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1、第一学期期末考试试卷第一学期期末考试试卷一、填空题一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置。答错或未答,该题不得分。每小题 3 分，共 15 分。）11.limxsin_0_。x0 x(n 1)x2。设f(x)lim2，则f(x)的间断点是_x=0_.nnx 1df1(x)13。已知f(1)2，f(1),则dx4x2 _.4.(xx)_.5。函数f(x)4x3 x4的极大值点为_。二、单项选择题二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置。答案选错或未选者，该题不得分.每小题 3 分，共 15 分。）1。设f(x)的定义域为(1,2)，则f(lgx
2、)的定义域为_。A.(0,lg2)B.0,lg2 C。(10,100)D.(1,2)。2。设对任意的x，总有(x)f(x)g(x)，使limg(x)(x)0，则xalim f(x)_.xA。存在且一定等于零B。存在但不一定等于零C.不一定存在 D.一定存在.3.极限limex1 2xx0 x_。A.e2 B。e2 C。e D.不存在.f(3x)f(2x)_。x0tan xA。0 B。1 C.2 D.5。2x5。曲线y 渐近线的条数为_。21 xA0 B1 C2 D3.三、三、（请写出主要计算步骤及结果，8 分。)4。设f(0)0，f(0)1，则limexsin x1求lim.x0sin x2四
3、、四、（请写出主要计算步骤及结果，8 分。)第 1 页 共 5 页1x)x.求lim(cosx02五、五、（请写出主要计算步骤及结果，8 分。）x(secx)x2x 0确定常数a,b,使函数f(x)处处可导.x 0axb六、六、(请写出主要计算步骤及结果，8 分.）1设f(x)xarctanxln(1 x2)，求dy。dy=arctanxdx2七、七、（请写出主要计算步骤及结果，8 分。）已知x22xy y3 6确定y是x的函数,求y。八、八、（请写出主要计算步骤及结果，8 分.）35323列表求曲线y x x31的凹向区间及拐点.52九、证明题九、证明题（请写出推理步骤及结果，共 6+6=1
4、2 分。）1.设f(x)在a,b上连续，且f(a)a,f(b)b,证明在开区间(a,b)内至少存在一点，使f().2。设函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(1)0，求证：至少存在一点(0,1)，使得3f()f()0.第一学期期末考试参考答案与评分标准一、填空题（一、填空题（3 35=155=15）1、0 2、x 0 3、44、xxxa1alnx1 5、x 3二、单项选择题二、单项选择题(3(35=155=15）1、C 2、C 3、A 4、B 5、Da三、三、（8 81=81=8)第 2 页 共 5 页exsin x1exsin x1lim limx0 x0sin x2x2ex
5、cosx lim6分x02xexsin x1 lim8分x0222分四、四、（8 81=81=8）1x0 xlim(cosx)e1sinxcosx12lncosxxx0lim2分 e ex0lim126分8分五、五、(8(81=81=8）因为fx在,处处可导，所以fx在x 0处连续可导。1 分因为x2lim x(secx)0 x02分3分limaxb bx0fx b4分所以b 0又因为5分ax b 0f0 lim ax 0 xx(sec x)x 2 0f0 lim 1x 0 x所以a 18 分六、六、（8 81=81=8)f x arctanx x arcsinxdy arcsinxdx112
6、x1 x22 1 x26分8分5分七、七、(8(81=81=8）第 3 页 共 5 页2x2y2xy3y2y 02x2yy 7分2x3y24分2x2y(22y)(2x3y2)(2x2y)(26yy)y ()22x3y(2x3y2)28分八、八、（8 81=81=8）（1）定义域为,；(2）2313y x x1分3分42112x1y x3x34333x3令y 0得x1（3）列表:x1，又x2 0为y不存在的点24分1,212yy8分下凹09132101,020不存在0,上凹1下凹Q 625时利润最大，最大利润为L625 12508 分九、证明题九、证明题(6(62=122=12）1。设F(x)f(x)x,则有F(x)在a,b上连续，2 分F(a)f(a)a 0,F(b)f(b)b 0,4分根据零值定理可得在开区间(a,b)内至少存在一点，使F()0，即f()6 分122。设F(x)x f(x),则F(x)x3f(x)3x f(x).2 分33第 4 页 共 5 页显然F(x)在0,1内连续，在(0,1)内可导,且F(0)F(1)0。4 分由罗尔定理知：至少存在一点(0,1)使12F()3f()3f()03即f()3f()06 分第 5 页 共 5 页