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1、高考数学专题复习二项式定理练习题11.1.在二项式x 4的展开式中，前三项的系数成等差数列，求2 xn展开式中所有有理项分析：分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决解：解：二项式的展开式的通项公式为：2n3r1r14 Cnrx422 xrTr1 C(x)rnnr前三项的r 0,1,2.得系数为：t11,t2 C1n,t3 C2n(n1)，nn由已知：2t2 t1t3n 1n(n 1)，n8通项公式为3r116Tr1 Crx4r 0,1,28,Tr1为有理项，故163r是 4 的倍数，2r81212141818r 0,4,8.4依次得到有理项为T1 x4
2、,T5 C813512812x x,T Cxx9882482256说明：说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项类似地，(2 33)100的展开式中有多少项是有理项可以通过抓通项中r的取值，得到共有系数和为3n2.（1）求(1 x)3(1 x)10展开式中x5的系数；（2）求(x2)6展开式中的常数项分析：分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式解：解：（1）(1 x)3(1 x)10展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用(1 x)3展开式中的常
3、数项乘以(1 x)10展开式中的x5项，可以得到5C10 x5；用(1 x)3展开式中的一次项乘以(1 x)10展开式中的x4项可得到4445(3x)(C10 x)3C10 x；用(1 x)3中的x2乘以(1 x)10展开式中的x3可得到33353x2C10 x 3C10 x；用(1 x)3中的x3项乘以(1 x)10展开式中的x2项可得2225x C10 x，合并同类项得x5项为：到3x3C101x5432(C10C103C10C10)x5 63x511 x（2）x 2 xx11(x 2)5 x xx1221 r12r 1 r6rT C(2)C x，可由展开式的通项公式x r11212xx6
4、 924得展开式的常数项为C1212r说明：说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决 这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决3.求(1 x x2)6展开式中x5的系数分析：分析：(1 x x2)6不是二项式，我们可以通过1 x x2(1 x)x2或1(x x2)把它看成二项式展开解：解：方法一：(1 x x2)6(1 x)x26526(1 x)6(1 x)x 15(1 x)x 44535155其中含x5的项为C56x 6C5x 15C4x 6x含x5项的系数为 6方法二：(1 x x2)61(x x2)616(x x2)15(x x2)220(x x2)315(x
5、 x2)46(x x2)5(x x2)6其中含x5的项为20(3)x515(4)x56x5 6x5x5项的系数为 6方法 3：本题还可通过把(1 x x2)6看成 6 个1 x x2相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，x5项可由下列几种可能得到55个因式中取x，一个取 1 得到C56x1323 个因式中取x，一个取 x2，两个取 1 得到C36C3x(x)222C x(x)1 个因式中取x，两个取 x2，三个取 1 得到C1653112555合并同类项为(C56C6C3C6C5)x 6x，x项的系数为 6nn14.求证：（1）C1n 2C2；n nCn n2（2）C0C1C2nnn12
6、1311Cn(2n11)nn1n1分析：分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值 解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的12nn等数固定下来，从而使用二项式系数性质C0n Cn Cn Cn 2解：解：（1）kCkn k n!n!(n1)!1 n nCkn1k!(nk)!(k 1)!(nk)!(k 1)!(nk)!1n1左边 nC0n1 nCn1 nCn11n1n1右边 n(C0n1Cn1Cn1)n2（2）11n!n!Cknk 1k 1 k!(nk)!(k 1)!(nk)!1(n1)!11Ckn1n1(
7、k 1)!(nk)!n1左边11111Cn1C2Cnn1n1n1n1n1112n1(C1CC)(2n11)右边n1n1n1n1n1说明：说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细89782观察，我们可以看下面的例子：求29C1010 2 C10 2 C10 2C1010的结果仔细观察可以发现该组合数的式与(12)10的展开式接近，但要注意：022991010(1 2)10 C10 C1102 C102 C102 C102229910101 210 2 C10 2
8、C10 2 C102899101 2(10 2C10 2 C10 2 C10)2910从而可以得到：102C1028C1029C10(31)10125.5.利用二项式定理证明：32n28n9是 64 的倍数分析：分析：64 是 8 的平方，问题相当于证明32n28n9是82的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形32n2 9n1(81)n1，将其展开后各项含有8k，与82的倍数联系起来解：解：32n28n9 9n18n9 (81)n18n9nn12n 8n1 C1n18 Cn18 Cn1818n 9nn12 8n1C1n18 Cn18 8(n1)18n9nn12 8n1C1n18 Cn18n2
9、1(8n1C1Cnn18n1)64是 64 的倍数说明：说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数8.8.若将(x y z)10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）A11B33C55D66分析：分析：(x y z)10看作二项式(x y)z10展开解：解：我们把x y z看成(x y)z，按二项式展开，共有11“项”，即10k(x y z)(x y)zC10(x y)10kzk1010k0这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式(x y)10k展开，k(x y)10kzk（k 0,1,10）展开后，都不会出现
10、同不同的乘积C10类项k(x y)10kzk（k 0,1,10）下面，再分别考虑每一个乘积C10其中每一个乘积展开后的项数由(x y)10k决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项故原式展开后的总项数为111091 66，应选 D19.9.若x2的展开式的常数项为20，求nx1分分 析析：题 中x 0，当x 0时，把 三 项 式x2转 化 为xnn11 x2 x xxnn2n；2n当x 0时，同理11n然后写出通项，令含x的幂指数为零，x2 (1)x x x进而解出n11 解：解：当x 0时，其通项为x2 x xx1rr2n2r)(1)rC2，n(x)xn2nr2nrTr1 C2
11、(n(x)令2n2r 0，得n r，展开式的常数项为(1)nC2nn；11n当x 0时，x2 (1)x x xn2n同理可得，展开式的常数项为(1)nC2nn无论哪一种情况，常数项均为(1)nC2nn令(1)nC2nn 20，以n 1,2,3,，逐个代入，得n 31 10.10.x 3的展开式的第 3 项小于第 4 项，则x的取值范围是x10_分析：分析：首先运用通项公式写出展开式的第 3 项和第 4 项，再根据题设列出不等式即可1 解：解：使x 3有意义，必须x 0；x 1 1 3依题意，有T3T4，即C(x)3 C10(x)73xx2108231010910981x（x 0）213213x
12、解得0 x 856489x的取值范围是x 0 x 856489856489应填：0 x 11.11.已知(xlog x1)n的展开式中有连续三项的系数之比为1 2 3，这2三项是第几项若展开式的倒数第二项为112，求x的值解：解：设连续三项是第k、k 1、k 2项（kN且k 1），则有k1kk1CnCnCn1 23，即n!n!n!1 23(k 1)(nk 1)!k!(nk)!(k 1)(nk 1)!1111 23(nk)(nk 1)k(nk)k(k 1)k(nk)1k1(nk)(nk 1)22nk 1k(k 1)2(k 1)233k(nk)(nk)n 14，k 5所求连续三项为第5、6、7三项
13、13log xx112即xlog x8又由已知，C1422两边取以2为底的对数，(log2x)2 3，log2x 3，x 23，或x 2 3说明：说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解12.12.(1 2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项分析：分析：根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性；确定二项式系数最大的项解：解：T6 Cn5(2x)5，T7 Cn6(2x)6，依题意有5566Cn2 Cn2 n 8(1 2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5 C84(2x)
14、41120 x4设第r 1项系数最大，则有rrr1r1C82 C82 5 r 6rrr1r1C82 C82r 5或r 6（r0,1,2,8）系娄最大的项为：T61792x5，T71792x6说明：说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得13.13.设f(x)(1 x)m(1 x)n(m,nN)，若其展开式中关于x的一次项的系数和为11，问m,n为何值时，含x2项的系数取最小值并求这个最
15、小值分析：分析：根据已知条件得到x2的系数关于n的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题11Cn n m 11解：解：Cm12m2n2112C C(m mn n)222m2n1102mn1199 n211n55 (n)2224nN，n 5或6，m 6或5时，x2项系数最小，最小值为259911的对称轴方程为x，即x 5.5，421199由于5、6距5.5等距离，且对nN，5、6距5.5最近，所以(n)224说明：说明：二次函数y (x)2112的最小值在n 5或n 6处取得14.14.若(3x1)7 a7x7 a6x6 a1x a0，求(1)a1a2 a7；(2)a1 a3a5a7；(
16、3)a0a2a4a6解：解：(1)令x 0，则a0 1，令x 1，则a7 a6 a1 a0 27128a1a2a7129(2)令x 1，则a7 a6a5 a4a3 a2a1 a0(4)717得：a1a3a5a7128（4）825622由(3)由得：2a0a2a4a61（a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0）2（a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0）1128(4)7 81282说明：（1）本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法这是一种重要的方法，它适用于恒等式(2)一般地，对于多项式g(x)(px q)n a0 a1x a2x2 anxn，g(x)的各项的系数和为g(1)：
17、1g(x)的奇数项的系数和为g(1)g(1)21g(x)的偶数项的系数和为g(1)g(1)21818.在(x23x2)5的展开式中x的系数为（）A160B240C360D800分析：分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用应想办法将三项式转化为二项式求解解法解法 1 1：由(x23x2)5(x23x)25，得Tk1 C5k(x2 3x)5k2k C5k2k(x2 3x)5k再一次使用通项公式得，Tr1 C5k2kC5rk3rx102kr，这里0 k 5，0 r 5k令102k r 1，即2k r 9所以r 1，k 4，由此得到x的系数为C54243 240解法解法 2 2：由(x23x2)5(
18、x1)5(x2)5，知(x1)5的展开式中x的系数为C54，常数项为1，(x2)5的展开式中x的系数为C5424，常数项为25因此原式中x的系数为C5425C5424 240解法解法 3 3：将(x23x2)5看作5个三项式相乘，展开式中x的系数就是从其中一个三项式中取3x的系数3，143C424 240从另外4个三项式中取常数项相乘所得的积，即C5应选 Bax9319.19.已知的展开式中的系数为，常数a的值为xx249_分析：分析：利用二项式的通项公式ax的展开式中，解：解：在x2 a C xr99r9通项公式为Tr132xC9r(1)ra9r2rr91 x22r23根据题设，r 9 3，
19、所以r 8代入通项公式，得T9根据题意，99a，所以a 416493ax16应填：420.20.若nN，求证明：32n324n37能被64整除分析：分析：考虑先将32n3拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开解：解：32n324n37 332n224n37 39n124n37 3(81)n124n370n11n2n1nn1 3CnCnCn1818 Cn1818Cn124n371n2n1 38n1Cn(n1)8124n3718 Cn181n2n1n12 38n1CnCn18 Cn1818(8n9)24n371n22n3n1 3828n1CnCnCn181813(8n9)24n371n22n
20、3 3648n1CnCn64，18181n28n1，Cn，Cn218n3，均为自然数，18上式各项均为64的整数倍原式能被64整除说明：说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷21.21.已知(x 3x2)n的展开式各项系数和比它的二项式系数和大99223(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项分析：分析：先由条件列方程求出n(1)需考虑二项式系数的性质；(2)需列不等式确定r解：解：令x 1得展开式的各项系数之和为(13)n 22n，而展开式的二项式系数的和为01
21、2nCnCnCnCn 2n，有22n2n 992n 5(1)n 5，故展开式共有6，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项T3 C(x)(3x2)2 90 x6，253T4 C5(x)(3x2)3 270 x232223233(2)设展开式中第r 1项的系数最大r5235r2rr5r104r3Tr1 C(x)(3x)C 3 x，rrr1r1C53 C53故有rrr1r1C53 C5313,即r6r13.5rr 1解得 r rN，r 4，即展开式中第5项的系数最大45231242637292T5 C(x)(3x)405x说明：展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几个r，这时还必须算出相应项的系数后再比较大小22.求二项式(a2b)4 的展开式.解：根据二项式定理得(a2b)4=C04a4+C14a3(2b)+C24a2(2b)2+C34a(2b)3+C44(2b)4=a48a3b+24a2b232ab3+16b4.