|2 2AC OMabAC OMabAC OMab 2222222211132222(2)3()4442ababababab，当且仅当2ab，即2 62 3,33ab 时取等号，显然直线 AC 与直线 OM为异面直线，即第 13 页共 20 页(0,2，而余弦函数cos在(0,2上单调递减，因此cos取最大值32时，角取最小值，min1(sin)2，所以直线 AC 与直线 OM所成角的正弦值最小值为12.故答案为：12【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起变量的函数，求出函数最值即可.四、解答

25、题 17在平行四边形 ABCD中，1,1A，1,2B，3,2C，点 E是线段 BC的中点(1)求直线 CD的方程；(2)求四边形 ABED 的面积【答案】(1)270 xy；(2)152.【分析】（1）求出ABk，由ABCD，由点斜式即可写出直线 CD的方程；（2）四边形 ABED为梯形，E是线段 BC 的中点，求出 E 坐标、直线 AD 的方程，即可求出 E到直线 AD的距离，再求出BC，即可求梯形面积.【详解】（1）由ABCD，1 211 12ABk，直线 CD 的方程为1232yx，即270 xy；（2）四边形 ABED为梯形，E是线段 BC 的中点，则1 3 22,20E，即2,0E，

26、直线 AD 的方程为22113 1yx ，即210 xy，则 E 到直线 AD 的距离为2 20 154 1，22223 12 5BC .故四边形 ABED 的面积为52 551522.18已知抛物线2:2(0)C xpy p的焦点为 F，点(2,1)P在抛物线 C 上.(1)求点 F的坐标和抛物线 C的准线方程；(2)过点 F的直线 l交抛物线 C 于 A、B两点，且线段 AB 的中点为(2,3)M，求直线 l的方程及|AB.第 14 页共 20 页【答案】(1)F的坐标为(0,1)，准线方程为1y (2)1yx，|8AB 【分析】（1）将已知点代入抛物线方程，解得参数p的值，即可得答案.

27、（2）由,F M求得直线l的方程，利用抛物线定义，结合弦长公式以及中点坐标公式，可得答案.【详解】（1）点(2,1)P在抛物线2:2C xpy上，42p，2p，F的坐标为(0,1)，抛物线 C的准线方程为1y .（2）由题可知，直线 l经过(0,1)F与(2,3)M，l的斜率3 1120k，直线 l的方程为1yx，设 A，B 的坐标分别为11(,)x y，22(,)xy，则由抛物线的定义可知12|2AByy，又 AB的中点为(2,3)M，123 26yy，|628.AB 19已知数列 na的首项为 0，且*11,Nnnaan，数列 nb的首项12b，且对任意正整数,m n恒有m nmnbbb.

28、(1)求 na和 nb的通项公式；(2)对任意的正整数 n，设1331,21,nnnnnnnabnaacanb为奇数为偶数，求数列 nc的前 2n 项和 S2n.【答案】(1)1nan，2nnb；(2)22212341219 29nnnnSn.【分析】（1）根据等差数列和等比数列的定义得到数列 na和 nb分别为等差等比数列，然后求通项即可；（2）根据题意得到当n为奇数时，1132222222nnnnncn nnn，当n为偶数时，2nnnc，然后分别用裂项相消和错位相减求和即可.【详解】（1）因为11nnaa，所以数列 na为等差数列，公差为 1，所以1nan，第 15 页共 20 页令1

29、m，所以12nnbb，数列 nb为等比数列，公比为 2，所以2nnb.（2）当n为奇数时，1132222222nnnnncn nnn；当n为偶数时，2nnnc；所以奇数项的前n项和为20422222222222213153212121nnnSnnn奇，偶数项的前n项和为242242222nnS偶，12得：462212424222nnS偶，-得：242223222242222nnnS偶 221112241214nnn 22268323nn，所以2183499 2nnS偶，22212341219 29nnnnSn.20如图，在四棱椎PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA 平面ABCD，点,M

30、 N分别为,BC PA的中点，且1,2ABACAD.(1)若1PA，求直线MN与平面PBC所成角的正弦值；(2)若直线AC与平面PBC所成角的正弦值的取值范围为30,3，求平面PBC与平面ABCD的夹角的余弦值的取值范围.【答案】(1)13(2)3,13 第 16 页共 20 页【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，从而求得平面PBC的法向量n与MN，由此可求得直线MN与平面PBC所成角的正弦值；（2）设PAh，从而分别求得平面PBC与平面ABCD的法向量m与0n及AC，从而由题意条件求得(0,1h，进而可求得平面PBC与平面ABCD的夹角的余弦值的取值范围.【详解】（1）因为1,2

31、ABACAD，则222ABACAD，即ABAC，又因为PA 平面ABCD，所以,PAAB PAAC，故建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则1 11(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),0,0,0,2 22PBCMN，故11 1(1,0,1),(1,1,0),22 2PBBCMN ，设平面PBC的一个法向量为111,nx y z，则00PB nBC n，即111100 xzxy，令11x，则111,1yz，故(1,1,1)n，设直线MN与平面PBC所成角为，则112sincos,3332MN n，所以直线MN与平面PBC所成角的正弦值为13.（2）设0PAh h，则0,0,1,0,

32、0,0,1,0PhBC，故(1,0,),(1,1,0)PBh BC，设平面PBC的一个法向量为222,mxyz，则00PB mBC m，即222200 xz hxy，令2xh，则22,1yh z，故(,1)mh h，易得平面ABCD的一个法向量为0(0,0,1)n，又(0,1,0)AC，第 17 页共 20 页设直线AC与平面PBC所成角为，则23sincos,0,321hAC mh，即230321hh，解得01h，设平面PBC与平面ABCD的夹角为，则021coscos,21n mh，因为01h，所以21213h，则21213h，故2311321h，即3cos13.所以平面PBC与平面A

33、BCD的夹角的余弦值的取值范围为3,13.21已知数列 na满足1=1a，*1121Nnnaann.(1)求数列 na的通项公式；(2)记数列 na的前n项中最大值为nM，最小值为nm，令2nnnMmb，称数列 nb是数列 na的“中程数数列”.若mkba（*,Nm k 且mk），求所有满足条件的实数对,m k.【答案】(1)112nnan；(2)2,1，4,3.【分析】（1）由已知递推关系可得1112nnaann，结合等比数列的定义写出通项公式；（2）由递推研究 na的单调性，进而求出最大值为nM，最小值为nm，即可得1122mmbm，结合 na的通项公式得1122mmba，再由mkba（*

34、,Nm k 且mk）求出k、m的取值，即可得结果.【详解】（1）依题意，*1121Nnnaann，即11111122nnnnaaann，故1112nnaann，所以数列nan是等比数列，首项为111a，公比为12的等比数列，故1112nnan，即112nnan；（2）因为11112nnaan，即11112nnnaa，第 18 页共 20 页故=1n时，11nnaa，即12aa；1n 时，11nnaa，即1nnaa，故1234aaaa，故11nMa，112nnnman，所以1111122222nnnnnnMmbn.因为1122mmbm，1102kkak，mkba，所以111111122222

35、2mmmkbmaa，即1122kmaa，又3411422a，2313324a，121aa，且1234aaaa，知4k 且*k N，即1,2,3k，由1122kmaa知，=1k时，11111222mmaaa，故1ma，即1,2m，而mk，故=2m符合题意；=2k时，21111222mmaaa，故1ma，即1,2m，而mk，故无解；=3k时，313112422mmaaa，故12ma，即=4m，又mk，故=4m符合题意；综上，所有满足条件的实数对,m k有2,1，4,3.22已知1(2,0)F，2(2,0)F，点P满足12|2PFPF，记点P的轨迹为E，(1)求轨迹E的方程；(2)若直线l过点2F且

36、法向量为,1na，直线与轨迹E交于P、Q两点过P、Q作y轴的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记PQAB，试确定的取值范围；在x轴上是否存在定点M，无论直线l绕点2F怎样转动，使0MP MQ恒成立？如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由【答案】(1)221(1)3yxx(2)21,33；存在，(1,0)M 【分析】（1）根据双曲线的定义直接得到答案.第 19 页共 20 页（2）根据直线与双曲线的位置关系得到,33,a ，计算211a，根据a的范围得到的取值范围；假设存在点(,0)M m满足条件，通过0MP MQ得到2223 1450mamm，计算得到答案.【详解】（1）由12122

37、PFPFFF，知，点P的轨迹是以1F，2F为焦点的双曲线的右支 22a，1a，2c，故24 13b ，轨迹方程为221(1)3yxx（2）直线l的方程为20a xy，2221?3ya xyx，得222234430axa xa，设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，由条件得24222122212230?164343040?3430?3aaaaaxxaax xa，解得23a，即,33,a 2121PQaxx，1212AByya xx 由条件,1na，故12xx，故22111PQaABaa，因为23a，因此21,33 设存在点(,0)M m满足条件，由222212121212124MP MQxmxmy yax xamxxma 22234503mama，得2223 1450mamm对任意23a 恒成立，所以2210450mmm，解得1m ，因此存在定点(1,0)M 满足条件【点睛】本题考查了双曲线的轨迹问题，根据直线和双曲线的位置求参数，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用韦达定理解题是常考的题型，需要熟练掌握.第 20 页共 20 页

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