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1、新高考新高考 20222022 版高考数学二轮版高考数学二轮复习主攻复习主攻 4040 个必考点解析几何个必考点解析几何考点过关检测二十五理考点过关检测二十五理考点过关检测二十五考点过关检测二十五x x2 2y y2 21.1.椭圆椭圆C C：2 22 21(1(a a b b0)0)的的a ab b左、右焦点分别为左、右焦点分别为F F1 1，F F2 2，以，以F F1 1F F2 2为直径的圆与直线为直径的圆与直线axax2 2byby 3 3abab0 0 相切相切(1)(1)求椭圆求椭圆C C的离心率；的离心率；(2)(2)如图，如图，过过F F1 1作直线作直线l l与椭圆分别交于
2、与椭圆分别交于P P，Q Q两点，两点，假设假设PQFPQF2 2的周长为的周长为 4 4 2 2，求求F F2 2P PF F2 2Q Q的的最大值最大值|3 3abab|解：解：(1)(1)由题意知由题意知2 22 2c c，a a4 4b b即即 3 3a a b bc c(a a4 4b b)(a ab b)()(a a4 4b b2 2)2 2化简得化简得a a2 2b b，所以，所以e e.2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2(2)(2)因为因为PQFPQF2 2的周长为的周长为 4 4 2 2，所以所以 4 4a a4 4 2 2，得，得a a 2
3、2，由由(1)(1)知知b b1 1，所以椭圆，所以椭圆C C的方程为的方程为 y y2 22 2x x2 22 22 21 1，且焦点为，且焦点为F F1 1(1,0)1,0)，F F2 2(1,0)(1,0)，假设直线假设直线l l的斜率不存在，那么直线的斜率不存在，那么直线l lx x轴，直线方程为轴，直线方程为 2 2 2 2 x x1 1，P P 1 1，Q Q 1 1，F F2 2P P2 2 2 2 7 72 2 2 2 2 2，F F2 2Q Q 2 2，故，故F F2 2P PF F2 2Q Q.2 22 2 2 2 假设直线假设直线l l的斜率存在，的斜率存在，设直线设直线
4、l l的方程的方程为为y yk k(x x1)1)，y yk k x x1 1，由由 2 22 2 x x2 2y y2 22 22 22 2消去消去y y并整理得，并整理得，2 2(2(2k k1)1)x x4 4k k x x2 2k k2 20 0，设设P P(x x1 1，y y1 1)，Q Q(x x2 2，y y2 2)，4 4k k2 2k k2 2那么那么x x1 1x x2 22 2，x x1 1x x2 22 2，2 2k k1 12 2k k1 1F F2 2P PF F2 2Q Q(x x1 11 1，y y1 1)()(x x2 21 1，y y2 2)(x x1 1
5、1)(1)(x x2 21)1)y y1 1y y2 2(k k2 21)1)x x1 1x x2 2(k k2 21)(1)(x x1 1x x2 2)k k2 21 12 22 23 3 4 4k k 2 2k k2 22 22 2 (k k1)1)2 2(k k1)1)k k2 22 2k k1 1 2 2k k1 1 2 22 22 21 17 7k k1 17 79 92 2，2 22 2k k1 12 22 2 2 2k k1 1 7 7由由k k00 可得可得F F2 2P PF F2 2Q Q 1 1，.2 2 2 22 27 7综上所述，综上所述，F F2 2P PF F2
6、2Q Q 1 1，2 2 7 7所以所以F F2 2P PF F2 2Q Q的最大值是的最大值是.2 2x x2 2y y2 21 12 2 椭圆椭圆C C：2 22 21(1(a a b b0)0)的离心率的离心率e e，a ab b2 2抛物线抛物线E E：y y4 4x x的焦点恰好是椭圆的焦点恰好是椭圆C C的右焦点的右焦点2 2F F.(1)(1)求椭圆求椭圆C C的标准方程；的标准方程；(2)(2)过点过点F F作两条斜率都存在的直线作两条斜率都存在的直线l l1 1，l l2 2，l l1 1交椭圆交椭圆C C于点于点A A，B B，l l2 2交椭圆交椭圆C C于点于点G G，
7、H H，假设假设|AFAF|是是|AHAH|FHFH|与与|AHAH|FHFH|的等比中的等比中项，求项，求|AFAF|FBFB|GFGF|FHFH|的最小值的最小值4 4解：解：(1)(1)依题意得椭圆依题意得椭圆C C的右焦点的右焦点F F的坐标的坐标c c1 12 2为为(1,0)(1,0)，即即c c1 1，又又e e ，a a2 2，b b3 3，a a2 2故椭圆故椭圆C C的标准方程为的标准方程为 1.1.4 43 3(2)(2)|AFAF|是是|AHAH|FHFH|与与|AHAH|FHFH|的等的等比中项，比中项，|AFAF|AHAH|FHFH|，即即|AFAF|FHFH|AH
8、AH|，直线直线l l1 1l l2 2.又直线又直线l l1 1，l l2 2的斜率均存在，两直线的斜的斜率均存在，两直线的斜率都不为零，率都不为零，故可设直线故可设直线l l1 1：x xkyky1(1(k k0)0)，直线，直线l l2 2：2 22 22 22 22 22 2x x2 2y y2 2x xy y1 1，A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y2 2)，G G(x x3 3，y y3 3)，k kH H(x x4 4，y y4 4)，1 1 1 1，由由 4 43 3 x xkyky1 12 22 2x xy y 消去消去x x，得，得(3(3k
9、 k4)4)y y2 22 25 56 6kyky9 90 0，6 6k k y y1 1y y2 2，2 2 3 3k k4 4 9 9 y y1 1y y2 22 2，3 3k k4 4 2 22 22 23 3同同理理得得 y y3 3y y4 46 6k k2 2，3 34 4k k 9 9k k2 2 y y3 3y y4 42 2.3 34 4k k 2 22 21 12 2|AFAF|FBFB|2 2 x x1 11 1 y y x x2 21 1 y y(1(1k k)|)|y y1 1y y2 2|，|GFGF|FHFH|x x3 31 1 y y x x4 41 1 y y
10、 1 1 1 12 2|y y3 3y y4 4|，k k 2 22 22 24 4|AFAF|FBFB|GFGF|FHFH|(1(1 1 1 9 92 2k k)|)|y y1 1y y2 2|1 12 2|y y3 3y y4 4|(1(1k k)2 2k k 3 3k k4 4 2 22 2 1 11 11 1 9 9k k2 2 1 12 2 2 22 2 2 29(19(1k k)k k 3 34 4k k 3 3k k4 43 34 4k k 6 66363 1 1k k 2 2 2 22 21212 1 1k k k k2 2 2 263631212k k2 22 2 2 212
11、126363 1 1k k k k2 22 2k k2 21 11 13636.1 17 712122 22 2当且仅当当且仅当k k1 1 时取等号，时取等号，3636故故|AFAF|FBFB|GFGF|FHFH|的最小值为的最小值为.7 72 26363x xy y3 3(2022江门模拟(2022江门模拟)椭圆椭圆2 22 21(1(a a b b0)0)a ab b的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1和和F F2 2，由，由 4 4 个点个点M M(a a，2 22 2b b)，N N(a a，b b)，F F2 2和和F F1 1组成了一个高为组成了一个高为 3 3，面积
12、，面积为为 3 3 3 3的等腰梯形的等腰梯形(1)(1)求椭圆的方程；求椭圆的方程；(2)(2)过点过点F F1 1的直线和椭圆交于的直线和椭圆交于A A，B B两点，两点，求求F F2 2ABAB面积的最大值面积的最大值2 2a a2 2c c解：解：(1)(1)由条件，得由条件，得b b 3 3，且，且 3 32 27 73 3 3 3，所以所以a ac c3.3.又又a a2 2c c2 23 3，解得，解得a a2 2，c c1 1，所以椭圆的方程为所以椭圆的方程为 1.1.4 43 3(2)(2)显然，直线的斜率不能为显然，直线的斜率不能为 0 0，设直线方程为设直线方程为x xm
13、ymy1 1，A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，x x2 2y y2 2y y2 2)1 1，联立联立 4 43 3 x xmymy1 16 6mymy9 90.0.2 22 2x xy y 消去消去x x，得得(3(3m m4)4)y y2 22 2因为直线过椭圆内的点，因为直线过椭圆内的点，所以无论所以无论m m为何值，直线和椭圆总相交为何值，直线和椭圆总相交6 6m m9 9所以所以y y1 1y y2 22 2，y y1 1y y2 22 2.3 3m m4 43 3m m4 41 1S SF F2 2ABAB|F F1 1F F2 2|y y1 1y y2
14、2|y y1 1y y2 2|2 28 8 y y1 1y y2 2 4 4y y1 1y y2 212124 42 2m m1 12 22 2 3 3m m4 4 m m2 21 12 2 2 21 1 2 2 m m1 1 3 3 4 41 12 21 1m m1 1 2 23 39 9 m m1 1 2 22 2.1 1令令t tm m11，11，设设y yt t，易知易知t t11，9 9t t)时，函数单调递增，)时，函数单调递增，1010所以当所以当t tm m1 11 1，即，即m m0 0 时，时，y yminmin，9 92 2S SF F2 2ABAB取得最大值取得最大值
15、3.3.4.(2022济南模拟4.(2022济南模拟)如图，在平如图，在平面直角坐标系面直角坐标系xOyxOy中，抛物线中，抛物线C C1 1：x x2 24 4y y，直线，直线l l与抛物线与抛物线C C1 1交于交于A A，B B两点两点1 1(1)(1)假设直线假设直线OAOA，OBOB的斜率之积为的斜率之积为，证，证4 4明：直线明：直线l l过定点；过定点；9 9(2)(2)如图，假设线段如图，假设线段ABAB的中点的中点M M在曲线在曲线C C2 2：1 12 2y y4 4x x(2 222x x20.)0.设设A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y
16、2 2)，那么，那么x x1 1x x2 24 4k k，x x1 1x x2 24 4m m，1 12 21 12 2x x1 1x x2 24 4y y1 1y y2 24 4x x1 1x x2 2所以所以k kOAOAk kOBOBx x1 1x x2 2x x1 1x x2 21616m m1 1m m1 1，因为，因为k kOAOAk kOBOB，所以，所以 ，解得，解得m m4 44 44 44 41 1，满足，满足00，1010所以直线所以直线l l的方程为的方程为y ykxkx1 1，直线，直线l l过过定点定点(0,1)(0,1)(2)(2)设设M M(x x0 0，y y
17、0 0)，由及，由及(1)(1)，得，得x x0 02 2k k，y y0 0kxkx0 0m m2 2k km m，1 12 2将将(x x0 0，y y0 0)代入代入y y4 4x x(2 2 22x x22 2)2)，4 41 12 22 2得得 2 2k km m4 4(2(2k k)，即，即m m4 43 3k k.4 42 22 2x x1 1x x2 22 2因为因为2 2 22x x0 022 2 2，所以所以2 2 2222k k22 2 2，得，得 22k k 0)0，所以所以 22k k 2 2，所以所以k k的取值范围是的取值范围是(2 2，2)2)|ABAB|1 1k k2 2 x x1 1x x2 2 2 24 4x x1 1x x2 22 22 22 22 21 1k k2 22 21616 k km m 2 24 42 2 k k1 1 2 2k k 1111 k k1 1 2 2k k 44 2 26 6 2 2，2 22 2当且仅当当且仅当k k1 12 2k k，即，即k k(2 22 22 22 22 22 2，2)2)时取等号，时取等号，所以所以|ABAB|的最大值为的最大值为 6 6 2.2.1212