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1、利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分二重积分的换元法二重积分的换元法8.2 8.2 二重积分二重积分的计算的计算(1)积分区域积分区域为：为：其中函数其中函数 X型型在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分有有:先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分例例解解所围平面闭区域所围平面闭区域.两曲线的交点两曲线的交点(2)积分区域积分区域为：为：Y型型先对先对x后对后对y的二次积分的二次积分也即也即其中函数其中函数 在区间在区间 上连续上连续.先对先对x后对后对y的积分的积分abdc 计
2、算结果一样计算结果一样.又是又是Y型型:(3)积分区域积分区域D既是既是X型型:但可作出但可作出适当选择适当选择.(4)若区域如图若区域如图,在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.(用积分区域的可加性质用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是都是X型区域型区域则则必须分割必须分割.例例解解1 将将D看成看成X型区域型区域例例解解2 将将D看成看成Y型区域型区域D1D2第第一一种种方方法法计计算算量量小小例例siny2 对对y的积分的积分而它对而它对x的积分的积分交换积分次序交换积分次序的方法是的方法是:改写改写D为为:oxy 分析分析所以将所以将二次积分二
3、次积分先先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图画出积分域的草图(3)计算二次积分计算二次积分不能用基本积分法算出不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出可用基本积分法算出.交换积分次序交换积分次序.用联立不等式表示用联立不等式表示 D:oxy例例 交换积分次序：交换积分次序：解解 积分区域积分区域:原式原式=又是能否进行计算的问题又是能否进行计算的问题.计算二重积分时计算二重积分时,恰当的选取积分次序恰当的选取积分次序十分重要十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题它不仅涉及到计算繁简问题,而且而且凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分:等等等等,一定要放在一定要放在后面积分后面积分.
4、解解计算积分计算积分不能用初等函数表示不能用初等函数表示,先交换积分次序先交换积分次序.例例 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程且这两个圆柱面的方程分别为分别为 及及 解解 求所围成的求所围成的立体的体积立体的体积.解解(1)先去掉绝对值符号先去掉绝对值符号,如如图图 例例先对先对先对先对y y积分简单积分简单积分简单积分简单D1D2D2解解(2)仿照仿照(1)的方法，同时充分利用可加性的方法，同时充分利用可加性 例例先对先对先对先对y y积分简单积分简单积分简单积分简单D1D2D2D1例例 求证求证 左边的累次积分中左边的累次积分中,积分域积分域可表为可表为提示提示不能
5、具体计算不能具体计算.所以所以,是是y的抽象函数的抽象函数,证毕证毕.先交换积分次序先交换积分次序.计算二重积分计算二重积分其中其中 解解 设设二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分即即也即也即极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素(1)积分区域积分区域D:(2)积分区域积分区域D(曲边扇形曲边扇形):(3)积分区域积分区域D:解解a例例 计算计算其中其中D是由中心在原点是由中心在原点,半径为半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下在极坐标系下解解求反常积分求反常积分例例显然有显然有又又夹逼定理夹逼定理即即所求反常积分所求反常积分解解例例 写出积分写出
6、积分的的极坐标二次积分极坐标二次积分其中积分区域其中积分区域形式形式,在极坐标系下在极坐标系下圆方程为圆方程为直线方程为直线方程为将将直角坐标系直角坐标系下积分下积分:化为化为极坐标系极坐标系下的下的累次积分累次积分.oxy解解原式原式=解解计算计算所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.例例及直线及直线 计算计算因被积函数因被积函数D2例例分析分析故故的的在积分域内变号在积分域内变号.D1 计算计算解解 积分区域积分区域D关于关于x轴对称轴对称,被积函数关于被积函数关于y为偶函数为偶函数.原式原式=记记D1为为D的的y0的部分的部分.则则D1 三、三、二重积分的换元法二重积分的换元法设被积函数设被积函数在区域在区域D上连续上连续,若变换若变换满足如下条件满足如下条件:(1)一对一地变为一对一地变为D上的点上的点;(2)有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式且雅可比行列式例例解解 令令则则即即故故例例解解所围成的闭区域所围成的闭区域.其中其中D为椭圆为椭圆作作广义极坐标广义极坐标变换变换故换元公式仍成立故换元公式仍成立,极极坐坐标标