学案不等式选讲.pptx-淘文阁

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1、不等式不等式选讲选讲(1)理解绝对值的几何意义理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|a|+|b|(a,bR).|a-b|a-c|+|c-b|(a,bR).(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式不等式:|ax+b|c;|ax+b|c;|x-c|+|x-b|a.(3)通过一些简单问题了解证明不等式的基本通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法方法:比较法、综合法、分析法比较法、综合法、分析法.第1页/共48页 1.以选择题的形式考查绝对值不等式,同时与不等式的性质相结合

2、.2.以考查绝对值不等式的解法为主,兼顾考查集合的交、并、补运算.3.与函数、数列等知识综合考查不等式的证明方法.第2页/共48页1.绝对值不等式的性质在求最值时有其独特的作用,特别要注意等号成立的条件.|a+b|=|a|+|b|;|a-b|=|a|+|b|.ab0 ab0 第3页/共48页 2.|ax+b|c ;|ax+b|c ;解|x-c|+|x-b|a采用方法 .3.证明不等式的常用方法 (1)比较法:分比较法和两种.一般对于多项式类和分式类的用作差比较法,对于含有幂指数类的用作商比较法.(2)综合法:利用已知条件和公式、定理等直接推导所要证明的不等式.其过程是“”.常用到以下不等:

3、a20,(ab)20,a2+b22ab(a,bR),(a,bR+).ax+b-c或ax+bc -cax+bc 零点划分法作差作商比较法由因导果第4页/共48页 (3)分析法:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题.这是一种“”的方法.(4)放缩法:依据不等式的传递性,具有一定的技巧性.常用的放缩法有:加项或减项、利用比例的性质、利用均值不等式、利用函数单调性，一定要把握好“”，使其恰到好处.(5)换元法:注意新元的取值范围,保证等价性.(6)含有“至多”“至少”“唯一”“不大于”“不小于”等词语的，考虑用反证法.执果索因度第5页

4、/共48页考点考点1|ax+b|c(c)1|ax+b|c(c)型不等式的解法型不等式的解法解不等式:(1)|2x-5|8;(2)|2-3x|7.【分析分析】利用绝对值的意义,将绝对符号去掉.第6页/共48页【解析解析】(1)由原不等式得 -82x-58.-x .原不等式的解集为x|-x .(2)由原不等式得 3x-27或3x-23或x3或x-.第7页/共48页含绝对值的不等式的解法，关键是利用绝对值的意义去掉绝对值.在变形过程中要特别注意保证同解,同时还要注意步骤的简捷与表达的明晰;区别“并”还是“交”的关键是“或”还是“且”，同时还要分清端点是否包括在内.第8页/共48页解不等式:3|

6、页/共48页考点考点2|x-a|+|x-b|c(c)2|x-a|+|x-b|c(c)型不等式的解法型不等式的解法解不等式:|x-1|+|x+2|5.【分析分析】这是一个含有两个绝对值符号的不等式,为了使其转化为不含绝对值符号的不等式,要对未知数x进行分类讨论,即用“零点划分法”将实数分成x-2,-2x1和x1三个部分进行讨论.【解析解析】解法一:用“零点划分法”将实数分类：令x-1=0得x=1;令x+2=0得x=-2.(1)当x-2时,原不等式化为:-x+1-x-2-3.-3x-2.第12页/共48页 (2)当-2x1时,原不等式化为:-x+1+x+25,即35恒成立.-2x1也是原不等式的解

7、集.(3)当x1时,原不等式化为:x-1+x+25,即x2.1x2.综合(1)(2)(3)可知:原不等式的解集为:x|-3x2.第13页/共48页解法二解法二:不等式|x-1|+|x+2|5表示数轴上与点A和点两点距离之和小于5的点的集合,而A,B间距离为3,因此,线段AB上每一点到A,B的距离之和等于3.如图12-3-1所示.要找到与A,B距离之和为5的点,只需由点B向左移1个单位(此时距离之和增加2个单位),即移到点B1,或由点A向右移1个单位,移到点A1.可以看出,数轴上点B1向右和点A1向左之间的点到A,B距离之和小于5.原不等式的解集为x|-3x2.第14页/共48页解法三解法三:

8、分别作函数y1=|x-1|+|x+2|-2x-1(x-2)3(-2x1)2x+1(x1)和y2=5的图象,如图所示,不难看出,要使y1y2,只需-3x2.原不等式的解集为x|-3xb时，ambm,anbn;当ab时，ambm,anbn,ambm.第22页/共48页求证:x2+53x.证明证明:(x2+5)-3x=x2-3x+5=x-+0,x2+53x.第23页/共48页考点考点4 4 不等式的证明不等式的证明综合法、分析法综合法、分析法若a,b,c均为正数，求证：.【分析分析】证明时可用分析法，也可用综合法.【证明证明】证法一:欲证只要证只要证只要证(a+b+c).第24页/共48页(a

9、+b+c)=(b+c)+(a+c)+(a+b)=,故原不等式成立.第25页/共48页证法二证法二：=(a+b+c)-3=(b+c)+(a+c)+(a+b)-3 -3=,.第26页/共48页 (1)本题证法一联合使用了综合法与分析法，实际上是以分析法为主，借助综合法，使证明的问题明朗化，此种方法称为分析综合法.分析综合法的实质是既充分利用已知条件，又时刻不忘解题目标，即不仅要搞清已知是什么，还要搞清干什么，瞻前顾后，便于找到解题途径.(2)本题证法二是综合法,运用分析法易于找到思路,但书写较繁,所以常常用分析法探索证明途径,用综合法书写证明过程.第27页/共48页已知a,b,c均为正数,证明:

10、a2+b2+c2+（）26 ,并确定a,b,c为何值时，等号成立.【证明】证法一:因为a,b,c均为正数,由均值不等式得a2+b2+c23(abc),3(abc),所以 9(abc).故a2+b2+c2+3(abc)+9(abc).第28页/共48页又3(abc)+9(abc)2 =6 ,所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,式和式等号成立.当且仅当3(abc)=9(abc)时,式等号成立.故当且仅当a=b=c=3 时,原不等式等号成立.第29页/共48页证法二:因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac.所以a2+b2+c2ab+bc+ac.

11、同理故所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,式和式等号成立，当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时，式等号成立.故当且仅当a=b=c=3 时，原不等式等号成立.第30页/共48页考点考点5 5 不等式的证明不等式的证明放缩法放缩法【证明证明】,2().令k=1,2,3,n，则有 2(-0),2(-1),2(-),2(-).以上各式相加得1+2 .证明：不等式1+c,求证:.证明证明:a+bc,a+b-c0.由真分数的性质，可得第33页/共48页考点考点6 6 不等式的证明不等式的证明反证法反证法已知函数f(x)=ax+(a1).(1)证明:函数f(x)在(-1,

12、+)上为增函数;(2)证明:方程f(x)=0没有负根.【分析分析】(1)利用单调性的定义;(2)用反证法.第34页/共48页【证明证明】(1)证法一:任取x1,x2(-1,+),不妨设x10,1且 0,-=(-1)0.又x1+10,x2+10,于是f(x2)-f(x1)=-+0.故函数f(x)在(-1,+)上为增函数.第35页/共48页证法二证法二:f(x)=ax+1-(a1).求导得f(x)=axlna+.a1,当x-1时,axlna0,0,f(x)0在(-1,+)上恒成立,f(x)在(-1,+)上为增函数.(2)设存在x00(x0-1)满足f(x0)=0,若-1x00,则f(x0)-1与f

13、(x0)=0矛盾.若x01,0,f(x0)1与f(x0)=0矛盾,故方程f(x)=0没有负根.第36页/共48页 (1)用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种情况：导出非p为真,即与原命题的条件矛盾;导出q为真,即与假设“非q为真”矛盾；导出一个恒假命题.(2)适宜用反证法证明的数学命题:结论本身是以否定形式出现的一类命题;关于唯一性、存在性的命题；结论以“至多”“至少”等形式出现的命题；结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题.第37页/共48页 (3)使用反证法证明问题时,准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提,常见的“结论词”与“反设词”列表如下：原结论词原结论词

14、原结论词原结论词反设词反设词反设词反设词原结论词原结论词原结论词原结论词反设词反设词反设词反设词至少有一个至少有一个至少有一个至少有一个一个也没有一个也没有对所有对所有x x成立成立存在某个存在某个x x不成立不成立至多有一个至多有一个至多有一个至多有一个至少有两个至少有两个对任意对任意x x不成立不成立存在某个存在某个x x成立成立至少有至少有至少有至少有n n n n个个个个至多有至多有n-1n-1个个p p或或 q qp p且且 q q至多有至多有至多有至多有n n n n个个个个至少有至少有n+1n+1个个p p且且 q qp p或或 q q第38页/共48页若a,b,c,x,y,z均

15、为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求证:a,b,c中至少有一个大于0.证明证明:假设a,b,c都不大于0,即a0,b0,c0.a+b+c0.而a+b+c=(x2-2y+)+(y2-2z+)+(z2-2x+)=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3，a+b+c0,这与a+b+c0矛盾.故a,b,c中至少有一个大于0.第39页/共48页第40页/共48页第41页/共48页第42页/共48页第43页/共48页1.1.搞清几种绝对值不等式的解法及证明搞清几种绝对值不等式的解法及证明.2.2.利用不等式求函数极值利用

16、不等式求函数极值.第44页/共48页 1.1.解含绝对值的不等式解含绝对值的不等式,要根据绝对值的意义要根据绝对值的意义,去掉绝对值符号去掉绝对值符号,转化为转化为不含绝对值符号的不等式不含绝对值符号的不等式(或不等式组或不等式组)求解求解.对含两个以上绝对值符号的不对含两个以上绝对值符号的不等式常用区间讨论法等式常用区间讨论法.2.2.在掌握不等式的证明方法时应注意以下几个问题在掌握不等式的证明方法时应注意以下几个问题:(1)(1)比较法证题通常是进行因式分解或进行配方比较法证题通常是进行因式分解或进行配方,利用非负数的性质来进利用非负数的性质来进行判断行判断.(2)(2)综合法和分析法证明

17、时应注意证明的思路和方向上的差别综合法和分析法证明时应注意证明的思路和方向上的差别,一个是一个是“执因索果执因索果”，而另一个则是，而另一个则是“执果求因执果求因”.第45页/共48页 (3)(3)放缩法的要求较高放缩法的要求较高,要想用好它要想用好它,必须有目标必须有目标,目标可以从要证的结论中目标可以从要证的结论中考查考查.(4)(4)对于不等式的证明还有诸如反证法、换元法、单调函数法、三角代对于不等式的证明还有诸如反证法、换元法、单调函数法、三角代换法等多种证明方法，我们应首先了解每一种证明方法的基本含义和适用范换法等多种证明方法，我们应首先了解每一种证明方法的基本含义和适用范围，不宜盲目追求证明的难度和一题多证，宜以达到围，不宜盲目追求证明的难度和一题多证，宜以达到“双基双基”要求为准要求为准.第46页/共48页第47页/共48页感谢您的观看。第48页/共48页

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