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1、做好中学数学建模2016 年即将推出的新修订的高中数学课程标准，最突出的变化是突出了“立德树人”的根本要求，在学科课程的学习中，通过落实学科核心素养的教与学来培养人和发展人。数学核心素养是具有数学基本特征的、后天形成的、可以通过数学学习过程培养的、适应个人终身发展和社会发展需要的关键能力与思维品质，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成了一个有机整体。作为数学核心素养之一，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程，主要包括：在实际情境中，从数学的视角发现问题，提出问题，分析
2、问题，建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。它是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。高中数学课程标准指出，通过高中数学课程的学习，学生能感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；加深对数学内容的理解；学会交流与合作；提升应用能力，增强创新意识和科学精神；认识数学建模在解决科学、社会、工程技术等问题中的作用。新的课程标准不仅对提升数学建模素养提出要求，而且进一步给出课时和学业质量标准方面的要求。作为一线教师，如何将提升学生数学建模素养的要求落实在日常教学中呢？数学建模
3、素养的形成，需要过程，需要积累，需要交流和反思，也需要问题和情境。为此，在具体教学中要特别注意以下几点。1.提高认识，勇于实践在上一轮的课程改革中，数学建模已经被写入高中课程标准，但由于没有课时安排、教学资源匮乏等，并未实际进入课堂。近几年，由于数学和数学应用的快速发展，数学建模成为大学理工科和部分文科专业的必修内容，成为创新人才培养的有效途径，成为改变学生学习方式、提升创新精神和实践能力的有效手段，因而不断得到重视。通过已有的建模实践，我们也深刻地感受到数学建模能很好地表现出“立德树人”的要求。做建模的过程，是教师和学生一起成长的过程。团队中的很多教师有这样的感受，困难是暂时的，资源和经验是
4、在参与中快速增长的，而学生的成长变化是每日可见的，是我们做建模的动力源。2.把握层次，及时渗透数学建模是新课标的核心素养，具有很强的综合性，与其他核心素养联系紧密、相互交融。数学建模素养的养成，需要一个渐进的而又有层次的过程，需要在各章节及内容上有意渗透，逐渐提升要求。因此，从数学应用渗透到完整的数学建模活动，包括以下层次：（1）为了帮助学生理解、建立概念、函数、定理、公式等而有意设计的实际情境。（2）直接套用数学概念、函数、定理、公式等，给出有实际意义的结果，或者解释、说明、得到结果的实际意义。（3）通过简单的变换，间接套用数学概念、函数、定理、公式等，给出有实际意义的结果。（4）教师或教材
5、给出实际问题，引领学生完成数学化的，简单、具体的数学应用。（5）教师或教材给出实际问题，学生自主完成数学化的，简单、具体的数学应用。（6）教师或教材给出问题情境，学生自主提出实际问题，师生一起完成“建立模型”和“模型求解”等主要过程的数学活动。（7）全过程（选题、开题、做题、结题）、学生部分自主（在发现提出问题、模型的选择和建立、求解模型、给出模型结果的解释等环节中，教师部分参与，给予指导和支持）的数学建模活动。（8）全过程、全自主（学生自主发现提出问题，自主完成数学化的建模过程，自主求解模型，自主给出模型结果的解释，在整个过程中，可以自主寻求教师的帮助）的数学建模活动。作为一线教师，应在日常
6、教学中有意完成（1）（2）（3）（4）的内容，可以在章节复习中出现（5）的要求。（6）（7）（8）是数学建模的专项要求，教材中会有体现，教师可根据学生的情况，选择做到一定程度，如可以只做到（6）的水平。此外，做好数学建模渗透，也要有意识地抓住“渗透点”。例如：（1）指数函数人口增长、指数爆炸。（2）有实际背景和意义的函数图像。（3）数列的通项与求和存款的本金和利息的计算。（4）分段函数邮费或打车费用的计算。（5）三角函数的应用有实际意义的高度、距离和角度的计算。（6）有实际意义的三角函数值、周期的计算或解释。（7）直线和二次曲线的实际意义（拱桥曲线、入射线、反射线等）。3.关注过程，积累资源高
7、中数学课程标准对“数学建模活动”提出了过程的要求，主要是指建模要以课题研究的形式来开展。课题可由教师给定，也可由学生与教师协商确定。课题研究的过程，包括选题、开题、做题、结题四个环节。学生要撰写开题报告，教师要组织开展开题交流活动。开题报告包括选题的意义、文献综述、解决问题思路、研究计划、预期结果等；做题就是解决问题的过程，包括描述问题、数学表达、建立模型、求解模型、得到结论、反思完善等过程；结题包括撰写研究报告和报告研究结果，由教师组织学生开展结题答辩。根据选题内容，报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作实物或研究论文等多种形式，而且学生也可以采取独立的方式或者小组合作的方式，完成课
8、题研究。学生的开题、解题报告，都是不可多得的建模再学习的资源，值得我们分析和挖掘。本文主要通过一组教学案例来表现以上的想法。建模活动案例 1：蚊香问题的开题讨论问题情境：市场中所卖某品牌的一片蚊香如图 1 所示。它的俯视外观图是一个近似的中心对称图形，我们也称这片蚊香的过对称中心的弦为“直径”。经测量，最大直径长为 119 毫米，最小直径长为 106 毫米。这一片蚊香可以打开、拆成形状一样但旋转方向相反的两盘蚊香。问：（1）每盘蚊香大致可以燃烧多长时间（精确到 0.1 小时）？（2）如果市场上需要此种品牌的持续燃烧时间分别为 4 小时、8 小时、10 小时的蚊香，分别计算它们对应的蚊香片的最大
9、直径（精确到 1毫米）。过程简介：（1）学生提供上网检索，或者自己购买一片蚊香做燃烧实验。经过实验，发现该蚊香的燃烧速度约为每小时 12 厘米。（2）开题。教师组织学生个人或小组讨论后，让学生努力给出解决问题的技术路线，在班内交流解决问题的大体思路，互相启发，互相质疑，从而提高解决问题的可行性。教师给学生比较充分的时间和机会表达不同的想法，学生会提出确定蚊香长度的各种模型和算法，此时教师应要求学生比较优劣，主要想法如表 1 所示。做题、结题环节从略。说明：这个案例是教师给出确定问题，用选题、开题、做题、结题四个环节来推进数学建模活动的一个案例。案例的重点是：表现学生在“开题”环节试图解决此问题
10、的不同思考。为了保证数学建模的效果，应特别注重过程和活动的设计，防止变成“讲练范式”，保障学生在建模过程中独立思考的机会和权利。报告（含测量方法、计算过程和计算的数据和结果）。活动过程：（1）选题：由教师给出原始问题教师可以对学生提出如下的要求和建议：成立工作小组，讨论小组的工作目标、分工，准备相应的测量工具（可以自制一些简单的测量工具，如测角的工具）。测量之前，应通过小组成员间的“头脑风暴”，讨论交流，明确测量方案，分工测量数据。最好有两套方案测量同一建筑物，思考如何才能减小误差。查阅有关资料，设法发现并提出一些测量效率高的新方法。分工合作，完成实际测量，及时记录好测量数据。完成计算和报告，
11、在课上交流，可用实物、照片、模型、PPT 等形式表现小组成果和创意。（2）开题：交流组织课堂上的开题交流，让学生分组讨论自己打算采用的测量方法，教师和其他同学可以提出质疑。例如，有的学生提出可以通过测量仰角来计算高度，有的学生提出可以利用太阳的影子来测量楼或旗杆的高度，有的学生提出可以用照相机拍一张测量对象和参照物如已知身高的人在一起的照片，通过参照物的高度按比例算出楼的高度。这时教师要适时追问、相互探讨，让学生明确测量要用到的数学模型，培养他们的良好的思维习惯和科研习惯。事先认真思考，可以减少实践过程中的盲目、低效和失误，也可以让学生意识到看似简单的问题中也有不少需要认真思考的事物。（3）做
12、题：实测测量实施的地点可以选择学校内外的开阔地带，如操场、停车场等，要求学生合作完成，但应独立地填写“测量报告”。可安排在统一的时间，这对教师的现场观察和管理有利。在学生测量过程中，教师要认真巡视，发现和记录态度认真、合作默契、测量方法好的测量小组和个人，特别注意观察和发现测量中的问题。不合理的测量方法，会造成测量结果出现很大的误差和严重失实。当学生出现类似问题时，教师要把它看成一个极好的教育契机，让学生对出现这样问题的原因进行分析和反思，引导他们发现问题，寻求解决问题的办法。而且，教师要仔细观察，认真记录测量现场学生比较好的创意和测量中的问题，以供讲评时使用。（4）结题交流和评价在学生完成“
13、测量报告”后，可安排一次交流讲评活动，安排报告的学生最好有特点，如测量结果准确、测量过程完整清晰、测量方法有创意、误差处理有手段、报告书写认真到位。实际上，这种交流讲评的环节往往是数学建模过程中让学生收获最大的环节。（5）生成可拓展的资源（师生共同提出测量后的拓展问题）这样的测量方法，对吗？全班中有一多半的学生，采用照相法测旗杆的高。要点如下：让一个已知身高 1.8 米的 A 学生站在旗杆下，拍一张照片，再从照片上“量出”旗杆有 7 个 A 学生的身高，于是就可以推断旗杆有71.8=12.6 米高。如果正确，为什么，原理是什么？如果不对，为什么，如何矫正？以下是测量后学生提出的新问题，同样可以
14、成为建模的新的生成性资源。本市的最高建筑物电视塔的高度是多少米？一座高度为 H 米的电视塔，它的信号传播半径是多少千米？信号覆盖面积有多大？找一张北京市的地图，看一看该市的地域面积有多少平方千米？电视塔的位置在地图的什么地方，根据计算得到的数据，看看这座电视塔发出的电视信号是否可以覆盖该市？。分析：测量楼高是一个很传统的数学应用问题，该课题对培养学生分析和解决问题、动手实践、误差分析等能力很有好处。测量的模型方法可以以几何为主，如比例线段、相似形等，也可以用三角方法，甚至可以用物理方法，如自由落体的记时、几何光学的双镜法等。因此，教师应鼓励学生合作学习，自主设计、选择测量方法解决问题。也可以提出这样的要求，用两种不同的方法测量同一对象。此案例是教师给出确定问题，内容贴近学生已经学过的知识，比较容易上手。不用“讲练”模式，而用选题、开题、做题、结题四环节来推进建模活动，是为了学生能有效地参与解决问题的过程。在合作交流中，通过想一想、选一选、议一议、说一说、做一做、讲一讲、评一评、比一比等形式，做中学，学中做，体会数学的应用价值，展现个性特长，尝试创新。通过建模案例，我们可以看到，要善于设计和组织有效的数学建模活动，让学生“卷入、投入、深入”其中，在活动中展示个性特长，表现智慧和创造力，激发兴趣，提升素养，更好地理解数学的作用和价值。