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1、微积分教学大纲试行 微积分教学大纲（试行） 适用专业:全院理工类专科各专业 （2007年3月）一、本课程的性质与任务微积分课程，是成人高等教育理工类各专业专科教学计划中的一门必修的重要基础理论课。它为学生学习后继课程,以及为今后进一步获得科技知识奠定必要的基础。通过本课程的学习,要使学生获得微积分课程内容的基本概念、基本理论和基本运算技能。要通过各个教学环节,逐步培养学生具有初步抽象概括问题的能力、初步的逻辑推理能力和自学能力、一定的运算能力。二、本课程与有关课程的关系 高等数学是以中学教学为基础的一门先行课。它是为以后学习其它基础理论课、技术基础课、专业基础课、专业课等后继课程提供必要的数学
2、基础.三、教学说明1、根据成人高等教育的专科培养目标，在基础课的教学中，教材要求“以应用为目的，以必需、够用为度。因此，教材名称改为微积分，本课程与本科相比，我们做了以下几点不同： 数学知识的覆盖面。在保持数学自身的系统性、逻辑性的基础上，一元函数微积分的内容与本科基本相比，作了一定减少,多元函数微积分的内容只作重点介绍。 对难度较大的某些基础理论，严密论证与推导，与本科相比，应有较大的削减，而且着重几何解释。 基础知识和基本方法，与本科相比，应基本相同。 在运算能力方面,专科只重视基本运算技能的训练，减少技巧性较强的运算。2、授课学时为96学时，其中可用66学时左右讲授一元函数微积分，且由学
3、院组织统考,余下30学时介绍二元函数微分学、积分学及微分方程三部份,这些内容不考试，但要安排课后作业。四、本课程内容(一）函授、极限、连续1 函数定义及定义域;2 函数值与函数记号;3 函数简单性态（有界性、奇偶性、单调性、周期性）;4 基本初等函数、复合函数、初等函数、分段函数;5 数列极限；6 函数极限；7 单侧极限；8 无穷小概念及其性质；9 无穷小与无穷大的关系，无穷小比较;10 极限运算法则，两个重要极限;11 连续函数定义，函数的间断点;12 闭区间上连续函数性质（介值定理、最大、最小值定理)。(二）一元函数微分学1 导数定义；2 导数的几何意义、切线方程与法线方程；3 函数的和、
4、差、积、商的求导法则;4 复合函数求导法则；5 高阶导数;6 微分概念及其运算;7 介绍三个中值定理；8 洛必达法则;9 函数单调性判定；10 函数的极值；11 曲线的凹凸与拐点12 最大值、最小值问题. （三）一元函数积分学1原函数的概念；2不定积分的概念；3不定积分基本性质、基本积分公式；4不定积分第一换元法；5不定积分第二换元法；6不定积分分部积分法；7引入定积分概念的实例;8定积分定义与几何意义；9定积分性质；10变上限的定积分的求导定理；11微积分基本定理；12定积分的换元积分法；13定积分的分部积分法;14定积分应用的微元法；15平面图形的面积；16旋转体体积17广义积分。(四)空
5、间解析几何 1空间直角坐标系，两点距离公式； 2向量概念及其线性运算； 3平面方程； 4直线方程； 5二次曲面. （五）多元函数微积分 1多元函数极限与连续； 2偏导数； 3全微分； 4介绍多元函数极值. （六)重积分 1二重积分的概念与性质； 2二重积分在直角坐标下的计算法； 3二重积分在极坐标下的计算法; 4二重积分应用。 (七)微分方程 1微分方程基本概念； 2可分离变量的微分方程； 3一阶线性微分方程； 4两种可降价的高阶微分方程； 5二阶线性微分方程解的结构； 6二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程。 五、各部分内容的基本要求 （一） 函数、极限、连续（约8学时）重点：初等函数概念、极
6、限运算法则，两个重要极限。难点：如何把复合函数分解成几个简单函数，分段函数在分段点处的左右极限。说明：函数、极限是中学学过的内容,主要是复习总结和提高。1理解函数记号的意义，并会运用。2会判断函数的奇偶性。3熟悉的把复和函数分解为几个简单函数。4介绍 极限定义。5熟悉利用极限运算法则和利用两个重要极限结论去求极限。（两个重要极限只证 ）。6知道无穷小的概念及会比较两个无穷小.7会求分段函数在分段点处的左右极限。8用几何说明在闭区间上连续函数的性质.（二）一元函数微分学（约28学时）重点:复合函数的微分法，求型不定式的极限，求函数的极值，曲线的拐点。难点：复合函数的微分法。说明：(1）理解导数的
7、定义及其几何意义,介绍切线方程与法线方程。（2）可以证明一两个导数的基本公式及求导法则.（3）说明复合函数的求导法则，着重应用。（4）介绍如何求n阶导数。（5）罗尔定理，拉格朗目中值定理可以不证明，只作几何解释。（6）洛必达法则可以不证,但要学生熟悉求两种不定式,介绍如何求 与两种不定式。(7）函数的增减性，极值相关定理可以不证,只作几何解释。但要求能熟悉判别函数增减性和求函数的极值，可以讲解几何应用。（8)曲线的凹凸性及曲线拐点的相关定理，只作几何解释。会判断曲线的凹凸性及求曲线的拐点.（三）一元函数积分学（约30学时)重点:不定积分、定积分的凑微方法,定积分的换元法，利用定积分求平面图形面
8、积观点，难点：凑微分法，利用微元法用定积分求平面图形面积。说明:（1）了解不定积分及定积分的性质; (2）多举例子要求学生熟悉掌握凑微分法,第二换元法，（重点是根式置换法）简单的有理函数式积分法，分部积分法（重点是四种分部积分函数类型）,其方法的相关定理可不证。 (3）可以证明变上限函数求导定理，及会对变上限函数求导。 （4）了解利用换元法证明一些题目。 （5)了解求平面图形面积，介绍如何求旋转体体积。 （6）了解判别广义积分的敛散性。 （四）空间解释几何（约6学时）重点：认识常用的二次曲面方程及其图形难点：部分学生空间概念较差，不易理解空间曲面形状及其特点说明:1、通过介绍直角坐标系，使学生
9、建立初步的空间概念，掌握向量运算(加、减、数乘、数量积、向量积） 2、明确空间解析几何两大问题； 3、介绍点法式平面方程的建立，知道一般式及各种特殊平面(如坐标面，过原点的平面,平行坐标的平面，平行坐标轴的平面),三点式可举例介绍。 4、介绍直线的对称式方程,其他形式可举例说明； 5、利用平面法向量，直线的方向向量，确定平面与平面，直线与直线,直线与平南之间的关系。 6、介绍“多元函数积分中常用的曲面：如球、椭圆、柱、抛物面。（五）二元函数微分学（约8学时）重点：求偏导数与全微分.难点:隐函数求导说明：1、二元函数的极限与连续，虽属基本概念但非专科生的要求,举例说明即可. 2、求偏导是本章重点
10、，务必理解偏导数的概念，多分析例子，使学生熟悉掌握求导法，要求会求二阶偏导。 3、隐函数求导法可以引导学生去解决求一元隐函数的一阶导数，对二元隐函数也只求一阶偏导。 4、主要介绍无条件极值，条件极值举例说明即可.（六)二元函数积分学（约8学时）重点:二重积分在直角坐标系，极坐标系的计算法.难点:画出积分域来选积分次序及定限。说明：1、通过曲顶柱体体积，变密度的薄板质量正确理解二重积分定义及其几何意义。 2、二重积分如何化为二次积分是本章的重点,因此要多举例子.也要会掌握直角坐标系下二次积分的交换积分次序，使学生更明确如何定限。 3、极坐标系下计算二重积分，以积分域为圆、半圆及圆环为主。（七）微
11、分方程(约8学时)重点:解一阶可分离的方程，一阶线性方程，二阶常系数线性齐次方程。难点：确定二阶常系数线性非齐次特解待定形式。说明：1、可分离变量方程；2、解一阶线性方程主要利用公式法；3、二阶常系数线性齐次方程；4、举例说明二阶常系数线性非齐次微分方程,(自由项是）的解法。推荐用书，华工成人教育系列教材微积分吴满,曾令武编 华南理工大学出版社出版（2007年版）微积分理工类考试大纲 （一元微积分) 一、考试目的通过考试，使学生能理解或了解一元函数微分学、一元函数积分学的基本概念，基本理论和基本方法；知道各部分知识的结构及知识的内在联系；且具有初步的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力；并运用
12、基础知识正确地、简捷地计算。一元微积分的考试，旨在 “理解、“掌握”和“了解”、“会两个层次上对考生进行测评。这里“理解”和“了解两词分别是对概念、理论的高层次与低层次要求.“掌握”和“会”（或知道）两词分别是对方法、运算的高层次与低层次要求.在使用时，注意区分,以便掌握重点。二、 考试内容及要求（一）函数、极限、连续（1） 理解函数记号f(x)的意义并会运用.（2） 了解函数的几种简单性质，掌握判断函数的奇偶性。（3） 掌握基本初等函数及其图形。（4） 理解复合函数概念,掌握将一个复合函数分解为基本初等函数或它们的和与积。（5） 掌握极限四则运算法则。（6） 会求分段函数在分段点处的左右极限
13、。（7） 掌握用两个重要极限结论求极限.（8） 知道无穷小及其性质，无穷小与无穷大的关系，掌握对两个无穷小进行比较。（9） 理解函数在一点连续与间断的概念。（10） 会求函数的间断点。（二）导数与微分(1） 理解导数定义。了解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程与法线方程。（2） 掌握导数基本公式及导数的四则运算，掌握复合函数的求导方法。（3) 了解高阶导数的概念,掌握求初等函数的二阶导数。 （三）中值定理及导数的应用（1） 掌握洛必达法则求（）、（），会求(0.）、（）型的极限;（2） 掌握用导数判断函数的单调性及求函数的单调增、减区间；（3） 理解函数极值的概念。掌握求函数极值的方法
14、，会解简单的最大、最小值的应用问题（主要是几何应用）；（4） 会判断曲线的凹凸性，掌握求曲线的拐点。（四）不定积分（1） 理解原函数与不定积分的概念；（2） 了解不定积分的性质；（3） 掌握不定积分的基本积分公式;（4） 掌握积分第一换元法、第二换元法（限于简单的根式代换）；（5） 掌握分部积分四种常见的类型：； ； ； ； 的解法。（五）定积分（1） 理解定积分的概念与几何意义；（2） 了解定积分的性质；（3） 理解变上限定积分求导定理。掌握对变上限定积分进行分析运算；（4） 掌握牛顿一莱尼茨公式；（5） 掌握定积分的换元法和分部积分法计算定积分(同不定积分类型)；（6） 会利用换元法证明一
15、些题目;（7） 掌握用定积分求平面图形的面积；（8） 会判断无穷区间的广义积分敛散性。样题(理工类）1、命题原则:覆盖面要广,基础题为主，以教材作业册内的题型为主选对象.计算要简单，过程不要繁琐.2、 考试内容及各内容的分数比例：函数、极限、连续 约15分导数与微分 约40分积分学 约45分3、 试卷结构：考试总分 100分考试时间 120分钟试卷题型： 简答题 10题 40分 计算题 6题 48分综合题 2题 12分理工类样题一、110题每题4分，共40分.1、设 求）。2、设 求.3、已知极限 求K值。4、设 求职。5、设分段函数在其定义域内连续，求。 6、求。7、设 求 。8、设连续,且满足 求。9、求 .10、求曲线 的拐点。二、计算题。每题8分，共48分.11、设 求12、求函数 的极值。13、求14、求15、求16、求 三、综合题。每题6分，共12分。17、求由 及在点（1.0）处的切线和轴所围成的图形面积。18、 连续且为奇函数时,证明F（x）=是偶函数。9