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1、高中数学的八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型(三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法:找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ C )A B C D（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 解：（1），,选C； （2），(3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 。解：引理:正三棱锥的对棱互垂直.证明如下:如图(3)1，取的中点，连接,交于，连接，则是底面正三角形的中心，平面
2、,，,，平面，同理:,即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3)2, ，,，平面,，,，平面，故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直，即,正三棱锥外接球的表面积是(4）在四面体中，则该四面体的外接球的表面积为（ D ） （5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为、，那么它的外接球的表面积是 (6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为 解析：（4）在中，的外接球直径为，选D（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为(），则,，（6），类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1题设：如图5，平面解题步骤：第一步：将画在小圆面上，
3、为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：；2题设:如图6，7,8，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点 解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心,则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：,解出方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）CA B C D以上都不对解:选C, ，,类型三、切瓜模型（两个平面
4、互相垂直） 1题设：如图9-1，平面平面，且（即为小圆的直径)第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆,先求出小圆的直径；第二步：在中,可根据正弦定理，求出2如图92，平面平面，且(即为小圆的直径） 3如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上,顶点点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心的位置,取的外心，则三点共线;第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高(也是圆锥的高）;第三步：勾股定理：，解出4如图9-3，平面平面，且(即为小圆的直径），且，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：;例3 （1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若
5、该棱锥的高为1，底面边长为,则该球的表面积为 。（2）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 解:（1）由正弦定理或找球心都可得，(2)方法一:找球心的位置,易知，故球心在正方形的中心处，方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是的外接圆,此处特殊，的斜边是球半径，,(3）在三棱锥中,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A B。 C. 4 D.解：选D，圆锥在以的圆上，（4)已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形，为球的直径,且,则此棱锥的体积为（）AA B C D解：，类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球) 题设：如
6、图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心的位置，是的外心,则平面；第二步：算出小圆的半径，(也是圆柱的高）;第三步：勾股定理：，解出例4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 解：设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关径为，则，底面积为，,，球的体积为（2）直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若，则此球的表面积等于 。解：，,（3）已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，,则多面体的外接球的表面积为 .
7、解析：折叠型，法一：的外接圆半径为，；法二:，,(4）在直三棱柱中，则直三棱柱的外接球的表面积为 。解析：，类型五、折叠模型题设:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠（如图11）第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；第二步:过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；第三步：解,算出，在中,勾股定理：例5三棱锥中，平面平面,和均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .解析:,，；法二：，类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二
8、步：设出长方体的长宽高分别为,，,列方程组,，补充：第三步:根据墙角模型，,，求出，例如，正四面体的外接球半径可用此法.例6（1）棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是 。 （2)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是( ）A B C D 解:(1)截面为，面积是;（2)高，底面外接圆的半径为,直径为，设底面边长为，则，,三棱锥的体积为 （3）在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为 .解析：如图12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为,则，
9、,，（4）如图所示三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为 。 解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，【55;对称几何体;放到长方体中】（5）正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式,放入长方体中,，类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型题设:，求三棱锥外接球半径（分析:取公共的斜边的中点，连接，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径）,当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关,只要不是平角球半径都为定值。例7(1）在矩形中，沿将矩形折成一个直二面角
10、，则四面体的外接球的体积为（ )A B C D解：（1),选C(2）在矩形中,，沿将矩形折叠,连接，所得三棱锥的外接球的表面积为 解析：(2）的中点是球心，；类型八、锥体的内切球问题1题设:如图14，三棱锥上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图,分别是两个三角形的外心；第二步：求，是侧面的高；第三步:由相似于，建立等式：，解出2题设：如图15，四棱锥上正四棱锥，求其外接球的半径第一步:先现出内切球的截面图,三点共线；第二步：求，是侧面的高；第三步：由相似于，建立等式：,解出3题设:三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法,即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积
11、之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为,建立等式：第三步：解出习题：1若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则该三棱锥的外接球半径为( )A. B. C。 D.解：【A】,【三棱锥有一侧棱垂直于底面,且底面是直角三角形】【共两种】2 三棱锥中，侧棱平面,底面是边长为的正三角形,则该三棱锥的外接球体积等于 . 解析：,，外接球体积【外心法（加中垂线）找球心;正弦定理求球小圆半径】3正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该三棱锥的外接球体积等于 .解析：外接圆的半径为 ，三棱锥的直径为，外接球半径，或,外接球体积，4三棱锥中，平面平面,边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .解析：的外接圆是大圆，,，5 三棱锥中，平面平面，,则三棱锥外接球的半径为 。解析:，,，6 三棱锥中，平面平面，,，则三棱锥外接球的半径为 。解：是公共的斜边,的中点是球心，球半径为10