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1、第第1 1章章 投影法和点、直线、平面的投影投影法和点、直线、平面的投影 1.2 点的投影点的投影 1.3 直线的投影直线的投影 1.4 求线段实长及对投影面的倾角求线段实长及对投影面的倾角 1.5 两直线的相对位置两直线的相对位置 1.6 平面的投影平面的投影 1.1 投影法的基本知识投影法的基本知识返回1.1 投影法的基本知识投影法的基本知识 1.1.1 1.1.1 投影法概念投影法概念 1.1.2 1.1.2 投影法的分类投影法的分类 1.1.3 1.1.3 正投影法的基本性质正投影法的基本性质 1.1.1 1.1.1 投影法的概念投影法的概念投影面投影面Pa 投影投影投射线投射线bS
2、投影中心投影中心A 空间点空间点B 将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得到物体影子的方法称为投影法。到物体影子的方法称为投影法。1.1.2 投影法的分类 1.1.中心投影法中心投影法 投射线汇交于一点。投射线汇交于一点。2.2.平行投影法平行投影法 投射线互相平行。投射线互相平行。（1 1）斜投影斜投影 投射线与投影面倾斜的平行投影投射线与投影面倾斜的平行投影。（2 2）正投影正投影 投射线与投影面垂直的平行投影。投射线与投影面垂直的平行投影。1.1.中心投影法中心投影法HS2.2.平行投影法平行投影法-斜投影斜投影H2.2.平行投影法平
3、行投影法-正投影正投影90H 1.1.3 1.1.3 正投影法的基本性质正投影法的基本性质 1.1.实形性实形性 当线段或平面平行于投影面时，当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。其投影反映实长或实形。2.2.积积聚聚性性 当当线线段段或或平平面面垂垂直直于于投投影影面面时时，其投影积聚为点或线段。其投影积聚为点或线段。3.3.类类似似性性 当当线线段段或或平平面面倾倾斜斜于于投投影影面面时时，其投影变短或变小。其投影变短或变小。1.1.实形性实形性CDEBAHabedc当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。edca（b
4、）CDEBAH2.2.积聚性积聚性当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。3.3.类似性类似性CDEedcBAabH当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。1.1 点的投影点的投影1.1.1 点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影1.1.2 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影1.1.3 两点的相对位置和重影点两点的相对位置和重影点1.1.1 1.1.1 点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影 5.点在其他分角的投影点在其他分角的投影 3.点的两面投影
5、图点的两面投影图 2.两投影面体系的建立两投影面体系的建立 4.4.两投影面体系中点的两投影面体系中点的投影规律投影规律 1.点的两个投影能唯一确定该点的空间位置点的两个投影能唯一确定该点的空间位置1.点的两个投影能唯一确定该点的空间位置点的两个投影能唯一确定该点的空间位置HVOXa aA2.两投影面体系的建立两投影面体系的建立XO 两投影面体系由两投影面体系由V面和面和H面二个投影面构成。面二个投影面构成。V面和面和H面面将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。角。我们通常把物体放在第一分
6、角中来研究。正立投影面正立投影面投影轴投影轴VH水平投影面水平投影面3.点的两面投影图点的两面投影图HVOXaAa 点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。点点A的正面投影的正面投影点点A的水平投影的水平投影XHVOa aax两面投影图的画法两面投影图的画法HHVOXa aAax 展开时，规定V面不动，H面向下旋转90。用投影图来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在二个不同投影面上的投影来表示点的空间位置。通常不画出投影面的范围通常不画出投影面的范围XOa aax4
7、.4.两投影面体系中点的投影规律两投影面体系中点的投影规律HVOXa aAaxXOa aax 点的点的V面投影与面投影与H面投影之间的连线面投影之间的连线aa垂直于投影轴垂直于投影轴0X；点的一个投影到点的一个投影到0X投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离，即的投影面之间的距离，即 aax=Aa，aax=Aa。1.2.2 1.2.2 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影 1.1.三投影面体系的建立三投影面体系的建立 2.2.点的三面投影图点的三面投影图 3.3.点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系 4.4
8、.三投影面体系中点的投影规律三投影面体系中点的投影规律 5.5.特殊点的投影特殊点的投影1.1.三投影面体系的建立三投影面体系的建立HVXOZYW 三投影面体系由三投影面体系由V、H、W三个投影面构成。三个投影面构成。H、V、W面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。2.2.点的三面投影图点的三面投影图HVXZYWOA 点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一
9、个面后得到的。展开时，规定个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V面不动，面不动，H面向下旋转面向下旋转90，W面向右旋转面向右旋转90。a aa Ha aa VWXOZYWYHa aa XOZYWYH通常不画出投影面的范围通常不画出投影面的范围HVXZYWOayaxazxyza aa Ha aa VWXOZYWYHaxayazay3.点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系 若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影）三个
10、坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。yAxAzA4.三投影面体系中点的投影规律三投影面体系中点的投影规律HVXZYWOayaxazxyza aa a aa XOZYWYHaxayazay 点的点的V面投影与面投影与H面投影之间的连线垂直于面投影之间的连线垂直于0X轴，即轴，即aa0X；点的点的V面投影与面投影与W面投影之间的连线垂直面投影之间的连线垂直0Z轴，即轴，即a a“0Z；点；点的的H面投影到面投影到0X轴的距离及点的轴的距离及点的W面投影到面投影到0Z 轴的距离两者相等，轴的距离两者相等，都反
11、映点到都反映点到V面的距离。面的距离。长对正长对正 高平齐高平齐 宽相等宽相等5.5.特殊位置点的投影特殊位置点的投影OXb bc cHVOXCcca bBb Aaa a 投影面上的点 投影轴上的点 与原点重合的点三面投影体系中特殊位置的点投影例例1 1 已知点已知点A A的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点A A的水平投影。的水平投影。ZYHXYWOa a aXOZY1.1.两点的相对位置两点的相对位置a a ab b bBA 两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。XZYWYHOa a ab
12、bb 2.2.重影点重影点c(c)dda(b)abAB 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。CDXYHZYWOc(d)ba(b)acda b c d 判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。例例2 2 已知已知A A点在点在B B点的右点的右1010毫米、前毫米、前6 6毫米、上毫米、上1212毫米，求毫米，求A A点的点的投影。投影。a a aXZYWYHOb bb 121061.3 直线的投影直线的投影 1.3.1 直线的三面投影直线的三面投影 1.3
13、.2 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置 1.3.3 直线上的点直线上的点OXZY1.3.1 1.3.1 直线的三面投影直线的三面投影ABbb a b aa ZXa b aOYYa bb 空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。1.3.2 1.3.2 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置 1.1.投影面平行线投影面平行线 平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线 (1)(1)水平线水平线 (2)(2)正平线正平线 (3)(3)侧平线侧平线 2.2.投影面垂直线投影面垂直线
14、 垂直于某一投影面的直线垂直于某一投影面的直线 (1)(1)铅垂线铅垂线 (2)(2)正垂线正垂线 (3)(3)侧垂线侧垂线 3.3.一般位置直线一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线 水平线水平线 平行于水平投影面的直线平行于水平投影面的直线XZYOaababb Xa b ab OzYHYWbaAB投影特性：1.ab OX;ab OYW 2.ab=AB 3.反映、角的真实大小XZYO正平线 平行于正面投影面的直线Xabab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性：1、ab OX;a b OZ 2、a b=AB 3、反映反映、角的真实大小角的真实大小aababbXZY
15、O侧平线 平行于侧面投影面的直线XZOYHYWa b babaAB投影特性：投影特性：1、a b OZ;ab OYH 2、a b =AB 3、反映反映 、角的真实大小角的真实大小aa b a bbOXZYZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2、a bOX ;a b OY 3、a b =a b =AB铅垂线 垂直于水平投影面的直线ABb a(b)a ab正垂线 垂直于正面投影面的直线OXZY投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2、ab OX ;a b OZ 3、ab=a b =ABABzXab baOYHYWabbabab
16、a侧垂线 垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2、ab OYH ;a b OZ 3、ab=a b =ABbaababZXabbaOYHYWabOXZY 一般位置直线ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：投影特性：1、a b、a b、a b 均小于实长均小于实长 2、a b、a b、a b 均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴 3、不反映不反映 、实角实角直线上的点具有两个特性：1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等
17、于其投影之比。即A C:C B=a c:c b=ac:cb=ac:c b 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。1.3.3 直线上的点ABbbaaXOccCcb Xa abcc 例例3 已知线段已知线段AB的投影图，试将的投影图，试将AB分成分成1：2两段，求分点两段，求分点C的投影。的投影。O 例例4 已知点已知点C在线段在线段AB上，求点上，求点C的正面投影。的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHVO1.5 1.5 两直线的相对位置两直线的相对位置（1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。）两平行直线在同一投影面上的投影仍
18、平行。反之，若两直反之，若两直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。（2）平行两线段之比等于其投影之比。）平行两线段之比等于其投影之比。XbaadbbccABCDXbaabdcdc1.平行两直线OO平行线的判断(1)平行线的判断(2)平行线的判断(3)2.相交两直线 两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。直线。反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点属于两直线，则该两直线相交。属于两直线，则该两直线相交。bXaabkc
19、ddckXBDACKbbaaccddkkOO3.交叉两直线 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。XOBDACbb aa c cdd 211(2)21b Xa abc d dc11(2)2O判断重影点的可见性XOBDACbb aa c cdd(3)4 1(2)43341 2 12 判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。bbcddcXaa3(4)34121(2)例例7 7 判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性OdacboYWYHZXaacddcbb例例6 6 判
20、断两直线的相对位置判断两直线的相对位置不用这个方法!应该怎样做!例题1-3(14P)非机非机p42比例法比例法-直线相交直线相交xo例：判断直线AB、CD的相对位置cdcdabba反证法推理反证法推理1.假定相交假定相交2.检验比例检验比例.e.21作取a2=ab a1=ae连b2,过1作1e/b2ee不在此处交叉（异面）交叉（异面）例题1-4(15P)非机非机p43直线综合直线综合例：已知直线AB、CD、EF。作水平线 MN与AB、CD、EF分 别交于点M、S、T，N点在V面之前6(工程上缺省为工程上缺省为mm)xoabba.cdcdef.e f侧平侧平正垂正垂铅垂铅垂读图垂线垂线 积聚积聚
21、 水平水平线线 mn/ox比例法定比例法定AB上上的的M点点smtt取a2=aba1=am21.m.6ns.n四四 直线的换面直线的换面1.将一般位置直线变为将一般位置直线变为投影面平行线投影面平行线VHXA aBb a bV1X1 a1 b1a1b1 X1V1H ba b aXVH 例1 把一般位置直线AB变为H1投影面平行线 babaXHVXH1Va1b1VHXaAabBbH1X1X1H1Va1b1XVHaaa12.将将投影面平行线变为投影面垂直线投影面平行线变为投影面垂直线bb 3.将一般位置直线变为将一般位置直线变为投影面垂直线投影面垂直线XHaAa b bBVV1X1H1a2 b2
22、a1 b1将一般位置直线变为投影面垂直线XH1V1a aXVHb ba2 b2XHV1a1 b1 aaX b bcc 思考题1 如何求点C到直线AB的距离？XH1V1aaXVHbba2 b2XHV1a1b1提示aaXbb cdcd 思考题2 如何求两直线AB与CD间的距离？XH1V1aaXVHbba2 b2XHV1a1b1V提示五五 一边平行于某一投影面的直角的投影一边平行于某一投影面的直角的投影AHBCacbcXbacba 互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相平行线时，则两直线在投影面上的投影必
23、定互相垂直垂直。反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直垂直。O例题1-8(20P)作交叉二直线AB、CD的公垂线EFXabcdcdab.eff平行线特征e.例：在直线 AB上找一点C使与H、V等距XZYHYwOaabba”b”c”.cc45线另法：作ab 关于ox的对称线得交点c 一一般般位位置置线线段段在在投投影影图图上上反反映映不不出出线线段段的的实实长长及及对对投投影面的倾角。影面的倾角。1.几何分析几何分析 2.作图要领作图要领 用用线线段段
24、在在某某一一投投影影面面上上的的投投影影长长作作为为一一条条直直角角边边，再再以以线线段段的的两两端端点点相相对对于于该该投投影影面面的的坐坐标标差差作作为为另另一一条条直直角角边边，所所作作直直角角三三角角形形的的斜斜边边即即为为线线段段的的实实长长，斜斜边边与与投投影影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。3.直角三角形直角三角形的四个要素的四个要素 实实长长、投投影影长长、坐坐标标差差及及直直线线对对投投影影面面的的倾倾角角。已已知知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。四要素中的任意两个，便可确定另外两个。六六 一般位置线段的实长及对投影面的倾角一般位
25、置线段的实长及对投影面的倾角(直角三角形法求直线的真长和对投影面的倾角）直角三角形法求直线的真长和对投影面的倾角）几何分析|zA-zB|ABABbbaaCXO|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|abO 例例5 5 已知已知 线段的实长线段的实长ABAB以及以及abab和和aa，求它的正面投影，求它的正面投影abab。aXa bAOBb0bb0bb0b b 例题 1-10(22p)已知线段AB长30,并与CD平行，求作AB的二面投影Xcdcd.aa可知直线AB的投影，但要定B点用直角三角形法先定CD实长zz.由AB长30.ab.b.b已知等腰三角形的底边BC属于水平线
26、MN,顶点A属于直线EF,又知BC的中点为D,BC和AD等长，求作ABC的投影XefmndabcefmnadbcadzadTLAD已知直角三角形ABC的一直角边AB/V面；斜边AC=60，且与H面成60夹角，请完成ABC的投影Xabab60ACac60zACzACcc1.4 1.4 平面的投影平面的投影一一 平面的表示法平面的表示法二二 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性三三 面上的点和直线面上的点和直线1.4 1.4 平面的表示法平面的表示法1.1.几何元素表示平面几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式：用几何元素表示平面有五种形式：（1 1）不在一直线上的三个点；）不在一
27、直线上的三个点；（2 2）一直线和直线外一点；）一直线和直线外一点；（3 3）相交两直线；）相交两直线；（4 4）平行两直线；）平行两直线；（5 5）任意平面图形。）任意平面图形。2.2.平面的迹线表示法平面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。1.几何元素表示法几何元素表示法aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd用几何元素表示平面有五种形式：用几何元素表示平面有五种形式：（1 1）不在一直线上的三个点；）不在一直
28、线上的三个点；（2 2）一直线和直线外一点；）一直线和直线外一点；（3 3）相交两直线；）相交两直线；（4 4）平行两直线；）平行两直线；（5 5）任意平面图形。）任意平面图形。2.2.迹线表示法迹线表示法PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW1.4 1.4 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性1.1.投影的垂直面投影的垂直面(1)铅垂面铅垂面(2)(2)正垂面正垂面(3)(3)侧垂面侧垂面2.2.投影的平行面投影的平行面(1)水平面水平面(2)(2)正平面正平面(3)(3)侧平面侧平面3.3.一般位置平面一般位置平面铅垂面铅垂面投影特性：投影特
29、性：1、水平投影水平投影abc积聚为一条直线积聚为一条直线 2、正面投影、正面投影 a b c、侧面投影侧面投影a b c 为为 ABC的的类似形类似形 3、abc与与OX、OY的夹角的夹角反映反映、角的真实大小角的真实大小 VWHPPHABCacbababbaccc类似性类似性聚积性铅垂面迹线表示VWHPPHPHPVPW 正垂面正垂面投影特性：1、正面投影abc 积聚为一条直线 2、水平投影abc、侧面投影abc是 ABC的类似形 3、abc与OX、OZ的夹角反映、角的真实大小 VWHQQVababbacccAcCabB类似性类似性聚积性正垂面的迹线表示VWHQQVQV侧垂面投影特性：投影特
30、性：1、侧面投影侧面投影a b c 积聚为一条直线积聚为一条直线 2、水平投影水平投影abc、正面投影、正面投影 a b c 为为 ABC的类似的类似形形 3、a b c 与与OZ、OY的夹角的夹角反映反映、角的真实大角的真实大小小 VWHSWSCabABcabbbaaccc聚积性类似性类似性侧垂面的迹线表示VWHSHSZXOYHSHY水平面水平面VWHCABabcbacabccabbbaacc投影特性：投影特性：1.a b c、a b c 积聚为一条线积聚为一直条线，具积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性有积聚性 2.水平投影水平投影abc反映反映 ABC实形实形 积聚性实形性积聚性 正平
31、面正平面VWHcabbacbcabacabcbcaCBA投影特性：投影特性：1.1.abcabc 、a a b b c c 积聚为一条直线，具有积聚积聚为一条直线，具有积聚性性 2.2.正平面投影正平面投影a a b b c c 反映反映 ABCABC实形实形 积聚性实形性积聚性 侧平面侧平面VWHabbbacccabcbacabcCABa投影特性：投影特性：1.abc、a b c 积聚为一直条线，具有积聚性积聚为一直条线，具有积聚性 2.侧平面投影侧平面投影a b c 反映反映 ABC实形实形 积聚性实形性积聚性 一般位置平面一般位置平面abcbacababbaccbacCAB投影特性投影特
32、性 1.abc、a b c 、a b c 均为均为 ABC的类似的类似形形 2.不反映不反映、的真实角度的真实角度 类似性类似性类似性1.4 1.4 平面上的点和直线平面上的点和直线（1 1）平面上的直线平面上的直线 直直线线在在平平面面上上的的几几何何条条件件是是：通通过过平平面面上上的的两两点点；通通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。（2 2）平面上的点平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。在在平平面面上上取取点点、直直线线的的作作图图，实实质质上上就就是是在在平平面面内内作
33、作辅辅助助线线的的问问题题。利利用用在在平平面面上上取取点点、直直线线的的作作图图，可可以以解解决决三三类类问问题题：判判别别已已知知点点、线线是是否否属属于于已已知知平平面面；完完成成已已知知平平面面上上的的点点和直线的投影；完成多边形的投影。和直线的投影；完成多边形的投影。一一.平面上取直线和点平面上取直线和点（1 1）平面上取直线平面上取直线 属于平面上的直线，该直线一定经过属于该平面的已知两点；属于平面上的直线，该直线一定经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。线。abcabcddee
34、ABCEDFff（2 2）平面上取点平面上取点ABCDEabcabcddee点在平面上，该点一定在平面内的一直线上。点在平面上，该点一定在平面内的一直线上。例例已知已知 ABC ABC 给定一平面，（给定一平面，（1 1）判断点）判断点K K是否属于该平面。是否属于该平面。（2 2）已知平面上一点）已知平面上一点E E的正面投影的正面投影e e作出水平投影。作出水平投影。k kabcabcddee11XO2.2.平面上的特殊位置直线平面上的特殊位置直线VHPPVPH（1）平面上投影面平行线）平面上投影面平行线既在平面上又平行于投影面的直线既在平面上又平行于投影面的直线。在在一一个个平平面面上上
35、对对V V、H H、W W投投影影面面分分别别有有三三组组投投影影面面平平行行线线。平平面面上上的的投投影影面面平平行行线线既既具具有有投投影影面面平平行行线线的的投投影影性性质质，又又与与所所属属平平面面保保持持从从属属关关系。系。水平线正平线例例abcbacmnnm已知已知 ABCABC给定一平面，试过点给定一平面，试过点C C作属于该平面的正平线，作属于该平面的正平线，过点过点A A作属于该平面作属于该平面 的水平线。的水平线。例例已知点已知点E E 在在 ABCABC平面上，且点平面上，且点E E距离距离H H面面1515，距离，距离V V 面面1010，试求点，试求点E E的投影。的
36、投影。Xabcbacmnmnrsrs1015eeVAHCB c bX aa bca1c1b1V1X1X1V/H 体系变为V1/H 体系c1b1a1bcabacX1.新投影体系的建立新投影体系的建立六六 平面的换面平面的换面（1 1）新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。）新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。（2 2）新投影面必须垂直于原投影体系中的某一个投影面。）新投影面必须垂直于原投影体系中的某一个投影面。VAHCBc bX aabc V1X1c1 b1a12.新投影面的选择原则新投影面的选择原则a cXVHbb ac VH Xcba bCA cBa ddDX1H1a1c1
37、b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d11.将一般位置平面变为投影面垂直面将一般位置平面变为投影面垂直面k1X1H1Vb1a1c1 d1s1acb ba c ddss 例3 求点S到平面ABC的距离HXVCAcbaB2.将将投影面垂直面变为投影面平行面投影面垂直面变为投影面平行面X1V1c1b1a1V1c1b1a1X1a1c1b1X1bca b acXVH a cbXX1V1c1 b1a1b caa cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H13.将一般位置平将一般位置平面变为投影面平行面面变为投影面平行面 例5 已知点E在平面ABC上，距离A、B为1
38、5，求E点的投影。a cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e21.5 1.5 直线与平面、直线与平面、平面与平面的相对位置平面与平面的相对位置 1.7.1 平行问题平行问题1 相交问题相交问题2 平行问题平行问题3 垂直问题垂直问题4 综合问题分析综合问题分析相交问题相交问题 积聚性法积聚性法交点与交线的性质交点与交线的性质 直直线线与与平平面面、平平面面与与平平面面不不平平行行则则必必相相交交。直直线线与与平平面面相相交交有有交交点点，交交点点既既在在直直线线上上又又在在平平面面上上，因因而而交交点点是是直直线线与与平平面面的的共共
39、有有点点。两两平平面面的的交交线线是是直直线线，它它是是两两个个平平面面的的共共有有线线。求求线线与与面面交交点点、面面与与面面交交线线的的实实质质是是求求共共有有点点、共共有有线的投影。线的投影。PABKDBCALKEF积聚性法积聚性法 当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。可在直线的另一个投影上找到。VHPHPABCacbkNKM直线可见性的判别b ba acc m mn k n 特殊位置线面相交，根据
40、平面的积聚性投影能直接特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性判别直线的可见性-观察法观察法 VHPHPABCacbkNKMk在平面之前XOaa(b)bcedcefdfkk例例6 铅垂线铅垂线AB与一般位置平面与一般位置平面CDE相交，求交点并判别可相交，求交点并判别可见性。见性。（2 2）两平面相交两平面相交f k 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于由于特殊位置平面的某些投影有积聚性特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。交线可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm l n bac
41、c a b XOfk平面可见性的判别平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfkXO平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLXObbacnlmcmalnfkfk平行问题平行问题1 直线与平面平行直线与平面平行2 平面与平面平行平面与平面平行直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行的几何条件:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。特殊情况:直线和投影面垂直面平行的条件!PCDBA例例1 试判断直线试判断直线AB是否平行于平面是否平行于平面 CDE。fgfgbaabcededc结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定
42、平面XO例例2 过点过点K作一水平线作一水平线AB平行于已知平面平行于已知平面 CDE。b a af fbc e d edk kcXO平面与平面平行平面与平面平行两平面平行的几何条件两平面平行的几何条件:平面内的两相交直线对应地平行于另平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线。一平面内的两相交直线。特殊情况特殊情况:两平面都是投影面垂直面时平行的条件两平面都是投影面垂直面时平行的条件!PSEFDACBf e d edfc a acb bm n mnr rss 结论：两平面平行结论：两平面平行XO例例3 3 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行例例4 已知定平面由平行两直线已知定
43、平面由平行两直线AB和和CD给定。试过点给定。试过点K作作一平面平行于已知平面一平面平行于已知平面。em n mnf e fsr s rd dc a acb bk kXO例例5 5 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行结论：两平面平行结论：两平面平行ef e fsr s d dc a acb brPHSHXO垂直问题垂直问题1 直线与平面垂直直线与平面垂直2 平面与平面垂直平面与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直VHPAKLDCBE 几何条件几何条件：一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。的一切直线。如果平面是投影面垂直面时如果平面是
44、投影面垂直面时,与该平面垂直的线应该是什么线与该平面垂直的线应该是什么线 定理定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknknXOacacnnmfdbdbfm例例8 平面由平面由 BDF给定，试过定点给定，试过定点M作平面的垂线。作平面的垂线。hhhhhhkkSVkkPVkkQH例例9 试过定点试过定点K作特殊位置平面的法线。作特殊位
45、置平面的法线。两平面垂直两平面垂直 几何条件：几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。两个投影面垂直面相互垂直的所有平面都垂直于该平面。两个投影面垂直面相互垂直!它它们具有积聚性的同面投影相互垂直们具有积聚性的同面投影相互垂直PAB两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线,该垂线必属于第一个平面上的直线。AB两平面垂直两平面不垂直AB 平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际
46、问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。才能解决。求解综合问题主要包括：空间几何元素的求解综合问题主要包括：空间几何元素的定位问定位问题题（交点、交线）和空间几何元素的（交点、交线）和空间几何元素的度量问题度量问题（如（如距离、角度）。距离、角度）。综合问题解题的一般步骤：综合问题解题的一般步骤：1.分析题意分析题意 2.明确所求结果，找出解题方法明确所求结果，找出解题方法 3.拟定解题步骤拟定解题步骤二二 用投影变换法解决空间几何元素定位问题用投影变换法解决空间几何元素定位问题 和度量问题和度量问题aabbaabbccddbaabccddaabbccaabb 两点之间距离两点之间距离aabbcc三角形实形三角形实形aabbccdd 直线与平面的交点直线与平面的交点abcdabcd 两平面夹角两平面夹角例题1-18(39P)例题1-20(40P)X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c1112121babdcaXVHdc211222 例2 求两直线AB与CD的公垂线。H2