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1、第 30课_正余弦定理及其简单应用 _1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.能运用正余弦定理解决三角形中的有关问题.1.阅读：必修5第 517 页2.解悟：正余弦定理的内容是什么？三角形的面积公式是什么？你会证明吗？正余弦定理可以解决哪些类型的斜三角形；第 10页例5中所证明的结论是一个什么定理？你会证明吗？你会使用吗？重解第16页例5和例6，体会方法和规范3.践习：在教材空白处，完成第10页练习第4、5题；第15页练习第3、4、5题；第16页练习第1、2、3题；第17页习题第5、6、10题.基础诊断1.在ABC 中，若b2，A，B，则BC_ 6_34322bsinA
2、解析：因为b2，A，B，所以由正弦定理得BC4 6.3sinB222.在ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 a2b2c2bc，bc4，则ABC 的面积为_ 3_1222解析：因为a bc bc，所以cosA，A.又 bc 4，所以23 3.1ABC 的面积为 bcsinA23.在ABC 中，已知A，c3a，则ABC 的形状是_等腰三角形或直角三角形6_32解析：A，c 3a，所以sinC 3sinA.因为0C，所以 C 或.当 C 时，623332ABC 为直角三角形，当C时，ABC 为等腰三角形34.在ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足csinA
3、acosC，则角C_ _4ac，所以sinCsinAsinAcosC.又因为A(0，)，所以解析：由正弦定理可得 sinAsinC，所以，即 因为，所以sinA0sinCcosCtanC1.C(0)C.4范例导航考向直接用正、余弦定理解三角形例 1在平面四边形ABCD 中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若 DC2 2，求BC.BDAB解析：(1)在ABD 中，由正弦定理得sinA.sinADB52由题设知sin45，sinADB2所以sinADB.5由题设知0 ADB90，所以cosADB2231.2552(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB5.2
4、252 225，所以BC5.5在BCD 中，由余弦定理得 BC2BD2DC22BDDCcosBDC2581在ABC 中，a7，b8，cosB.7(1)求角A 的大小；(2)求 AC 边上的高解析：(1)在ABC 中，1因为cosB，7所以B，2所以sinB 1cos2B4 3.7ab78由正弦定理得sinA，即，sinBsinA4 373所以sinA.2因为B，0，所以，所以A，A22.3314 33 317.(2)在ABC 中，sinCsin(AB)sinAcosBsinBcosA22714如图所示，在ABC 中，h3 33 33 3因为sinC，所以hBCsinC7，所以AC 边上的高为.
5、BC1422【注】本例主要训练解三角形时，已知两边及其一边所对的角时用正弦定理；已知两边及其夹角时用余弦定理.另外，注意互余的两个角的正余弦关系.考向边角互化例 2在ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，bsinC2csinBcosA0.(1)求 A 大小；(2)若 a2 3，c 2，求ABC 面积S 的大小解析：(1)方法一(边化角)：由 bsinC2csinBcosA0得sinBsinC2sinCsinBcosA0.因为B，C(0，)，所以sinB0，sinC0，1所以cosA.22又 A(0，)，所以A.3b2c2a2方法二(角化边)：由bsinC2csinBcosA0得
6、bc2bc2bc0，1222所以bcbc a 0，所以cosA.22又 A(0，)，所以A.3b2c2a21b2412(2)由余弦定理得cosA2bc，即24b，解得b2或 b4(舍去)，112所以SABC bcsinA22sin 3.223在ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且bcosAacosB2c.(1)证明：tanB3tanA；(2)若 b2c2a2 3bc，且ABC 的面积为 3，求a的值解析：(1)根据正弦定理，由已知得：sinBcosAcosBsinA2sinC2sin(AB)，展开得sinBcosAcosBsinA2(sinBcosAcosBsinA)，整理得
7、sinBcosA3cosBsinA，由题意知cosB0，cosA0，所以tanB3tanA.(2)由已知得b2c2a2 3bc，b2c2a23bc3所以cosA2bc2bc2，3由 0A 得 A，所以tanA.63由(1)知tanB 3.2由 0B 得 B，3所以C，62故该三角形是顶角为的等腰三角形，且ac.312132由 S acsin a 3得 a2.2322【注】本例主要用于训练条件中既有边又有角时，统一角(边)，可采用角化边或边化角思想.另外，条件中有切有弦时用切化弦的思想.在化简式子过程中约去一个式子(数)，根据角的范围来确定式子(数)是否为零考向含角平分线或中线的边角求解例 3在
8、ABC 中，D是 BC 上的点，AD 平分BAC，BD2DC.sinB(1)求sinC；(2)若BAC60，求角B 的大小ADBD解析：(1)由正弦定理得sinB，sinBADADCD.sinCsinCAD因为AD 平分BAC，BD2DC，所以sinBDC1.sinCBD2，(2)因为C(BACB)，BAC331所以sinCsin(BACB)cosBB.22sin3由(1)知 2sinBsinC，所以tanB3.因为0B0)，所以cosC2ab4k29k216k211，即最大角的余弦值为.12k2442.在ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若a3，C120，ABC 的15 3
9、面积S4，则c_7_15 315 311解 析：因 为a3，C120，ABC 的面积S，所以sinC3bsin120，442ab25.由余弦定理可得c2a2b22abcosC9252153.已知在ABC 中，AB 3，BC1，A30，则AC_1 或 2_解析：因为在 ABC 中，AB 3，BC1，A30，由余弦定理可得 BC2AB2AC22ABACcosA，即AC23AC20解得AC1或 2.4.在ABC 中，已知a2tanBb2tanA，则ABC 的形状是_等腰三角形或直角三角形_则 c7.解得b149，2解析：因为 a2tanBb2tanA，所以 a2sinB2sinAsinB2cosBb
10、cosA，由正弦定理可得sinAcosBsinAsinAsinB2又因为，所以，所以，即，sinB.AB(0)sinAsinB0cosAcosBcosAsinAcosAsinBcosB即sin2Asin2B，因为A，B(0，)，所以2A2B或 2A2B，即AB 或 AB，2所以ABC 为等腰三角形或直角三角形1.已知三角形的三边或两边和它们的夹角，适合用余弦定理求解，同时要注意方程思想的运用若已知条件中涉及边的平方关系或角的余弦，通常也用余弦定理2.正弦定理一般解决两类问题：已知两角和任一边，求解三角形；已知两边及其中一边的对角，求解三角形第类问题也可以用余弦定理解用正弦定理解，需注意对解的情况的讨论3.解三角形时要合理地进行边角互化，若已知条件中有边、角混合的式子，通常要化异为同，体会等价转化的数学思想4.你还有哪些体悟，写下来：