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1、参数方程和普通方程的互化Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998参数方程和普通方程的互化教学目标1.理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的.2.基本掌握消去参数的方法.3.培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力.即在“互 化”训练中，提高学生解决数学问题的转化能力.教学重点与难点使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则，明确新旧知识之间的联 系，掌握消去参数的基本方法.教学过程师：前面的课程里，我们学习了参数方程，下面请看这样一个问题：（放投 影片）由圆外一点 Q（a,b）向圆 x:+y-r:作割线，交圆周
2、于 A、B两点，求 AB 中点 P的轨迹的参数方程（如图 3-5）.分析割线过点 Q（a,b）,故割线 PQ 方程为：此斜率 k可作为参数.（投影）解 设过点 Q的直线方程是 y-b=k（x-a）,则圆心 0与 AB 中点 P的即为所求点 P的轨迹的参数方程.师：你能根据点 P的参数方程说出点 P的轨迹吗生：（无言以对）看不出来.（启发学生猜想，培养参与意识.）师：你通过题目中点 P符合的条件，多画儿个点，猜想一下它的形状.（学生在纸上画，讨论.）生：点 P的轨迹过坐标原点，也就是已知圆的圆心.（2）轨迹不是直 线.师：参数方法是研究曲线和方程的乂一种方法，是一种利用参数建立两个 变量之间的间
3、接联系的方法.也就是说，参数方程里的参数可以协调 X、y的变 化.基于这点理论，有时为了判定曲线的类型、研究曲线的儿何性质，需要把 参数方程化为普通方程.即想办法消去参数 k,把参数方程转化为我们熟知的 普通方程，再去研究它的儿何性质就容易了.把(3)代入(2)得：x:-ax+y:-by=O.(4)方程(4)证实了我们的猜想是正确的，具体地说：点 P的轨迹是一个过圆心 的圆弧(在圆 x:+y-r2的内部).师：以上事例说明，有时为了判定曲线的类型，研究曲线的儿何性质，确 实需要把参数方程化为我们认知的普通方程.这节课我们就来学习把参数方程 化为普通方程的法则.例 1炮弹从点(0,0)以初速度
4、V。向倾斜角为 a的方向发射，问：(1)在时 刻 t的高度和水平距离如何(2)炮弹描绘的(弹道)是一条什么样的曲线(学生通过物理知识，很容易解决这个问题.)解(1)设炮弹发射后的位置在点 M(x,y)(如图 3-6),因为炮弹在 Ox方向 是以 vcosa为速度的匀速直线运动，在 0y方向是以 Vosina为初速度的竖直上 抛运动，所以按匀速直线运动的公式知：炮弹在时刻 t的水平距离是 X=VoCOS at,按竖直上抛运动的位移公式知：炮弹在时即弹道曲线的参数方程上看不出来，那么怎么办呢生：消去参数 t,转化成为普通方程后，就可看出曲线的形状了.故炮弹描绘的曲线是一条抛物线.(含顶点在内的一部
5、分.因为二次项系数 是负值，所以这是开口向下的抛物线，与实际问题相吻合.)例 2把参数方程即 3x+5y-ll二 0 是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线.师：这个同学理解了消参的基本方法一一代入消参法.这正与解方程组中 代入消元法相类似.他用学过的知识解决了新问题.你认为他的解题过程有问 题吗生：挺好的.我与他解的一样，没问题.师：同学们在解题时注意参数 t的取值范围了吗生：t为不等于-1的实数，即 tH-1.师：答案是否有何不妥生：没觉得哪儿不妥，轨迹确实是一条直线.师：普通方程是相对于参数方程而言的，它反映了坐标变量 X与 y之间的 直接关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量 x与 y之
6、间的间接关系.如能 消去参数(不是所有的参数方程都能化为普通方程)，参数方程就转化为普通方 程，所以普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同的表达形式.为此，在化 参数方程为普通方程时，必须注意变数的范围不应扩大或缩小，也就是对应曲 线上的点不应增加也不应减小.这就要求参数方程和消去参数后的普通方程等 价.请修正一下你的答案.生：3x+5y-ll=0(xH-3)是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线(去掉点(-3,4).师：观察一下方程(1)、(2)的形式与你学过的知识中哪个式子类似(提供类 比，用以理解直线的参数方程形式不只一种，它与选定的参数相关.)至此，想必学生悟到 t的儿何意义：动点 P分
7、 PP所成的比，即 t二解 过点(2,1),(-3,4)的直线方程是：化简，得 3x+5y-U=0.师：这个事实说明，据参数的儿何意义，也能达到消参的 LI的.师：例 2表明，直线的参数方程的形式不只一种.那么对同一个参数方程 来说，指定的参数不同，会带来曲线的形状不同吗你试试看.(激发学生探索问 题的兴趣)生：对同一个参数方程来讲，由于指定的参数不同，会带来曲线形状的变 化.例 4化下列参数方程为普通方程.(让学生按小组讨论求解，然后在投影仪上打出答案.)略解(1)(x+1)5+y=sin2 0+cos3 0,所以(x+l)：+y二 1,(OWyWl).所以 x2-y=4.师：消去参数的方法
8、常用的有哪些转化过程中应注意什么(学生讨论后教师板书)消去参数的方法常用的有以下两种：(1)代入法：先求出参数的表达式，然后代入另一个方程中去(如例 1).(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数.(如例 4)转化过程中应注意参数的范圉不能扩大也不能缩小.也就是对应曲线上的 点，不应增加也不应减少，保证参数方程和消参后的普通方程等价.师：方程组中有 3个变量，其中的 x和 y表示曲线上点的坐标；0是参变 量.参数方程之所以能描绘出动点的轨迹，是山于当给出一个参数值时，就能 唯一地求出相应的 x与 y的值，因而也就确定了这时点所在的位置.所以问题 可转化为讨论当 0为何值时，点 P到直线的距离
9、最小问题.因为 tan 0、cot 同号，乂|tan 0+2cot 8+21 M I tan 0+2cot 9|-|21,从例 5的结论知道，参数 0不是问题的主要对象，却能牵动主要对象的根 本性质.这个问题的解决再一次说明：参数方程能明确地揭示点的运动规律，对解决某些问题有不可替代的优越性.师：这节课我们学习了参数方程化为普通方程的法则.首先通过问题的提出，我们知道有时为了判定曲线的类型，研究曲线的儿 何性质，需要把参数方程化为普通方程.乂在将参数方程化为普通方程的过程中，掌握了消去参数的常用方法，并且理解了参数方程和消去参数后所得的普 通方程为什么要等价.家庭作业：一、把下列参数方程化为普
10、通方程，并说明它们各表示什么曲线.二、关于 t 的方程 t2+(2+i)t+4xy+(2x-y)i=0(x,yGR,i 是虚数单位)有 实根，求动点 P(x,y)的轨迹的普通方程.下面是作业题略解.一、(xx+(yy。)匕 t：,以(X。，yj为圆心，t为半径的圆.(2)y-yFtan 0(X-X。)，过点(x。，y。)，斜率是 tan 的直线.2x+y-5二 0(0 x3),缺一个端点的线段.(4)y:-x:=4(y2),双曲线的上支.二、已知方程整理为：(t:+2t+4xy)+i(2x-y+t)=0因为 x,y,t SR,得 4x:+y:+4x-2y=0 为所求.设计说明参数方程与普通方程
11、的互化，应该是两课时，这是第一课时的内容：参数 方程化为普通方程.对这一问题课本仅用 3/2 页的篇幅介绍了互化的方法共 3 个例题.纵观全章参数方程、极坐标也只是对参数方程进行了初步研 究.而事实上，参数方程也是解析儿何的重要内容之一，是继续学习数学知识 的基础，在生产实践中也有广泛的应用.我们知道，参数方程与带有参数的问 题固然不同，但是学习参数方程对于熟练参数的运用却很有帮助.更有一类问 题，看来不是参数方程，而实质上是参数方程问题.这就是所求轨迹的方程，轨迹是双曲线.这解法有些使人莫名其妙，实际上这是参数方程.本来我们应该先把对应 直线的交点求出来：这就是所求轨迹的参数方程.为了求 x、y的方程而消 t的话，可以照这样 进行：数学中的参数好像是一种活泼的元素，有它的时候可以添一些麻烦，但这 麻烦却多半是有趣的现象.它能使一些问题化繁为简.故活用参数，问题，常规解法是：这一问题也可巧用参数，把它转化成求过动点(cos 0,sinO)和定点(1,2)直线的斜率取值范围问题.动点 P(cosO,sinO)的轨迹是以坐标原点为圆 心，1为半径的圆(挖去(1,0)点).如图 3-7知：(北京市陈经纶中学 纪小华)