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1、中考数学专题复习分类讨论问题 教学目标1.掌握常见题型分类方法；能够灵活运用一般的分类技巧。2.明确分类的“界点”、“标准”。一、 热点再练1.等腰三角形的一个角是80，则它顶角的度数是（ ） A. 80 B. 80或20 C. 80或50 D. 202.已知三角形相邻两边长分别为13cm和15 cm，第三边上的高为 12 cm，则此三角形的面积为_cm2 A B C 或 D 3.在直角坐标系中，O为坐标原点，已知 A（1，1），在x轴上确定点P，使得AOP为等腰三角形，则符合条件的P点共有 个。4.半径为5的圆中，有弦平行，则与之间的距离_.在半径为1的圆中，弦AB、AC的长分别是 、 ，则
2、BAC的度数是 。. 已知方程有实数根，则m的取值范围 。知识点:.等腰三角形的角有_和_其中的底角可以是_.(按角的类型进行分类)2.三角形的高可以在_也可以在_(按图形的形状进行)3.圆是轴对称图形,相等的弦,如平行弦,从一个顶点出发的弦会在对称抽的两侧(按图形的性质)4.初中阶段的方程有_,_._(按定义分类)二、规律剖析ABCD例1正方形ABCD的边长为10cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A点停止，求点P运动t秒时， P，D两点间的距离。总结：本题从运动的观点，考查了动点P与定点D之间的距离，应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形，关
3、键找出分界点。练习:例2.如图，已知O的半径为6 cm，射线PM经过点O，OP10 cm，射线PN与O相切于点Q.A、B两点同时从点P出发，点A以5 cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4 cm/s的速度沿射线PN方向运动设运动时间为t (s)(1)求PQ的长；(2)当t为何值时，直线AB与O相切？课堂检测:1.若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（ ）A.5 B.7 C.5或7 D.62.在平面直角坐标系中，三点坐标分别是（0，0）（4，0）（3，2），以三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）。 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四
4、象限3.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若APD与BPC相似，则满足条件的点P有 个.4.若等腰三角形的两个角度的比是1:2，则这个三角形的顶角为（ ）度。 30 60 30或90 605.若直线 y=x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积是2，则b的值为 ；6.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是：_总结:运动与数形结合进行分类四、板书设计1：分式方程无解的分类讨论问题；2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题；3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题；4：分类问题在动点问题中的应用； 4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论；4.2组合图形（二
5、次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。1：分式方程无解的分类讨论问题 例题1：（2011武汉） 解：去分母，得： 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 例题2：（2011郴州） 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题3：（2010上海）已知方程有实数根，求m的取值范围。（1） 当时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=（2） 当时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：，且综（1）（2）得， 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略的条件） 总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程
6、”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。 例题4：（2011益阳）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程与的根都是整数。 解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即，同理，且，又因为m为整数 （1）当m=1时，第一个方程的根为不是整数，所以m=1舍去。 （2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以m=1.练习：已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是：3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题 例题:5：（2011青海）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长
7、为（） 12 12或15 15 不能确定例题6：（2011武汉）三角形一边长AB为13cm，另一边AC为15cm，BC上的高为12cm,求此三角形的面积。（54或84）ABC例题8：（2011四校联考）一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C，且有BC=2AC,将其从C点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为：60cm或120cm 4：动点问题的分类分类讨论问题4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；例题9：（2011永州）正方形ABCD的边长为10cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A点停止，求点P运动t秒时， P，D
8、两点间的距离。ABCD解：点P从A点出发，分别走到B，C，D，A所用时间是 秒， 秒， 秒， 秒，即5秒，10秒，15秒，20秒。（1）当0t5时，点P在线段AB上，|PD|=|P1D|= (cm)（2）当5t10时，点P在线段BC上，|PD|=|P2D|= （3）当10t15时，点P在线段CD上，|PD|=|P3D|=30-2t（4）当15t20时，点P在线段DA上，|PD|=|P4D|=2t-30综上得：|PD|= 总结：本题从运动的观点，考查了动点P与定点D之间的距离，应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。4.2：组合图形（一次函数、
9、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。例题10：（2010福建）已知一次函数与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使PAB为等腰三角形。分析：本题中PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。先可以求出B点坐标，A点坐标（9，0）。设P点坐标为，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解，分别为。（不适合条件的解已舍去） 总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，
10、分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。MEABCDN例11：(2010湖北)如图，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动当DM= 时，ABE与以D、M、N为项点的三角形相似。分析与解答 勾股定理可得AE=当ABE与以D、M、N为项点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：（1） 当DM与BE是对应边时，即（2）当DM与AB是对应边时，即 故DM的长是例题12：（2011湘潭）如图，直线y=3x+3交x轴于A
11、点，交y轴于B点，过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.(1)求抛物线的解析式；ABCOQ(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使三角形ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证 解析：（1）抛物线解析式的求法：1，三点式；2，顶点式（h,k）；3，交点式。 易得： （2） 依题意得，抛物线的对称轴为x=1,设Q(1，y)1) 以
12、AQ为底，则有AB=QB,及解得，y=0或y=6,又因为点（1,6）在直线AB上(舍去)，所以此时存在一点Q(1,0)2) 以BQ为底，同理则有AB=AQ,解的Q(1,) Q(1,)3) 以AB为底，同理则有QA=QB,存在点Q(1,1).综上，共存在四个点分别为：(1,0)、(1,1)、(1,) 、(1,)【作业训练】 1已知等腰ABC的周长为18，BC=8若ABCABC，则ABC中一定有一定有条边等于（ ）A7 B2或7 C5 D2或72.（2010衡阳）若等腰三角形的两个角度的比是1:2，则这个三角形的顶角为（ ）度。 30 60 30或90 603A、B两地相距450千米，甲、乙两车分
13、别从A、B两地同时出发，相向而行已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过小时两车相距50千米，则的值是（ ）A2或25 B2或10 C10或125 D2或1254已知O的半径为2，点P是O外一点，OP的长为3，那么以P这圆心，且与O相切的圆的半径一定是（ ）A1或5 B1 C5 D不能确定5.（2011株洲市）两圆的圆心距d=5,他们的半径分别是一元二次方程的两根，判断这两圆的位置关系： . 6已知点是半径为2的外一点，PA是O的切线，切点为A，且PA=2，在O内作了长为的弦AB，连续PB，则PB的长为 7.（2010四校联考）在等腰三角形ABC中，AB=AC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个三角形的底边长为：. 8:变换例题12，请问是否在x轴，y轴上存在点P,使得P,B,C三点组成的图形为等腰三角形，请说明理由。【参考答案】1D 2 .C 3. A 4A 5外切 6. 7. 7或11