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1、五年级第一学期讲义第三讲：初等数论 3同余的性质和应用第三讲：初等数论 3同余的性质和应用三、巩固练习1.今天是星期三，到第1000 天是星期几？解：从今天到第 1000 天相隔 999 天，1000-15(mod 7)，3+5-7=1，是星期一.2.若 1059，1417，2313 分别被自然数 x 除时，所得余数都是 y，则 x-y=解：1059y(mod x)，1417y(mod x)，2313y(mod x)，1417-1059=3580(mod x)，2313-1417=8960(mod x)，2313-1059=12540(mod x)又（358，896，1254）的最大公约数为
2、2，则 x=2，y=1，x-y=13.若正整数 a 和 1995 对于模 6 同余，则 a 的值可以是（）A.25 B.26 C.27 D.28解：1995 除以 6 的余数是 3，a1995(mod 6)，a 除以 6 的余数也是 3，只有 a=27，选 C.4.一个两位数被 7 除余 1，它的反序数被 7 除也余 1，那么这样的两位数共有（）A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个解：列出满足条件的所有两位数：15，22，29，36，43，50，57，64，71，78，85，92，99两位数据反序数也满足条件的有：22，29，92，99，选 C.5.设 n 为自然数，则 32n+8
3、被 8 除的余数是_.解：由 32n+8=9n+8，知 32n+81n+0(mod 8)1(mod 8)，故 32n+8 被 8 除余 1.6.黑板上写着 13 个数：1908，1918，1928，1938，1948，1958，1968，1978，1988，1998，2008，2018，2028小明第一次擦掉其中的一个数，第二次擦掉剩下数中的两个数，第三次擦掉剩下数中的三个数，第四次擦掉剩下数中的四个数，他想使得每次擦掉数后剩下的所有数之和为 13 的倍数，小明的意图能否达到？如果可以，给出一种可行的方法，不能请说明理由答案：可以：依次擦掉（2028）；（1958，1968）；（1908，19
4、38，1978）；（1918，1928，1998，2008）。（1948、1988、2018）解：思路如下：写出的 13 个数除以 13 余数互不相同，101908(mod13)，71918（mod13），41928（mod13）、11938（mod13）,111948(mod13)、81958(mod13)、51968(mod13)、21978(mod13)、121988(mod13)、91998(mod13)、6 2008(mod13)、3 2018(mod13)、0 2028(mod13)、每一次操作就是去掉 13 的倍数，即要将 012 分成五组，每一组数的个数分别为 1，2，3，4，3，使得每一组数之和都是 13 的倍数。7.在“圆明杯”数学竞赛中，数学老师出了一道题：“2011 分别除以 m 个不同的自然数，1五年级第一学期讲义第三讲：初等数论 3同余的性质和应用得到的余数都是 11”，请推算 m 的最大值是解：这 m 个自然数都大于 11，且都是 2000 的约数。所以只需求 2000 的大于 11的约数即可。2000 的约数共 20 个，其中小于11 的有 1，2，4，5，8，10 共 6 个，所以m 的最大值为 14.2