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1、一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,例例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共26页据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:机动 目录 上
2、页 下页 返回 结束 第2页/共26页求电容器两极板间电压 例例2.联组成的电路,其中R,L,C 为常数,所满足的微分方程.提示提示:设电路中电流为 i(t),上的电量为 q(t),自感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻 R,自感L,电容 C 和电源 E 串极板机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0第3页/共26页串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得机动 目录 上页 下页 返回 结束 化为关于的方程:故有 第4页/共26页n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式的一般形式为为方程的共性 为二阶线性微分方程.例例1例例2
3、可归结为同一形式:时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共26页证毕二、线性齐次方程解的结二、线性齐次方程解的结构构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边,得(叠加原理)定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共26页说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共26页定义定义:是定义在区间 I
4、上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为 0,可见在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共26页两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要充要条件条件:线性相关存在不全为 0 的使(无妨设线性无关常数思考思考:中有一个恒为 0,则必线性相关相关(证明略)线性无关机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9
5、页/共26页定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)推论推论.是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解,则方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共26页三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解.证证:将代入方程左端,得复习 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共26页是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是
6、通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共26页定理定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共26页定理定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共26页常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例例3.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89 考研考研)机
7、动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共26页例例4.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共26页*四、常数变易四、常数变易法法复习:常数变易法:对应齐次方程的通解:设非齐次方程的解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 情形情形1.已知对应齐次方程通解:设的解为 由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共26页令于是将以上结果代入方程:得故,的系数行列式是对应齐次方程的解P10 目录 上页 下页 返回
8、 结束 第18页/共26页积分得:代入 即得非齐次方程的通解:于是得 说明说明:将的解设为 只有一个必须满足的条件即方程,因此必需再附加一 个条件,方程的引入是为了简化计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共26页非齐次方程通解为其中：总结总结:第20页/共26页情形情形2.仅知的齐次方程的一个非零特解 代入 化简得设其通解为 积分得(一阶线性方程)由此得原方程的通解:代入 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共26页例例5.的通解为 的通解.解解:将所给方程化为:已知齐次方程求利用,建立方程组:积分得故所求通解为,目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共26页例例.已知已知 是齐次方程是齐次方程 的解的解,求非齐次方程求非齐次方程 的通解。的通解。第23页/共26页例例6.的通解.解解:对应齐次方程为由观察可知它有特解:令代入非齐次方程后化简得此题不需再作变换.特征根:设的特解为于是得的通解:故原方程通解为(二阶常系数非齐次方程二阶常系数非齐次方程)代入可得:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共26页作业作业 P 331 1,5,6,7,8 第八节 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共26页谢谢您的观看！第26页/共26页