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1、尺规作图尺规作图一、理解“尺规作图”的含义一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角.利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：过点、点作直线；或作
2、直线；或作射线；连结两点；或连结；延长到点；或延长（反向延长）到点，使；或延长交于点；2.用圆规作图的几何语言：在上截取；以点为圆心，的长为半径作圆（或弧）；以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；分别以点、点为圆心，以、的长为半径作弧，两弧相交于点、.三、了解尺规作图题的一般步骤三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大
3、致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义：尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五种基本作图：五种基本作图：1 1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。题目一：作一条线段等于已知线段。
4、已知：如图，线段 a.求作：线段 AB，使 AB=a.作法：（1）作射线 AP；（2）在射线 AP 上截取 AB=a.则线段 AB 就是所求作的图形。题目二：作已知线段的中点。题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段 MN.求作：点 O，使 MO=NO（即 O 是 MN 的中点）.作法：（）分别以 M、N 为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于 P，Q；（）连接 PQ 交 MN 于 O则点 O 就是所求作的的中点。（试问：PQ 与有何关系？）题目三：作已知角的角平分线。题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，AOB，求作：射线 OP,使AOPBOP（即 OP 平分AOB）。作法：（1）
5、以 O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交 OA，OB 于 M，N；（2）分别以 M、为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧交AOB 内于；（3）作射线 OP。则射线 OP 就是AOB 的角平分线。题目四：作一个角等于已知角。题目四：作一个角等于已知角。（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）题目五：已知三边作三角形。题目五：已知三边作三角形。已知：如图，线段 a，b，c.求作：ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a.作法：（1）作线段 AB=c；（2）以 A 为圆心 b 为半径作弧，以 B 为圆心 a 为半径作弧与前弧相交于 C；（3）连接 AC，BC。则ABC 就是所求作的三角
6、形。题目六：已知两边及夹角作三角形。题目六：已知两边及夹角作三角形。已知：如图，线段 m，n,.求作：ABC，使A=，AB=m，AC=n.作法：（1）作A=；（2）在 AB 上截取 AB=m,AC=n；（3）连接 BC。则ABC 就是所求作的三角形。题目七：已知两角及夹边作三角形。题目七：已知两角及夹边作三角形。已知：如图，线段 m.求作：ABC，使A=，B=,AB=m.作法：（1）作线段 AB=m；（2）在 AB 的同旁作A=，作B=，A 与B 的另一边相交于 C。则ABC 就是所求作的图形（三角形）。初中尺规作图典型例题归纳初中尺规作图典型例题归纳典型例题一典型例题一例例已知线段 a、b，
7、画一条线段，使其等于a2b分析分析所要画的线段等于a2b，实质上就是abb画法画法：1画线段AB a2在 AB 的延长线上截取BC 2b线段 AC 就是所画的线段说明说明1尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去2其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图典型例题二典型例题二例例如下图，已知线段 a 和 b，求作一条线段 AD 使它的长度等于 2ab错解错解如图（1），（1）作射线 AM；（2）在射线 AM 上截取 AB=BC=a，CD=b，则线段 AD 即为所求错解分析错解分析主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在
8、求线段差时，要交待截取的方向图（1）图（2）正解正解如图（2），（1）作射线 AM；（2）在射线 AM 上，顺次截取 AB=BC=a；（3）在线段 CA 上截取 CD=b，则线段 AD 就是所求作的线段典型例题三典型例题三例例求作一个角等于已知角MON（如图 1）图（1）图（2）错解错解如图（2），（1）作射线O1M1；（2）在图（1），以 O 为圆心作弧，交 OM 于点 A，交 ON 于点 B；（3）以O1为圆心作弧，交O1M1于 C；（4）以 C 为圆心作弧，交于点 D；（5）作射线O1D则CO1D即为所求的角错解分析错解分析作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某
9、点为圆心，以其长为半径作弧正解正解如图（2），（1）作射线O1M1；（2）在图（1）上，以 O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点 A，交 ON 于点 B；（3）以O1为圆心，OA 的长为半径作弧，交O1M1于点 C；（4）以 C 为圆心，以 AB 的长为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点 D 作射线O1D则CO1D就是所要求作的角典型例题四典型例题四例例如下图，已知及线段a，求作等腰三角形，使它的底角为，底边为a分析分析先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角B=C=，底边 BC=a，故可以先作B=，或先作底边 BC=a作法作法如下图（1）MBN=；（2）在射线 BM 上
10、截取 BC=a；（3）以 C 为顶点作PCB=，射线CP 交 BN 于点 AABC 就是所要求作的等腰三角形说明说明画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤典型例题五典型例题五例例如图（1），已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C，过点 C 作 CDAB（写出作法，画出图形）分析分析根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角ECD=EFB即可作法作法如图（2）图（1）图（2）（1）过点 C 作直线 EF，交 AB 于点 F；（2）以点 F 为圆心，以任意长为半径作弧，交FB 于点 P，交 EF 于点 Q；（3）以
11、点 C 为圆心，以 FP 为半径作弧，交 CE 于 M 点；（4）以点 M 为圆心，以 PQ 为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点 D 作直线 CD，CD 就是所求的直线说明说明作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由典型例题六典型例题六例例如下图，ABC 中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，B=36，C=44，请你从中选择适当的数据，画出与ABC 全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）分析分析本题实质上是利用原题中的 5 个数据，列出所有与ABC 全等的各种情况，依据是 SSS、SAS、AAS、ASA解解
12、与ABC 全等的三角形如下图所示典型例题七典型例题七例例正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化拟从点A 出发，将ABC 分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）（2003 年，桂林）分析分析这是尺规作图在生活中的具体应用要把ABC 分成面积相等的三个三角形，且都是从 A 点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出 BC 边的三等分点即可作法作法如下图，找三等分点的依据是平行线等分线段定理典型例题八典型例题八例例已知AOB，求作AOB 的平分线 OC错解错解如图（1）作法作法（1）以
13、 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB 于 D、E 两点；（2）分别以 D、E 为圆心，以大于1DE 的长为半径作弧，两弧相交于C 点；2（3）连结 OC，则 OC 就是AOB 的平分线错解分析错解分析对角平分线的概念理解不够准确而致误作法（3）中连结 OC，则 OC 是一条线段，而角平分线应是一条射线图（1）图（2）正解正解如图（2）（1）以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB 于 D、E 两点；（2）分别以 D、E 为圆心，以大于1DE 的长为半径作弧，两弧交于C 点；2（3）作射线 OC，则 OC 为AOB 的平分线典型例题九典型例题九例例如图（1）所示，已知线段
14、 a、b、h（hb）求作ABC，使 BC=a，AB=b，BC 边上的高 AD=h图（1）错解错解如图（2），（1）作线段 BC=a；（2）作线段 BA=b，使 AD BC 且 AD=h则ABC 就是所求作的三角形错解分析错解分析不能先作 BC；第 2 步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据；未考虑到本题有两种情况 对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先作高 AD，再作 AB，最后确定 BC 图（2）图（3）正解正解如图（3）（1）作直线 PQ，在直线 PQ 上任取一点 D，作 DM PQ；（2）在 DM上截取线段 DA=h；（3）以 A 为圆心，以 b 为半径画弧交射线
15、 DP 于 B；（4）以 B 为圆心，以 a 为半径画弧，分别交射线BP 和射线 BQ 于C1和C2；（5）连结AC1、AC2，则ABC1（或ABC2）都是所求作的三角形典型例题十典型例题十例例如下图，已知线段 a，b，求作 RtABC，使ACB=90，BC=a，AC=b（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）分析分析本题解答的关键在于作出ACB=90，然后确定 A、B 两点的位置，作出ABC 作法作法如下图（1）作直线 MN：（2）在 MN 上任取一点 C，过点 C 作 CEMN；（3）在 CE 上截取 CA=b，在 CM 上截取 CB=a；（4）连结 AB，ABC 就是所求作的直角三角形说明说明
16、利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序 若把握不好作图顺序，要先画出假设图形典型例题十一典型例题十一例例如下图，已知钝角ABC，B 是钝角求作：（1）BC 边上的高；（2）BC 边上的中线（写出作法，画出图形）分析分析（1）作 BC 边上的高，就是过已知点A 作 BC 边所在直线的垂线；（2）作 BC 边上的中线，要先确定出BC 边的中点，即作出BC 边的垂直平分线作法作法如下图（1）在直线 CB 外取一点 P，使 A、P 在直线 CB 的两旁；以点 A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线 CB 于 G、H 两点；分别以 G、H 为圆心，以大于1GH 的长为半径画弧，两弧
17、交于E 点；21BC 的长为半径画弧，两弧分别交于 M、N 两点；2作射线 AE，交直线CB 于 D 点，则线段AD 就是所要求作的ABC 中 BC 边上的高（2）分别以 B、C 为圆心，以大于作直线 MN，交 BC 于点 F；连结 AF，则线段 AF 就是所要求作的ABC 中边 BC 上的中线说明说明在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点典型例题十二典型例题十二例例如图（1）所示，在图中作出点C，使得 C 是MON 平分线上的点，且 AC=OC图（1）图（2）
18、分析分析由题意知，点C 不仅要在MON 的平分线上，且点C 到 O、A 两点的距离要相等，所以点 C 应是MON 的平分线与线段 OA 的垂直平分线的交点作法作法如图（2）所示（1）作MON 的平分线 OP；（2）作线段 OA 的垂直平分线 EF，交 OP 于点 C，则点 C 就是所要求作的点说明说明（1）根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等（2）两条直线交于一点典型例题十三典型例题十三例例如下图，已知线段 a、b、求作梯形 ABCD，使 AD=a，BC=b，ADBC，B=；C=分析分析假定梯形已经作出，作AEDC 交 BC 于 E，则 AE 将梯形分割为两部分
19、，一部分是ABE，另一部分是AECD在ABE 中，已知B=，AEB=，BE=b-a，所以，可以首先把它作出来，而后作出AECD作法作法如下图（1）作线段 BC=b；（2）在 BC 上截取 BE=b-a；（3）分别以B、E 为顶点，在BE 同侧作EBA=，AEB=，BA、EA 交于 A；（4）以 EA、EC 为邻边作AECD四边形 ABCD 就是所求作的梯形说明说明基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂图形的基础因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此为基础，再作出所求作的图形典型例题十四典型例题十四例例如下图，在一次军事演习中，红方侦察
20、员发现蓝方指挥部在 A 区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处 B 点 700 米，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置（2002 年，青岛）分析分析依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在 A 区内两条路所夹角的平分线上，然后由蓝方指挥部距B 点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为3.5cm，就可以确定出蓝方指挥部的位置解解如下图，图中 C 点就是蓝方指挥部的位置典型例题十五典型例题十五例例如图（1），已知有公共端点的线段AB、BC求作O，使它经过点 A、B、C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2002 年，大连）图（1）图（2）分析分析因
21、为 A、B、C 三点在O 上，所以OA=OB=OC=R根据到线段AB、BC 各端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段AB、BC 垂直平分线即可解解如图（2）说明说明角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的又一道风景，它往往与实际问题紧密联系在一起典型例题十六典型例题十六例例如图，是一块直角三角形余料，C 90工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使 C 为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC 边上试协助工人师傅用尺规画出裁割线分析分析要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角为 90的四边形，并设法让相邻的一组边相等即可作法作法如图 作ACB
22、的角平分线 CD，交 AB 于点 G；过 G 点分别作 AC、BC 的垂线，垂足为E、F则四边形ECFG 就是所要求作的正方形基础训练基础训练1、已知线段 AB 和 CD，如下图，求作一线段，使它的长度等于AB2CD.2、如图，已知A、B，求作一个角，使它等于A-B.3、如图作ABC，使得 BC=a、AC=b、AB=cabc4、如图，画一个等腰ABC，使得底边 BC=a，它的高 AD=hah5、如图，已知AOB 及 M、N 两点，求作：点 P，使点 P 到AOB 的两边距离相等，且到M、N 的两点也距离相等。AMNBO6.己知三角形的两条边及其夹角，求作三角形已知一个三角形的两条边分别为a，b
23、，这两条边夹角为a，求作这个三角形7.已知三角形的两角及其夹边，求作三角形巳知一个三角形的两角分别为a 夹边为 a求作这个三角形。8、己知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形已知三角形的两角分别为a，a 的对边为a,求作这个三角形9.己知一直角边和斜边求作三角形己知一个直角三角形的一条直角边为a，斜边长为 c，求作这个三角形。10尺规作图：请你作出一个以线段a和线段b为对角线的菱形ABCD.(要求：写出已知，求作，结论，并用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明)已知：求作：ab结论：垂直平分线的训练1.某旅游景区内有一块三角形绿地 ABC，如图所示，现要在道路 AB 上建一个休息点
24、 M，使他到 A，C 两个点的距离相等.在图中确定休息点 M 的位置；角平分线作图训练2.如图，AB.AC 表示两条相交的公路，现要在BAC 的内部建一个物流中心设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A 点的距离为 1000 米（1）若要以 1：50000 的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A 点的图上距离；（2）在图中画出物流中心的位置P1cm解：（1）（2）BCA结论：3.为美化环境，在一块三角形草坪上建一个喷水池，使得它到草坪的三边AB、BC、AC 的距离相等若三角形草坪如图所示，请你在图中确定这个喷水池（用点P 表示）的位置；BAC作圆训练4 青岛国际帆船中心要
25、修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A.B.C 的距离相等（1）若三所运动员公寓 A.B.C 的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P 表示）的位置；A（2）若BAC66，则BPC.CB5为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（ABC）空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛解：A结论：CB6.为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形（ABC）空地上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求：圆心在边BC 上，该半圆面积最大.请你帮忙设计这一花坛.CBA等腰三角形、菱形作图训练7.如图，画一个等腰ABC，使得底边 BC=a，它的高 AD=hah8.如图，线段 a
26、和线段 b 分别是菱形 ABCD 的一条边和一条对角线，（1）请用尺规作出这个菱形（2）若 a=3，b=33，试求该菱形的面积.ab巩固练习巩固练习1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽 AB16cm，水面最深地方的高度为 4cm，求这个圆形截面的半径2.如图花坛ABC 为一等边三角形，现要将其扩建为一圆形花坛覆盖在ABC 上，且使 A、B、C 依然在花坛的边缘上（1）请你帮忙画出设计方案.（2）若等边三角形的边长为6 米，则花坛的面积增加了多少？CBA3如图，有一块三角形材料（ABC），请你画出一个圆，使其与ABC 的各边都相切.解：ABC结论：4.某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把植物园A.动物园 B 和人工湖 C 包括在内，又要使这个圆形的面积最小，请你作出这个圆，圆心用P 表示.（A、B、C 不在同一直线上）