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1、1题型练题型练 5 5 大题专项大题专项( (三三) )统计与概率问题统计与概率问题1 1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运 动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选 择 4 人参加比赛.(1)设A为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率;(2)设X为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.2 2.(2018 北京,理 17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型电
2、影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数电影部数14050300200800510好评率好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部,估计恰有 1 部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“k=1”表示第k类电 影得到人们喜欢,用“k=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D
3、(1), D(2),D(3),D(4),D(5),D(6)的大小关系.23 3.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与 其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数上年度出险次数012345保费保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数一年内出险次数012345概率概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费
4、的比值.4 4.(2018 天津,理 16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样 的方法从中抽取 7 人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检 查.用X表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;设A为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.35 5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音
5、乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得-200 分).设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现1 2音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请 运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.46 6.某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取 40 件产品,测量这些产品的质量 (单位:g),整理后得到如下的频率分布直
6、方图(其中质量的分组区间分别为(490,495,(495,500,(500,505,(505,510,(510,515).(1)若从这 40 件产品中任取两件,设X为质量超过 505 g 的产品数量,求随机变量X的分布列;(2)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取 5 件产品,求恰有两件产品的质量超过 505 g 的概率.5题型练 5 5 大题专项(三)统计与概率问题1 1.解 (1)由已知,有P(A)=222 3+ 2 32 348=6 35.所以,事件A发生的概率为6 35.(2)随机变量X的所有可能取值为 1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).54 - 34
7、8所以,随机变量X的分布列为X1234P1 143 73 71 14随机变量X的数学期望E(X)=1+2+3+41 143 73 71 14=5 2.2 2.解 (1)设“从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A,第四类电影中获得好评的电影为 2000.25=50(部).P(A)=0.025.50 140 + 50 + 300 + 200 + 800 + 510=50 2 000(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部,恰有 1 部获得好评”为事件B,P(B)=0.250.8+0.750.2=0.35.(3)由题意可知,定义随机变量如下:k
8、=0,第类电影没有得到人们喜欢, 1,第类电影得到人们喜欢,?则k显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:第一类电影:6110P0.40.6D(1)=0.40.6=0.24;第二类电影:210P0.20.8D(2)=0.20.8=0.16;第三类电影:310P0.150.85D(3)=0.150.85=0.127 5;第四类电影:410P0.250.75D(4)=0.250.75=0.187 5;第五类电影:510P0.20.8D(5)=0.20.8=0.16;第六类电影:6107P0.10.9D(6)=0.10.9=0.09.综上所述,D(1)D(4)D(2)=D(5)D(3)D
9、(6).3 3.解 (1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内 出险次数大于 1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”,则事件B发生当且仅当一 年内出险次数大于 3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=() ()=() ()=0.150.55=3 11.因此所求概率为3 11.(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)
10、=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23.4 4.解 (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322,由于采用分层抽样的方法从中抽 取 7 人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人,2 人,2 人.(2)随机变量X的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).43 - 337所以,随机变量X的分布列为X0123P1 3512 3518 354 358随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2+31 3512 3518
11、 354 35=12 7.设事件B为“抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 1 人,睡眠不足的员工有 2 人”;事件C为 “抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 2 人,睡眠不足的员工有 1 人”,则A=BC,且B与C互斥.由知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=所以,事件A发生的概率为6 7.6 7.5 5.解 (1)X可能的取值为 10,20,100,-200.根据题意,P(X=10)=;13(1 2)1(1 -1 2)2=3 8P(X=20)=;23(1 2)2(1 -1 2)1=3 8P(X=100)=;33(1 2)3(1
12、 -1 2)0=1 8P(X=-200)=03(1 2)0(1 -1 2)3=1 8.所以X的分布列为X1020100-200P3 83 81 81 8(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=1 8.所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-(1 8)31 512=511 512.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511 512.(3)X的数学期望为E(X)=10+20+100-200=-3 83 81 81 85 4.这表明,获得分数X的均值为负,因此,多次游戏之后
13、分数减少的可能性更大.6 6.解 (1)根据频率分布直方图可知,质量超过 505 g 的产品数量为(0.01+0.05)540=12.9由题意得随机变量X的所有可能取值为 0,1,2.P(X=0)=;2 282 40=63 130P(X=1)=;1 281 122 40=28 65P(X=2)=2 122 40=11 130.则随机变量X的分布列为X012P63 13028 6511 130(2)由题意得该流水线上产品的质量超过 505 g 的概率为=0.3.12 40设Y为该流水线上任取 5 件产品质量超过 505 g 的产品数量,则YB(5,0.3).故所求概率为P(Y=2)=0.320.73=0.308 7.25