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1、常微分方程中的几种非线性方程的解法12015年度本科生毕业论文（设计）常微分方程中几种非线性方程的解法教 学 系： 数学学院 专 业: 数学与应用数学 年 级： 2011级 姓 名: 杨艺芳 学 号： 20110701011053 导师及职称： 刘常福 教授 2015年5月毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文(设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计)不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期: 毕业论文（设计）授权使用
2、说明本论文（设计)作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定,学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅.学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名：日期: 日期： 杨艺芳 毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组）成员名单姓名职称单位备注主任（组长)摘 要非线性常微分方程是常微分方程中重要的一部分，源于应用数学、物理学、化学等许多科学领域，高阶微分方程比二阶微分方程研究要困难得多,并且研究还不成熟。鉴于非线性
3、微分方程在理论上和实践上的重要意义。本文将采用列举法，对非线性常微分方程的一些解题方法进行分析.如“利用初等积分法与引入变量法”、“首次积分法“常数变易法”、“化为线性微分方程求解法等方法.在说明这些方法的同时，说明这些方法的特点以及解题思路，随之附上应用对应方法的例题，在例题的基础上理解方法的精髓。这种对非线性方程地学习，对未来研究非线性方程地解法具有一定的参考价值.关键词：常微分方程；非线性常微分方程;通解英文目 录一、引言1二、线性微分方程与非线性微分方程的区别12。1 线性微分方程12.2 非线性微分方程1三、非线性微分方程的解法23。1 利用初等积分与引入新变量法2 3。1。1 形如
4、型的方程分的两种情形2 3.1。2 形如型的方程33.1.3 形如型的方程43.2 首次积分法43.3 常数变易法5 3.3.1 引用定理3。153.3.2 形如型的方程63。3。3 形如型的方程63.3.4 形如型的方程73.4 可化为线性方程法7 3.4。1 通过变换方程化为线性方程的方程7 3.4。2 通过求导运算化为线性的方程8 3。4.3 伯努利方程8 3。4。4 黎卡提方程8 3.4。5 二阶非线性方程或型9四、结束语10参考文献10致谢11一、引 言在学习了常微分方程的基础上，我们接触了非线性常微分方程，非线性微分方程对于当代大学生来说,是一个难点。非线性常微分方程是伴随着微积分
5、学发展起来的数学分支，发展得不是很完善，在学术界也是一个值得深究的热题。现在微分方程科学研究的发展很快，但以目前国内高校微分方程教材的现状来看，不同程度地存在着内容相对滞后的现象。为了能够更加完整地掌握和了解非线性微分方程，本文将利用几种特殊的非线性微分方程的解法加以说明，让更多学者能够简易明了地认清非线性微分方程的解法,从而能够达到从特殊化到一般化、循序渐进地理解非线性微分方程的本质.二、 线性微分方程分与非线性微分方程的区别2。1 线性微分方程在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或者两个以上的微分方程为偏微分方程。 如： 是常微分方程，是未
6、知函数，是自变量。是偏微分方程，是未知函数，、是自变量。本文将对常微分方程作讨论，以下统称微分方程。一般的阶微分方程具有形式 ， （1-1)如果方程(11）的左端为及的一次有理整式，则称(11）为线性阶微分方程.一般阶微分方程具有形式，这里是的已知函数。2。2 非线性微分方程不是线性微分方程的方程称为非线性微分方程。例如:是一阶非线性微分方程。，等为高阶非线性微分方程1。三、 非线性微分方程的解法3.1 利用初等积分与引入新变量法53。1.1 形如型的方程分两种情形若可以解出，写为,则通过次积分得通解或例如：型的方程，由上述思想可得：对两端积分，有：，再积分一次，得：，所以得方程的通解为：例3
7、。1 求二阶非线性微分方程的通解.解 依据题意，将原方程两端积分得：再积分一次得:所以方程的通解为:若不便从方程中解出时,有时可以写成参数方程也即，此时由得，最后的通解的参数表示为.例3.2 求的通解。解 此方程无法解出，引入参数，令，则，所以所以，又，再积分得,故得参数方程的通解为：3。1。2 形如型的方程这类方程的特点是不显含自变量。解法是令,且将取作自变量,则有，将以上各式代入原方程，得到对的阶方程:例3.3 求方程的解。解 此方程为不显含自变量,令，则，代入方程得，则得，或。前者对应解出；后者对应方程解得，对两边积分得，即，再积分得因此原方程的解是:及3。1。3 形如型的方程 例如：
8、型的方程,此类方程的特点是不显含未知数。解法是令,则得,故原方程变为,设其通解为,若的原函数为,则原方程的通解为: （注:对于，令，可以将方程化为不显含未知函数的，再令，即可以降低一阶。还有两种特殊观点下的（11）形的齐次型，可参阅文献5，见习题。）例3。4 求方程的解.解 此方程不显含,最低阶导数为，令,代入方程得，再令，代入上式整理得，积分得，即得，或，所以。所以原方程的解：3.2 首次积分法首次积分法。对于正规形的或称典范的（阶）微分方程组，只要满足解的存在性条件，则它的首次积分是存在的,若求得它的一个首次积分，则可以将它降低一阶，即化为一个个方程的求解问题：若能获得它的个函数无关的首次
9、积分，则可以将它降低阶，当时，就相当于得到了它的通解。具体的求法。是找“可积组合”,即将原方程组中一部分或者全部方程进行重新组合，以获得可积的一阶方程，又是先把原方程写成对称形式,再利用熟知的有关比例的性质，使得比较容易找出“可积组合”来.首次积分法能够将高阶方程不断降阶为低阶的方程，求出低阶方程，从而就可以求出高阶方程的解2.形如微分方程组 (31）定理3。15 设已知微分方程组（3-1）的个独立的首次积分，则它们构成方程组(3-1）的通积分(隐式通解）。若它们可解得含个任意常数的函数组则该方程组就是微分方程组（31）的通解.微分方程组（3-1)有时写成对称形式这样做的好处是自变量和因变量处
10、于平等的地位，便于求首次积分。例3.5 求方程组的解.解 将方程写成对称形式:，按照比例的性质，将上面的三个分式的分子、分母、分别相加；再将第一、二、三个分式，分别在分子分母上乘、，再分子相加分母相加,这样得：,显然找到了两个可积组合：，分别产生两个首次积分：,连立起来，即，为原方程组的隐式通解。3.3 常数变易法3.3。1 黎卡提方程的常数变易法 （3-2)这是黎卡提方程（下文会有说明）。根据常数变易法，先求它“对应”的齐次的解,令 （33)代入原方程，有：5分离变量得到:两边积分，求出 ，然后代入（3-3）得原方程的通解。 例3.6 求方程。解 先求它“对应”的齐次的解，令,代入原方程，有
11、:,两边积分，求出，然后代入中得到方程的解为 及(注：个别的一阶非线性微分方程,可用常数变易法求解。)3.3。2 形如的方程 （3-4）解法为:根据常数变易法,先求出原方程（33)式对应的齐次方程：的通解:，令, （35)将（3-5)代入（34）式有：,即，即，两边积分得，然后代入（3-5）得到原方程的通解为：例3.7 求方程的解。解 将原方程改写为，即，所以根据上述方法，先解齐次方程的通解为：,令，代入原方程得，即，两边积分得，（为任意常数)，且，代回原变量, 所以原方程得通解为:, （为任意常数）。3.3。3 形如所以型的方程 （36）解法为:先求（36）中对应的方程的通解为：，令,代入原
12、方程化简后得:,可以得出,所以得出（36）的通解为例3.8 求的解。解 依据上述的方法先解,得它的通解为:，令，代入原方程得：，所以得：所以原方程的通解为：3.3。4 形如型的方程解法为：的通解为，设原方程的通解为，代入原方程得，即，两边积分可得：，代入中可得:3.4 可化为线性方程法 有些微分方程,可以通过适当的代换或求导运算化为线性的微分方程，特殊类型采用特定方法，从而利用线性微分方程的的方法对原方程进行求解3.3。4。1 通过变换方程化为线性的方程例3。9 求微分方程的通解.解 原方程可以改写为，这是一阶线性方程，其通解为：3.4。2 通过求导运算化为线性方程的方程例3.10 求方程解.
13、解 对两边求导，得即， (37)先求出的通解为:,令， （38）两边求微分：， (3-9）将（38）、(3-9）代入（3-7）中得：,故,积分后得到：，故，故原方程的解为3.4。3 伯努力方程形如的方程，称为伯努力方程,其中、是在某个区间内的已知函数，对于这类方程，只要借助于变量代换,就可以化为线性方程。做变换，将上式变为，然后通过常数变易法求出解，显然也是解.例3.11 求方程的解。解 这是的伯努力方程，做变换，代入原方程得，这是以为未知数的线性方程，它的通解为，整理得，代回原变量，得到方程的通解为，即此外还有特解3.4.4 黎卡提方程形如 （310)的方程，称为黎卡提方程，其中、 是在某个
14、区间的已知函数，对于这类方程，解法为：设方程（3-10)的一个特解为，做变换，代入方程（3-10)，化简得，即变为伯努力方程，得出通解，在代入中，就可得到方程（3-10）的通解2.例3.12 求方程的解。解 将方程变换为，这是黎卡提方程,他有特解，做变换，代入方程得到，两边再积分得，此外也是解，所以代回原变量得,原方程的解为：，及3。4。5 形如或 型的方程 (311）对于（311）式是非线性方程时，我们将非线性化为线性问题求解4。解法为：对于函数关于变元和是非线性的.我们假设函数在的领域内关于和可展成泰勒级数，即: 略去关于和的高次项，就得到一个近似的二阶线性微分方程: (312）其中，.显
15、然，、 都是已知的连续函数，关于（3-12)的解法我们已经知道，所以方程（312）的解就是非线性方程（3-11）的近似解.例3.13 求非线性方程在领域内的近似线性方程。解 因为是解析函数。而,所以将在领域内展成幂级数，有，略去高次项，得到近似的线性方程为： 四、 结束语本文总结了，“利用初等积分法与引入变量法、“首次积分法”“常数变易法”、“化为线性微分方程求解法”等求解非线性常微分方程的方法，并以实例说明了各种方法的特点，学习了这些方法,对非线性方程解法的初步理解有推动作用，这些方法都是针对特殊类型的非线性常微分方程，对于同种类型的非线性常微分方程具有一定的可适性,可用于以后所涉及的同种类
16、型方程的求解.对于具体的复杂型非线性微分方程地求解方法，将于另文说明。参考文献1 王高雄，周之铭，朱思铭,等.常微分方程M.第三版。北京:高等教育出版社，2007，16-29.2 庄万。常微分方程习题解M。济南：山东科学技术出版社，2003。9（2004。4重印）.53-636.3 王寿生，李云珠，张肇炽，等。微积分解题方法与技巧M。西安：西北工业大学出版社,1988，142145。4 王光发，吴克乾,邓宗琦,等.常微分方程 M。第二版，湖南：湖南教育出版社，1988，131-132。5 钱祥征。常微分方程解题方法M。湖南:湖南省科学技术出版社,1987，109-141。6 任永泰，史希福，等
17、。常微分方程M.沈阳：辽宁人民出版社，1984，4-610致 谢本论文在刘老师的悉心指导下完成的。老师渊博的专业知识，严谨的治学态度,精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树立了远大的学术目标，掌握了基本的研究方法,还使我明白了许多待人接物、与人处事的道理。还要感谢和我同一设计小组的几位同学，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，同学们都不厌其烦的给予我帮助,使我能及时的发现问题把设计顺利的进行下去，同时我也从中体会到了合作的力量，没有你们的帮助我不可能这样顺利地结稿，在此表示深深的谢意.在历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，都在老师和同学的帮助下度过了，非常感谢刘老师和第六组的各位同学，以及帮助过我的各位老师,你们辛苦了，谢谢。