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1、几何证明角平分线模型几何证明角平分线模型(高级高级)【经典例题】【经典例题】例例 1 1、已知如图，ABC中，BC AC，AD平分CAB，若C 100，求证：AB AD CD。例例 2 2、如图，已知在ABC中，B 60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：AE CD AC。A AE EO OB BD DC C例例 3 3、如图，BD平分ABC，ADB 45，AE BC，求AED.A AD DB BE EC C例例 4 4、已知，如图ABC中，AD为ABC的角平分线，求证：ABDC ACBD例例 5 5、如图，已知P为锐角ABC内一点，过P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别为D，E
2、，F，BM为ABC的平分线，MP的延长线交AB于点N；如果PD PE PF，求证：CN是ACB的平分线。A AE EF FN NP PMMB BD DC C例例 6 6、如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB DC，ABC 80，E是腰CD上一点，连接BE、AC、AE，若ACB 60，EBC 50，求EAC的度数A AD DE EB B例例 7 7、已知：ABC中，AB BC，AC的中点为M，MN（1）如图 1，若ABC 60，求证：BA BC C CAC交ABC的角平分线于N3BN；（2）如图 2，若ABC 120，则BA、BC、BN之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明N NA A
3、N NA AMMMMC CB BC CB B【提升训练】【提升训练】1、在ABC中，AB AC，AD是BAC的平分线P是AD上任意一点求证：AB AC PB PCA AP PB BD DC C2、如图，在ABC中，A等于60，BE平分ABC,CD平分ACB，求证：DH EH。A AD DH HB BE EC C3、如图所示，在ABC中，AD平分BAC，AD AB，CM AD于M，求证：AB AC 2AM。A AB BD DMMC C4、已知I是ABC内角平分线的交点，AI交对应边于D。求证：AIAB AC。IDBCA AI IB BD DC C5、（1）如图，BD、CE分别是ABC的外角平分线
4、，过点A作AF BD，AG CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，求证：FG 1AB BC AC。2（2）若BD、CE分别是ABC的内角平分线（如图（2），过点A作AF BD，AG CE，垂足分别为F、G，连接FG，线段FG与ABC三边有怎样的数量关系？；（3）若BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线（如图（3），过点A作AF BD，AG CE，垂足分别为F、G，连接FG，则线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？A AD DF FG GA AE EG GB B(1)(1)E EA AD DF FC CB B（3 3）E ED DF FC CG GC C
5、B B(2)(2)6、如图，已知BD，CE为ABC的角平分钱，F为DE的中点，点F到AC，AB，BC的距离分别为15FG a，FH b，FM c，若c2c 2ab m2 2m 0。221（1）求a，b，c，m的值；（2）求证：DG(BC CD)。4A AH HE EF FG GD DB BMMC C7已知如图，CD是RtABC斜边上的高，A的平分线交CD于H，交BCD的平分线于G，求证：HF/BC8如图，BD、CE 为 ABC 的两条内角平分线，K 为 ED 的中点，KFAB 于 F，KGAC 于 G，KHBC 于 H，求证：KF+KG=KH9已知AC BC，ACB 90，DCB 15，BD
6、CD，CE AD于点E，求证：BC 2CE10（1）如图 1，BP 为 ABC 的角平分线，PMAB 于 M，PNBC 于 N，AB=30，BC=23，请补全图形，并求 ABP 与 BPC 的面积的比值；（2）如图 2，分别以 ABC 的边 AB、AC 为边向外作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，CD 与 BE 相交于点 O，判断AOD 与AOE 的数量关系，并证明；（3）在四边形 ABCD 中，已知 BC=DC，且 AB AD，对角线 AC 平分BAD，请直接写出B 和D 的数量关系11（1）已知：如图 1，Rt ABC 中，ACB=90，BAC=60，CD 平分ACB，点 E 为
7、AB 中点，PEAB交 CD 的延长线于 P，猜想：PAC+PBC=（直接写出结论，不需证明）（2）已知：如图2，Rt ABC 中，ACB=90，BAC 45，CD 平分ACB，点 E 为 AB 中点，PEAB 交 CD的延长线于 P，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由12如图 1，分别过线段 AB 的端点 A、B 作直线 AM、BN，且 AMBN，MAB、NBA 的角平分线交于点 C，过点 C 的直线 l 分别交 AM、BN 于点 D、E（1）求证：ABC 是直角三角形；（2）在图 1 中，当直线 lAM 时，线段 AD、BE、AB 之间有怎样的数量关系？证明你的猜想；
8、（3）当直线 l 绕点 C 旋转到与 AM 不垂直时，在如图 2、3 两种情况下，（2）中的三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并选择一种情况给予证明13如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，AE 平分BAC，交 CD 于 K，交 BC 于 E，F 是 BE 上一点，且 BF=CE，求证：FKAB14在ABC中，AD 是BAC 的平分线（1）如图，求证：SABDSAB；ACDAC（2）如图，若 BD=CD，求证：AB=AC；（3）如图，若 AB=5，AC=4，BC=6求 BD 的长15如图，在ABC中，ABC=90，D 为 BC 上一点，在ADE 中，E=C，1
9、=90 EDC求证：（1）1=2；（2）ED=BC+BD16如图，一个直角三角形纸片的顶点 A 在MON 的边 OM 上移动，移动过程中始终保持 ABON 于点 B，ACOM 于点 AMON 的角平分线 OP 分别交 AB、AC 于 D、E 两点（1）点 A 在移动的过程中，线段 AD 和 AE 有怎样的数量关系，并说明理由（2）点 A 在移动的过程中，若射线 ON 上始终存在一点 F 与点 A 关于 OP 所在的直线对称，判断并说明以 A、D、F、E 为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？（3）若MON=45，猜想线段 AC、AD、OC 之间有怎样的数量关系，只写出结果即可不用证明17定义：到凸
10、四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图 1，PH=PJ，PI=PG，则点 P 就是四边形 ABCD 的准内点（1）如图 2，AFD 与DEC 的角平分线 FP，EP 相交于点 P求证：点 P 是四边形 ABCD 的准内点（2）分别画出图 3 平行四边形和图 4 梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”任意凸四边形一定存在准内点（）任意凸四边形一定只有一个准内点（）若 P 是任意凸四边形 ABCD 的准内点，则 PA+PB=PC+PD 或 PA+PC=PB+PD（）18如图，已知平行四边形 ABC
11、D 中，AE 平分BAD 交 DC 于 E，DFBC 于 F，交 AE 于 G，且 AD=DF过点 D 作 DC 的垂线，分别交 AE、AB 于点 M、N（1）若 M 为 AG 中点，且 DM=2，求 DE 的长；（2）求证：AB=CF+DM19如图，在平行四边形 ABCD 中，BAD、ABC 的平分线 AF、BG 分别与线段 CD 交于点 F、G，AF 与 BG 交于点 E（1）求证：AFBG，DF=CG；（2）若 AB=10，AD=6，AF=8，求 FG 和 BG 的长度20、平行四边形ABCD中，AB3，ABC的平分线交AD于点E，BCD的平分线交AD于点F，BC41BE、CF交于点G，若FG BC。求证：BE2 3CF2。4A AF FE ED DG GB BC C21、如图，在ABC中，D是BAC外角平分线上一点，求证：AB AC DB DC。D DA AB BC C22在 ABCD 中，BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F（1）在图 1 中证明 CE=CF；（2）若ABC=90，G 是 EF 的中点（如图 2），直接写出BDG 的度数；（3）若ABC=120，FGCE，FG=CE，分别连接 DB、DG（如图 3），求BDG 的度数