《函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结.pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一一.概念概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1 1、周期函数的定义：、周期函数的定义：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周
2、期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（kZ,k 0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期。分段函数的周期：分段函数的周期：设y f(x)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:y f(x),xa,b,T b a。把y f(x)沿x轴平移KT K(b a)个单位即按向量a (kT,0)平移，即得y f(x)在其他周期的图像：y f(x kT),xkT a,kT b。xa,bf(x)f(x)f(x kT)x kT a,kT b2 2、奇偶函数：、奇偶函数：设设y f(x),xa,b或xb,aa,b若若f(x)f(x),则称y f(x)为奇函数；若若f(x)f(x)则称y
3、 f(x)为偶函数。分段函数的奇偶性分段函数的奇偶性3 3、函数的对称性：、函数的对称性：（1 1）中心对称即点对称：）中心对称即点对称：点A(x,y)与B(2a x,2b y)关于点(a,b)对称；点A(a x,b y)与B(a x,b y)关于(a,b)对称；函数y f(x)与2b y f(2a x)关于点(a,b)成中心对称；函数b y f(a x)与b y f(a x)关于点(a,b)成中心对称；函数F（x,y)0与F(2a x,2b y)0关于点(a,b)成中心对称。（2 2）轴对称：对称轴方程为：）轴对称：对称轴方程为：Ax By C 0。点A(x,y)与B(x/,y/)B(x 2
4、A(Ax By C)2B(Ax By C),y)关 于2222A BA B直线Ax By C 0成轴对称；函数y f(x)与y 2B(Ax By C)2A(Ax By C)f(x)关于直线2222A BA BAx By C 0成轴对称。F(x,y)0与F(x 2A(Ax By C)2B(Ax By C),y)0关于直线A2 B2A2 B2Ax By C 0成轴对称。二、二、函数对称性的几个重要结论函数对称性的几个重要结论（一）函数（一）函数y f(x)图象本身的对称性（自身对称）图象本身的对称性（自身对称）若f(xa)f(xb)，则f(x)具有周期性；若f(a x)f(b x)，则f(x)具有
5、对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性内同表示周期性，内反表示对称性”。1 1、f(a x)f(b x)y f(x)图象关于直线图象关于直线x(a x)(b x)a b对称对称22推论推论 1 1：f(a x)f(a x)y f(x)的图象关于直线的图象关于直线x a对称对称推论推论 2 2、f(x)f(2a x)y f(x)的图象关于直线的图象关于直线x a对称对称推论推论 3 3、f(x)f(2a x)y f(x)的图象关于直线的图象关于直线x a对称对称2 2、f(a x)f(b x)2cy f(x)的图象关于点的图象关于点(a b,c)对称对称2推论 1、f(a x)f(a x)2b
6、y f(x)的图象关于点(a,b)对称推论 2、f(x)f(2a x)2by f(x)的图象关于点(a,b)对称推论 3、f(x)f(2a x)2by f(x)的图象关于点(a,b)对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数y f(x)与y f(x)图象关于 Y 轴对称2、奇函数y f(x)与y f(x)图象关于原点对称函数3、函数y f(x)与y f(x)图象关于 X 轴对称4、互为反函数y f(x)与函数y f1(x)图象关于直线y x对称5.5.函数函数y f(
7、a x)与与y f(b x)图象关于直线图象关于直线x b a对称对称2推论 1:函数y f(a x)与y f(a x)图象关于直线x 0对称推论 2:函数y f(x)与y f(2a x)图象关于直线x a对称推论 3:函数y f(x)与y f(2a x)图象关于直线x a对称（三）（三）抽象函数的对称性与周期性抽象函数的对称性与周期性1 1、抽象函数的对称性、抽象函数的对称性性质性质 1 1 若函数 yf(x)关于直线 xa 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(ax)f(ax)（2）f(2ax)f(x)（3）f(2ax)f(x)性质性质 2 2 若函数 yf(x)关于点（a，0）中心
8、对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(ax)f(ax)（2）f(2ax)f(x)（3）f(2ax)f(x)易知，yf(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或 2）当 a0 时的特例。2 2、复合函数的奇偶性、复合函数的奇偶性定义定义 1 1、若对于定义域内的任一变量 x，均有 fg(x)fg(x)，则复数函数 yfg(x)为偶函数。定义定义 2 2、若对于定义域内的任一变量 x，均有 fg(x)fg(x)，则复合函数 yfg(x)为奇函数。说明：说明：（1 1）复数函数复数函数 fg(x)fg(x)为偶函数，为偶函数，则则 fg(fg(x)x)fg(x)fg(x)而不是而不是 ffg(x)g
9、(x)fg(x)fg(x)，复合函数，复合函数 y yfg(x)fg(x)为奇函数，则为奇函数，则 fg(fg(x)x)fg(x)fg(x)而不是而不是ffg(x)g(x)fg(x)fg(x)。（2 2）两个特例：）两个特例：y yf(xf(xa)a)为偶函数，则为偶函数，则 f(xf(xa)a)f(f(x xa)a)；y yf(xf(xa)a)为奇函数，则为奇函数，则 f(f(x xa)a)f(af(ax)x)（3 3）y yf(xf(xa)a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数为偶（或奇）函数，等价于单层函数 y yf(x)f(x)关于直线关于直线 x xa a 轴对称（或关于点（轴对称（或
10、关于点（a a，0 0）中心对称）中心对称）3 3、复合函数的对称性、复合函数的对称性性质性质 3 3 复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于直线 x（ba）/2 轴对称性质性质 4 4、复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于点（ba）/2，0）中心对称推论推论 1 1、复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于 y 轴轴对称推论推论 2 2、复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于原点中心对称4 4、函数的周期性、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。f(xa)f
11、(xa)f(xa)f(x)f(xa)1/f(x)f(xa)1/f(x)5 5、函数的对称性与周期性、函数的对称性与周期性性质性质 5 5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|性质性质 6 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|性质性质 7 7、若函数 yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T4|ab|6 6、函数对称性的应用、函数对称性的应用（1 1）若）若y f(x)关于点（h,k)对称，则x x
12、 2h,y y 2k,即即/f(x)f(x/)f(x)f(2h x)2kf(x1)f(x2)f(xn)f(2h xn)f(2h xn1)f(2h x1)2nk（2 2）例题）例题 1 1、f(x)1 1关于点（，）对称：f(x)f(1 x)1;x2 2a aax4x1f(x)x1 2x 1关于（0，1）对称：f(x)f(x)22f(x)11 11(R,x 0)关于（，）对称：f（x)f()12 2xx1 2 2、奇函数的图像关于原点（、奇函数的图像关于原点（0 0，0 0）对称：）对称：f(x)f(x)0。3 3、若若f(x)f(2a x)或f(a x)f(a x),则y f(x)的图像关于直
13、线的图像关于直线x a对对称。设称。设f(x)0有n个不同的实数根，则x1 x2 xn x1(2a x1)x2(2a x2)xn(2a xn)na.22(当n 2k 1时，必有x1 2a x1,x1 a)（四）常用函数的对称性（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论三、函数周期性的几个重要结论1、f(xT)f(x)(T 0)y f(x)的周期为T，kT(kZ)也是函数的周期2、f(xa)f(xb)y f(x)的周期为T ba3、f(x a)f(x)y f(x)的周期为T 2a4、f(x a)1y f(x)的周期为T 2af(x)1y f(x)的周期为T 2af(x)5、f(x a)6
14、、f(x a)1 f(x)y f(x)的周期为T 3a1 f(x)1y f(x)的周期为T 2af(x)17、f(x a)8、f(x a)1 f(x)y f(x)的周期为T 4a1 f(x)9、f(x 2a)f(x a)f(x)y f(x)的周期为T 6a10、若p 0,f(px)f(px pp),则T.2211、y f(x)有两条对称轴x a和x b(b a)y f(x)周期T 2(b a)推论：偶函数y f(x)满足f(a x)f(a x)y f(x)周期T 2a12、y f(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0)(b a)y f(x)周期T 2(b a)推论：奇函数y f(x)满足f(
15、a x)f(a x)y f(x)周期T 4a13、y f(x)有一条对称轴x a和一个对称中心(b,0)(b a)f(x)的T 4(b a)四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、奇偶性、周期性与对称性周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.1.求函数值求函数值例例 1.1.（19961996 年高考题）设年高考题）设f(x)是是(,)上的奇函数，上的奇函数，f(2 x)f(x),当当0 x 1时，时，f(x)x，则，则f(7.5)等于（等于
16、（-0.5-0.5）（A A）0.5;0.5;（B B）-0.5;-0.5;（C C）1.5;1.5;（D D）-1.5.-1.5.例例 2 2（19891989 年北京市中学生数学竞赛题）已知年北京市中学生数学竞赛题）已知f(x)是定义在实数集上的函数，且是定义在实数集上的函数，且f(x 2)1 f(x)1 f(x)，f(1)2 3,求求f(1989)的值的值.f(1989)3 2。2 2、比较函数值大小、比较函数值大小例例 3.3.若若f(x)(x R)是以是以 2 2 为周期的偶函数，当为周期的偶函数，当x0,1时，时，f(x)x11998,试比较试比较f(98101104)、f()、f
17、()的大小的大小.191715解：f(x)(xR)是以 2 为周期的偶函数，又 f(x)x11998在0,1上是增函数，且0 1161411614101981041，f()f()f(),即f(f()f().1719151719151719153 3、求函数解析式、求函数解析式例例 4.4.（19891989 年高考题）设年高考题）设f(x)是定义在区间是定义在区间(,)上且以上且以 2 2 为周期的函数，对为周期的函数，对k Z，用，用Ik表示区间表示区间(2k 1,2k 1),已知当已知当x I0时，时，f(x)x2.求求f(x)在在Ik上的解上的解析式析式.解：设x(2k 1,2k 1),
18、2k 1 x 2k 1 1 x 2k 1 x I0时，有f(x)x2,由1 x 2k 1得f(x 2k)(x 2k)2 f(x)是以 2 为周期的函数，f(x2k)f(x),f(x)(x2k)2.例例 5 5设设f(x)是定义在是定义在(,)上以上以 2 2 为周期的周期函数，且为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区是偶函数，在区间间2,3上，上，f(x)2(x 3)4.求求x1,2时，时，f(x)的解析式的解析式.2解：当x3,2，即 x2,3，f(x)f(x)2(x 3)2 4 2(x 3)2 4又f(x)是以 2 为周期的周期函数，于是当x1,2，即3 x 4 2时，有f(x)f(x
19、 4)f(x)2(x 4)3 4 2(x 1)4(1 x 2).22 f(x)2(x 1)2 4(1 x 2).4 4、判断函数奇偶性、判断函数奇偶性例例 6.6.已知已知f(x)的周期为的周期为 4 4，且等式，且等式f(2 x)f(2 x)对任意对任意xR均成立，均成立，判断函数判断函数f(x)的奇偶性的奇偶性.解：由f(x)的周期为 4，得f(x)f(4 x)，由f(2 x)f(2 x)得f(x)f(4 x)，f(x)f(x),故f(x)为偶函数.5 5、确定函数图象与、确定函数图象与x轴交点的个数轴交点的个数例例 7.7.设函数设函数f(x)对任意实数对任意实数x满足满足f(2 x)f
20、(2 x)，f(7 x)f(7 x)且f(0)0,判断函数判断函数f(x)图象在区间图象在区间30,30上与上与x轴至少有多少个交点轴至少有多少个交点.解：由题设知函数f(x)图象关于直线x 2和x 7对称，又由函数的性质得f(x)是以 10 为周期的函数.在一个周期区间0,10上，f(0)0,f(4)f(2 2)f(2 2)f(0)0且f(x)不能恒为零,故f(x)图象与x轴至少有 2 个交点.而区间30,30有 6 个周期，故在闭区间30,30上f(x)图象与x轴至少有 13 个交点.6 6、在数列中的应用、在数列中的应用例例 8.8.在数列在数列an中，中，a13,an1 an1(n 2
21、)，求数列的通项公式，并计算，求数列的通项公式，并计算1 an1a1 a5 a9 a1997.分析：此题的思路与例 2 思路类似.解：令a1 tg,则a21 a11tg tg()1 a11tg41 a2a31 a2 1tg(1tg(4)tg(2)4)41 an1an1 tg(n 1),于是an tg(n 1)41 an14不难用归纳法证明数列的通项为：an tg(4n 4)，且以 4 为周期.于是有 1，5，9 1997 是以 4 为公差的等差数列，a1 a5 a9 a1997，由1997 1(n 1)4得总项数为 500 项，a1a5a9 a1997 500a1 500 3.7 7、在二项式
22、中的应用、在二项式中的应用例例 9.9.今天是星期三，试求今天后的第今天是星期三，试求今天后的第92天是星期几？天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.解：9292019091(911)92 C929192 C929191 C92912 C929119201909292(7131)92 C92(713)92C92(713)91 C92(713)2C(713)1因为展开式中前 92 项中均有 7 这个因子，最后一项为1，即为余数，故92天为星期四.9291928 8、复数中的应用、复数中的应用例 10.（上海市 1994 年高考题）设z 且大于 1 的正
23、整数n中最小的是（A）3；（B）4；（C）6；（D）7.分析：运用z n13ni(i是虚数单位)，则满足等式z z,2213i方幂的周期性求值即可.22n1解：z z,z(z1)0 zn11，z31,n 1必须是3的倍数,即n 1 3k(k N),n 3k 1(k N).k 1时,n最小,(n)min 4.故选择(B)9 9、解“立几”题、解“立几”题例 11.ABCDA1B1C1D1是单位长方体，黑白二蚁都从点 A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是AA1 A1D1,黑蚁爬行的路线是AB BB1.它们都遵循如下规则：所爬行的第i 2段所在直线与第i段所在直线必须
24、是异面直线（其中i N).设黑白二蚁走完第 1990 段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是（A）1；（B）2；（C）3；（D）0.解：依条件列出白蚁的路线AA1 A1D1 D1C1 C1C CB BA AA1,立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A 点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.1990=6331 4，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在D1点，白蚁在 C 点，故所求距离是2.例题与应用例题与应用例例 1 1：f(x)是 R 上的奇函数 f(x)=f(x+4)，x0，2时 f(x)=x，求 f(200
25、7)的值例例 2 2：已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009)的值。故 f(2009)=f(2518+1)=f(1)=2例 3：已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当x 2,0时，f(x)=2x+1，则当x4,6时求 f(x)的解析式例 4：已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x+999)=试判断函数 f(x)的奇偶性.例 5：已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当x 2,0时，f(x)是减函数，求证当x4,6时 f(x)为增函数例例 6 6：f(
26、x)满足 f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a5，9且 f(x)在5，9上单调.求 a 的值.例 7：已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(x)=f(4x)，f(7+x)=f(7x),f(0)=0，求在区间1000，1000上 f(x)=0 至少有几个根？解：依题意 f(x)关于 x=2，x=7 对称，类比命题 2（2）可知 f(x)的一个周期是 10故 f(x+10)=f(x)f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0即在区间(0，10上，方程 f(x)=0 至少两个根又 f(x)是周期为 10 的函数，每个周期上至少有两个根，1，
27、f(999+x)=f(999x)，f(x)2000=401 个根.10例例 1 1、函数 yf(x)是定义在实数集 R 上的函数，那么 yf(x4)与 yf(6x)的图象之间（D）A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称C关于点（5，0）对称 D关于点（1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数 yf(x4)与 yf(6x)之间关于点（64）/2，0）即（1，0）中心对称，故选 D。（原卷错选为 C）例例 2 2、设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于 x1 对称，证明 f(x)是周期函数。（2001 年理工类第 22 题）例例 3 3、设 f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)
28、f(x)，当 0 x1时 f(x)x，则 f(7.5)等于（-0.5）（1996 年理工类第 15 题）因此方程 f(x)=0 在区间1000，1000上至少有 1+2例例 4 4、设 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(10 x)f(10 x)，f(20 x)f(20 x)，则 f(x)是（C）A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数六、巩固练习六、巩固练习1、函数 yf(x)是定义在实数集 R 上的函数，那么yf(x4)与 yf(6x)的图象（）。A关于直线 x5 对称B关于直线 x1 对称C关于点（5，0）对称D关于点（1，0）对称2、设 f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x，则 f(7.5)=（）。A0.5B0.5C1.5D1.53、设 f(x)是定义在（，）上的函数，且满足f(10 x)f(10 x)，f(20 x)f(20 x)，则 f(x)是（）。A偶函数，又是周期函数B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数D奇函数，但不是周期函数4、f(x)是定义在 R 上的偶函数，图象关于x1 对称，证明 f(x)是周期函数。参考答案：D，B，C，T2。xn中，已知x1 x21，xn2 xn1 xn(nN*)，5、在数列求x100=-1