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1、第6章数列第一节数列的概念与简单表示法最新考纲1.了解数列的概念和几种简单的表示方法解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.（列表、图像、通项公式）.2.了1.数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个 数列的项.（2）数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法.2.数列的分类分类标准启穷数列项数递增数列递减数列单调性常数列无穷数列满足条件项数有限项数无限an+1chan+1：&an+1=an=c（常数其中nC N*）从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一摆动数列项的数列3.数列的通项公式如果数列an的第n项与序
2、号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做 这个数列的通项公式.4.数列的递推公式如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前 一项胡1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，公式.递推公式也是数列的一种表示方法.那么这个公式就叫做这个数列的递推5.an与S的关系若数歹U an的前n项和为4,通项公式为an,S1n=1,则an=S$1n2常用结论.1.数列an是递增数列？an+1an恒成立.2.数列an是递减数列？an+1an恒成立.一、思考辨析(正确的打，错误的打“X”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.(2)根据数列的前几项归纳出的数列
3、的通项公式可能不止一个.()(如果数列an的前n项和为S,则对任意ne N,都有an+i=&+i&.)()1(4)若已知数列an的递推公式为an+1=石U，且a2=1,则可以写出数列an的任何一项.答案(1)X(2)V(3)V(4)V二、教材改编1.数列一1,的一个通项公式为(23 45“,1A.an=nB.an=(1)_1D.an=-nB.1n1)一nC.an=(-1)nn+1B由a=1,代入检验可知选12.在数列an中，已知a1=-A-3B.234an+1=1一,则as=(C.5a2=1-=5,a1a3=1-1=1a25 5J3.把3,6,10,15,21,这些数叫做三角形数，这是因为以这
4、些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示).则第6个三角形数是(A 27B.28D.30C.29B由题图可知，第6个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.4.已知数列an中，H=1,32=2,以后各项由an=an1+an 2(n 2)给出)则as=8 a3=a2+ai 3,a4=a3+=a2=5,a5=a4+a3=8.。考点1由数列的前n项归纳数列的通项公式解答具体策略：相邻项的变化规律；各项的符号规律和其绝对值的变化规律；分式中分子、分母的变化规律，分子与分母之间的关系；合理拆项；结构不同的项,化异为同.根据下面各数列前n项的值，写出数列的一个通项公式.13L至31.(i)4 8 16
5、 322,-9-25(2)2,2,8,-2,；(3)5,55,555,5555，；(4)1,3,1,3,；()3，15，35，63，99，(6)-1,1,-2,2,-3,3,.解(1)数列中各项的符号可通过(1)-表示.每一项绝对值的分子比分母少12 4 68101,而分母组成数列z 2*,2,，1342 1+所以an=(-1)-2-n+1n(2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即1 4 9 16252,2,-2,-2,，分子为项数的平万，从而可得数列的一个通项公式为na2n=-.n(3)将原数列改写为|x 9,5X99,5X999,，易知数列9,99,9
6、99,的通项为10 9 99-1,故所求的数列的一个通项公式为.an=-(10-1).91,偶数项是3,所以数列的一个5nn(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是通项公式为an=2+(1).n(5)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1X3,3X5,5X7,7X9,9X11,，每一项都是两个相邻奇数的乘积，相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为分子依次为2,4,6,，2nan=-.2n-12n+1n+1一(6)数列的奇数项为一1,2,3,可用一2表不，数列的偶数项为1,2,3,可用n表示.n+1n为奇数因此ann n为偶数T(3).T(6),(1)记住常见数列的通项公
7、式，有些数列可用常见数列表示，如(2)对于奇数项和偶数项不能用同一表达式表示的数列，可用分段函数表示，如。考点2由an与3的关系求通项公式已知S求an的三个步骤(1)先利用ai=Si,求出ai；(2)用n-1替换S中的n得到一个新的关系，利用an=&i(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与2n2的表达式合并.(1)若数列an的前n项和S=3n2n+1,则数列an的通项公式an=.(2)(2018 全国卷I)记&为数列an的前n项和.若$=2an+1,则&=.(3)已知数列an满足a+2a2+3a3+nan=2n,则an=.2,n=1(2)63(3)2,n
8、2n12,n=1(1)n2(1)当n=1时，a1=S1=6n5,n2 2X1+1=2;22当n2时，an=S一$1=3n2n+1 3(n 1)2(n 1)+1=6n5,显然当n=1时，不满足上式.一，,=，故数列的通项公式为an2n16n5,n2.(2)由Sn=2a+1得S1=2a1+1,即ai=2a1+1,解得a1=一1.又Sn 1=2an 1+1(n2),所以an=2an 2an 1,即an=2an 1.一.一1X1 2A所以数列an是首项为一1,公比为2的等比数列，所以&=-丁=-=1-26=61 2-63.(3)当n=1时，由已知,可彳导a1=21=2,n.a+2&+3a3+nan=2
9、,故a+2a2+3a3+(n 1)an-1=2由一得nan=2n2 T=2nT,n(n 2)n12 an=(n2).显然当n=1时不满足上式,2,n=1,an=2,n2.n，_n 1an=$1只适用于n2的情形，易忽略求ai,造成错解，如T(i),T(3).1.(2019 郑州模拟)已知&为数列an的前n项和,且log2(S+1)=n+1,则数列an的通项公式为.3,n=1才=2n2由log2(S+1)=n+1得S+1=2+1,即S=2+11.nn当n=1时，a1=S=2*1 1=3.当n 2时，an=Sn Sn-1=(2 1)(2 1)=2,显然a1=3不满足上式，所以an=2.已知数列an
10、的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意ne N,均有2S=an+an,贝fan=.n由2Sn=an+an得2Sn-1=an-1+an 1).2 an=an 01-1+an an 1)222 23,n=1,n2,n2.即an an-1=an+an-1,又an 0)anan-1=1)又2s=a2+a1,解得a1=1,数歹Uan是首项为1,公差为1的等差数列.an=1+(n 1)x 1=n.。考点3由递推公式求数列的通项公式由数列的递推公式求通项公式的常用方法(1)形如an+1=an+f(n),可用累加法求an.(2)形如an+1=anf(n),可用累乘法求an.(3)形如an+1=Aa+E(A
11、wo且Aw 1),可构造等比数列求一，Aa(4)形如an 1=可通过两边同时取倒数，构造新数列求解.+an.Ba+C者向1形如an+1=an+f(n),求an*在数列an中,d=2,an+1=an+3n+2(nC N),求数列an的通项公式.解an+1-an=3n+2,/.an-an i=3n-1(n2),an=(an-ani)+(an-1 an 2)+(a2-ai)+ai=(3n-1)+(3n-4)+-+8+5+2n3n+12-an=|n+.2n求解时,易错误地认为an=(anan-)H-(an-an-)+(a2 a)造成错解.i121若向2形如an+i=anf(n),求an已知数列an满足
12、ai=4,an+i=nan,求数列an的通项公式.n+2nn,口an+1解 由an+i=nq-2anan n+得ann-1更二中2,(2)anan-1an-2a3a2,an=a1a1a-X-X2X1X4=n+1n即an=8a2ain n+1n-1n-2nn3n+1n-1n n+1anan-1求解时易错误地认为an=an 2an-3生，造成错解.史aiana者向3形如an+i=Aa+B(Awo且Awl),求a2已知数列an满足ai=1,an+i=3an+2,求数列an的通项公式.解an+1=3an+2,an+1+1=3(an+1),故数列an+1是首项为2,公比为3的等比数列,_ n 1.an+
13、1=2-3,因此an+i=Asn+B可转化为an+i+k=A(an+k)的形式，其中k可用待定系数法求出.1.(2019-模拟)已知数列an满足ai=2,an+i=an+21,则an=nan=2 3 T 1.n2+n由an+i=an+2+1得an+1 an=2+1,.anan1=2+1(n2),an=(an an i)+(ann2i an 2)+(a3a2)+(a2 ai)+ai=2-+2-+2+1+(n1)+21 221n3一+n+1=2I 2+n,即an=2一+n.n2.已知数列an满足ai=1,an+i=2nan,则an=an+1 2 an,=2=2n,.$=2-5*anan1anan-
14、1an=,An 1An21=夕+3+T)=2,(n2即an=2.3.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+3,则an=.2-3 由an+1=2an+3得an+1+3=2(an+3).又a1=1,n+1a1+3=4.故数列an+3是首项为4,公比为2的等比数列，.an+3=4.2 T=2+1an=2-3.。考点4数列的周期性先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期求值.nnn+112an,0an2,数列an满足a+1=a1则数列的第2 020项为.2an1,2van-2-v3,、3 3a4=厂厂=0,1+;13X 3即数列an是周期为3的周期数列,且a1+a2+as=0,
15、则S020=S3X673+1=ai=0.求解时，易算错数列的周期，可计算数列的前几项，直至找到和数列的周期为k-1.教师备选例题ai相同的项as则1已知数列an满足an 1=-，若a1=2,则a2 020=(1 an1B.A.1D.2C.12+1411B由82an+1=-,得a2=1 a=2,a3=-=-1,a4=-=,a5=-1-a11a2 1 a32 1-a41ay.=2,，于是可知数列an是以3为周期的周期数列，因此1.已知数列an满足a11,an+1an2al 1(nN)22a2 020=a?x673+1=a2 0200 -a1=1,an+1=an 2an+1=(an 1),a2=(a1 1)2=0,a3=(1)2=1,&=(a31)2=0,，可知数列an是以2为周期的周期数列，a2 020=a2=0.2.（2019青岛模拟）已知数列2 008,2 009,1,-2 008,，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 020项之和S2 020=.3 010由题意知a1=2 008,a2=2 009,a3=1,a4=2 008,a5=2 009,a6=-1,a7=2 008,as=2 009,，因此数列是以6为周期的周期数列，且ada?+a6=0,S2 020=&X 336+4=336X0+a1+a2+a3+a4=2 010.