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1、1.填空1）设X B(n,p),则EX np，DX 注：实际上10.999500050.9994999 0.959643.设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为 7 的泊松分布，问在月初进货时应至少npq。2）设X P(),则EX，DX。3）设X E(),则EX 进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为。11，DX。24）设X Ua,b,则EX ab2，DX ba212。5)设X N(,2),则EX，DX 2。6）设(X,Y)N(1,1;2,9;0.5),则EX 1，DX 1，EY 2，DY 9，Cov(X,Y)=。7）已知螺钉的重量服从N50,2.52，则 100个螺钉总重量服从分布
2、N5000,625。2.已知在一定工序下，生产某种产品的次品率。今在同一工序下，独立生产 5000 件这种产品，求至少有 2 件次品的概率。解解：设X表示 5000 件产品中的次品数，则X B5000,0.001。50000.0015，则PX 21PX 0PX 010.999500050000.0010.999499950110!e5551!e10.006740.03369 0.95957解解：设进货数件数为N，当月销售需求为X，则由题意知X P7，且NPX N7ke7 0.999k0k!查泊松分布的数值表，可得N 16.4.地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候
3、车时间的数学期望与方差。解解：设旅客在地铁进站之前的X时刻到达，即旅客候车时间也为X；其数学期望和 分别为X U0,5，EX 52；DX 2512。5.设X N10,2,P10 X 20 0.3求：(1)P(X 10)；解：解：P(X 10)1010 0 0.5；(2)P(0 X 10)；由P10 X 20 20101010 100.5=得10 0.8所以P(0 X 10)010 0.5110 0.3 (3)P(X 0)。P(X 0)=10110 0.2注：直接由f(x)关于 x=10 对称，也可求得相关结果。6.设随机变量X N(1,32)，Y N(0,42)，Z 3X Y 1（1）若X与Y
4、相互独立，试求EZ,DZ与XZ；解解：EX 1,E(Y)0,D(X)9,D(Y)16,X与Y相互独立E(Z)311 2D(Z)9D(X)D(Y)97Cov(X,Y)Cov(X,3X Y 1)3D(X)Cov(X,Y)279X,Z97（2）若XY=，求Cov(X,Y)，EZ,DZ。解解：Cov(X,Y)340.2 2.4 (2)E(Z)311 2D(Z)9D(X)D(Y)2Cov(3X,Y)9D(X)D(Y)6Cov(X,Y)82.67 若X N(,2)，求证：X N(0,1)。证明证明：由EX,DX 2得EX EX 0DX DX21由于正态分布的线性函数仍服从正态分布，所以X N(0,1)。证
5、法证法 2 2：由X N(,2)得X的概率密度函数为fXx1x2222e，再由y x得x hyy，从而有Y X 的概率密度函数为fYy hyfXy1y22222e1y2e2即Y N0,1。8.某 种 电 池 的 寿 命X服 从 正 态 分 布N(a,2)，其中a 300（小时）,35求：(1)电池寿命在 250 小时以上的概率；x至少为多少才能使寿命X在a x与a x之间的概率不小于。解解：（1）P(X 250)1 2503003510101 0.923477 x x(2)P(a x X a x)353510 y 10其它即Y 1e2X在区间0,1上服从均匀分布。2x 351 0.9,则x 3
6、5 0.95 1.645解得x9.假设随机变量X服从参数为 2 的指数分布，证明：Y 1e2X在区间0,1上服从均匀分布。证明证明：X的概率密度函数为x2e2xfx 0X0 x 0y 1e2x是严格单调可微函数，并且当x0,时y0,1；又由y 1e2x得x 12ln1 y hy，所以，随机变量Y 1e2X的概率密度函数为ffXhyhy0 y1Yy0其它 1fX2ln1y121y0 y10其它ln1y12e21y0 y10其它10.设 二 维 随 机 变 量(X,Y)在 区 域0 x 1,0 y 3内服从均匀分布，求：（1）联合密度函数f(x,y)；解：区域0 x 1,0 y 3的面积为 3，所
7、以(X,Y)的联合概率密度函数为1fx,y0 x 1,0 y 330其他（2）P(X Y)；解解：P(X Y)=1310dxx3dy 56(3)记U 0X Y，0X 2Y1X YV 1X 2Y求(U,V)的联合分布律及U V的分布律。解解：P(U 0,V 0)P(X Y)56P(U 0,V 1)P(X Y,X 2Y)0P(U 1,V 0)P(Y X 2Y)=10dxx1xdy 12312P(U 1,V 1)P(X 2Y)112V01U05/601U+Vp1/121/120 1 25/6 1/121/1211卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X(单位：Kg)服从N(60,4)，问最多装多少袋水泥使总重量超过 2000Kg 的概率不大于。设最多装n袋水泥解：令Xi表 示 第i袋 水 泥 的 重 量，则Xi N(60,4)，且相互独立i 1,2,L,nY Xi:N(60n,4n)i1nPY 20001 PY 2000 200060n1 0.052 n 200060n 0.95 1.6452 n200060n1.65 n 33.01822 n所以最多装 33 袋水泥。