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国际数学奥林匹克国际数学奥林匹克 IMOIMO 竞赛试题第竞赛试题第 2 2 届届1.1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N 能被 11 整除且 N/11 等于 N 的各位数字的平方和2.2.寻找使下式成立的实数 x：3.3.直角三角形 ABC 的斜边 BC 的长为 a;将它分成 n 等份 n 为奇数;令 为从 A 点向中间的那一小段线段所张的锐角;从 A 到 BC 边的高长为 h;求证：tan =4nh/an2-a.4.4.已知从 A、B 引出的高线长度以及从 A 引出的中线长;求作三角形 ABC5.5.正方体 ABCDABCD上底面 ABCD;下底面 ABCD X 是对角线 AC 上任意一点;Y是 BD上任意一点a.求 XY 中点的轨迹；b.求 a 中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ 的点 Z 的轨迹6.6.一个圆锥内有一内接球;又有一圆柱体外切于此圆球;其底面落在圆锥的底面上令V1为圆锥的体积;V2为圆柱的体积a 求证：V1不等于 V2；b 求 V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般7.7.等腰梯形 ABCD;AB 平行于 DC;BC=AD令 AB=a;CD=c;梯形的高为 hX 点在对称轴上并使得 角 BXC、AXD 都是直角试作出所有这样的 X 点并计算 X 到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X 点确实存在