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1、第5章力学准则法第1页，本讲稿共40页其本思路充分发挥材料的强度潜力，刚度潜力和贮能能力，使结构材料最省。力学准则法只能寻求结构的最小体积或近似最小体积设计。当结构各部分的容重 大体一致时，最小体积设计就等于或接近最轻设计。分类分类1 1）等强度准则）等强度准则满应力设计满应力设计 要求尽可能使结构在使用过程中各构件的要求尽可能使结构在使用过程中各构件的 最大应力都能达到其允许值。最大应力都能达到其允许值。2 2）同步失效准则）同步失效准则满约束准则满约束准则满约束设计满约束设计 要求在结构设计时使尽可能多的不等式约束同时达到临界。要求在结构设计时使尽可能多的不等式约束同时达到临界。当不等式约
2、束主要是应力约束时，满约束准则就退化为满当不等式约束主要是应力约束时，满约束准则就退化为满 应力准则，后者是前者的特殊情况。应力准则，后者是前者的特殊情况。3 3）能量准则）能量准则 尽可能充分发挥材料的贮能（应变能）的能力。尽可能充分发挥材料的贮能（应变能）的能力。材料的贮能能力是与其强度和刚度相关联的，材料的贮能能力是与其强度和刚度相关联的，因此能量准则常常与满约束准则相一致或接近。因此能量准则常常与满约束准则相一致或接近。第2页，本讲稿共40页优点物理概念清楚，与过去的设计思想相衔接，容易为工程设计人员所接受；算法简单，迭代收敛较快，且结构重分析的次数与设计变量的数目无关，比较适合中小型
3、和大型结构的优化设计。缺点1）适用范围较窄，只能用于最小体积设计或最轻设计；2）在某些情况下有失效的可能性；3）没有直接建立与目标函数的关系，并不能保证使目标函数最小。第3页，本讲稿共40页5.2 满应力设计法一、满应力设计法的基本概念 1）满应力设计的对象：满应力设计的对象一般是结构布局已订并具有应力约束和尺寸约束的结构。2）满应力设计准则：严格满足应力设计：当只有应力约束时，满应力设计要求结构的每一个构件至少在一个工况 下达到满应力，即至少在一种荷载状态下应力等于其允许值。广义应力设计：当还有截面最小尺寸的几何约束时，则要求每一构件在强度约束和尺寸 约束中至少使其中一个达到临界。3）静定结
4、构的满应力设计：设某静定结构有 根杆件，种工况。第 杆在第 工况中最不利内力的绝对值为 。设其中最不利者为 ，即第4页，本讲稿共40页（一）严格满应力设计 选择设计方案，使则，可以证明：静定结构的严格满应力解=最轻解。（二）广义满应力设计（三）受弯构件第5页，本讲稿共40页4）超静定结构的满应力设计 1.静定满应力解总存在，且不止一个；2.在单工况下，一般地说，不可能使全部构件达到满应力；3.能否实现满应力设计，不仅取决于结构，而且与荷载和工况数有关；4.保持原结构布局的超静定严格满应力解不一定存在。5.超静定结构满应力解存在性的判别 存在原结构布局严格满应力解的必要条件为：式中：工况数；工况
5、数；杆件数；杆件数；满应力度：当允许对结构施加任意荷载时，在一个工况下可以达到满应力的杆数的最大值。也就是在结构位移可行域边界各个顶点中，最多汇交的满应力约束面的数目。满应力度：满应力度：6.由于超静定结构的内力与各杆件的截面性质有关，没有一个简单的方法可以直接求出满应力解。一般可用迭代的方法逐步逼近满应力解。第6页，本讲稿共40页二、应力比法1）估选初始设计方案（选定初始点）初始点：进行力学分析，求出各构件在各工况中的最不利应力 式中 为第 杆在第 工况的应力。为第 杆在各工况中的最不利应力。2）修改截面将与其允许值相比较。(1)若，表示材料未充分发挥作用，可减小其截面（2）若，表示材料超载
6、，应增加其截面 第7页，本讲稿共40页假设：修改截面后各杆件内力不变。且 达到满应力，即 ，因此式中 称为应力比。可用作为下一轮迭代循环的初始点 迭代公式：若还规定有截面尺寸约束 迭代公式：这种逐次逼近的方法称为应力比法，或比例满应力法。第8页，本讲稿共40页3）迭代终止条件改进措施采用应力比法求超静定结构满应力解得迭代次数较多，一般需要十几次，采用应力比法求超静定结构满应力解得迭代次数较多，一般需要十几次，改进措施之一是在迭代公式中引入一个改进措施之一是在迭代公式中引入一个“超松弛系数超松弛系数”，以加快收敛速度：，以加快收敛速度：超松弛系数，或应力比指数超松弛系数，或应力比指数 对于拉杆，
7、可取 值大于1（如1.3左右）。然后逐步减小到使之趋于1。对于压杆，可取，式中为杆件的长细比。第9页，本讲稿共40页迭代收敛性满应力设计的迭代收敛性，用数学方法证明很困难，实践中主要靠观察收敛过程和利用力学判断来解决。正常型结构：性质上接近静定结构，收敛的较快；交感型结构：收敛较慢，甚至不能收敛。第10页，本讲稿共40页三、分布优化法 1.基本思路对现行结构设计方案在各种工况下进行（1）结构整体分析，得到它的内力分布，（2）然后在暂时冻结内力的假定下，（3）修改各部分的设计变量，（4）再将各部分重新集合起来，得到一个新方案，这样就完成了一次循环。接下去再进行下一次循环，直到收敛。结构整体分析冻
8、结内力修改各部分的设计变量重新集合起来第11页，本讲稿共40页2.实现问题主要取决于约束条件的性质（1）局部性约束：只涉及结构的各个部分。如截面尺寸约束、应力约束、局部稳定约束、局部相对变形约束等。约束条件：（2）整体性约束：牵涉到整体结构。如结点位移约束、结构整体稳定性约束、频率约束。分部优化只能对局部性约束条件适用，如果在约束条件中包含了整体性约束，则只能进行整体优化，不过可以利用一些分部优化的技巧来简化计算。第12页，本讲稿共40页3.迭代步骤1）给出初始点；2)按进行结构整体分析，求出各部分受力状态；3)假定内力分布不变，对各部分进行优化，求出新的设计方案；若，则停止运算。否则将作为转
9、入步骤2）4）若第13页，本讲稿共40页5.3 能量准则法 一、基本思路充分发挥材料的贮能（应变能）作用，使所用材料最省或结构最轻。满应变能准则，应变能密度准则，最大总应变能准则。能量准则法二、应变能密度准则考虑在一组荷载 作用下（单工况），具有能量约束的结构最轻设计问题。式中 为结构的总应变能，是总应变能的最大允许值 。第14页，本讲稿共40页能量约束实际上代表对结构的一个广义的刚度要求，是一个综合性的位移约束。最轻解要求此约束达到临界，亦即使 ，这时Langrange函数为 根据L-T条件：因为可以证明，为单元的应变能。证明：第15页，本讲稿共40页证明：证明：第16页，本讲稿共40页所有
10、各构件的应变能密度相同，等于结构总的应变能密度。在结构最轻情况下，结构总应变能 这样就得到单工况下，满足广义刚度要求的结构最轻设计的能量准则为：，因而即在最轻情况下，结构所接受的应变能密度最大，并且应变能在整个结构上按重量均匀分布。第17页，本讲稿共40页三、应变能密度准则迭代公式 根据可得开方后等式两边均乘以，得这样便得到Venkayya建议的递推公式第18页，本讲稿共40页5.3 齿行法一、概述分部优化设计分部优化设计 假定：假定：“在调整时各部分所受内力不变在调整时各部分所受内力不变”这个假定人为地割断了个部分和整体之间的联系，这样便带来三个后果：1）各部分分别局部优化后，整个结构是不协
11、调的，因而必须多次迭代进行调整；2 2）不排除结构整体的）不排除结构整体的“不可行性不可行性”3）最后得到的结果并不能保证就是结构整体最优的方案。第19页，本讲稿共40页分部优化法的优越性分部优化法的优越性 步骤简单步骤简单；收敛迅速；收敛迅速。结构设计中结构设计中局部性约束是大量的局部性约束是大量的；整体性约束是少量的；整体性约束是少量的。（1）齿行法的基本思路：分别对待局部性约束和整体性约束，通过分部优化和整体调整两种手段对结构体进行优化。分部优化分部优化利用满应力（满位移）条件，决定搜索方向。利用满应力（满位移）条件，决定搜索方向。整体调整整体调整及时把设计点拉回到可行域的边界上来。及时
12、把设计点拉回到可行域的边界上来。（2 2）齿行法的基本步骤：）齿行法的基本步骤：分部优化分部优化满应力准则，满位移准则满应力准则，满位移准则；整体调整整体调整利用利用射线步射线步进行可行性调整。进行可行性调整。第20页，本讲稿共40页二、射线步最优解最优解落在可行域边界约束面的交点落在可行域边界约束面的交点 或边界面与目标函数等值面得公切点上。或边界面与目标函数等值面得公切点上。应该沿可行域的边界面搜索寻找最优解。应该沿可行域的边界面搜索寻找最优解。应把当前设计点拉回到当前最严约束面上。应把当前设计点拉回到当前最严约束面上。最简单的一种可行性调整办法最简单的一种可行性调整办法射线步或比例步射线
13、步或比例步 第21页，本讲稿共40页1）结构响应与方案调整的关系假设：结构处于线弹性范围内；构件刚度为设计变量的线性齐次函数；荷载向量与设计向量无关。若按 调整设计方案，则有下述关系成立：2）3）4）1）第22页，本讲稿共40页证明如下：显然成立，例如绗架单元2.3.4.第23页，本讲稿共40页3.射线步公式当设计点求出后，需要把它拉回到最严的应力约束面上，的各应力比，令其最大者为为此，首先求出可行性调整比例系数,最新设计点 则将沿射线方向落到最严约束面上，证明如下：第24页，本讲稿共40页把设计点拉到最严的位移约束面上 第25页，本讲稿共40页三、只有应力约束时的齿行法1）基本思路：只有应力
14、约束时的结构，可以引入如下的优化方法：在每产生一个方案之后射线步使设计点落到当前最严的约束面上满应力步直至连续二个可行设计点足够接近或它们的目标函数值开始增加为止。由于这个迭代过程在设计空间的轨迹呈锯齿行，故称为齿行法 第26页，本讲稿共40页第27页，本讲稿共40页2.迭代程序(1)选取初始点（2）射线步。移到当前最严约束面上计算得目标函数值，并求出新的应力比(3)调整步（满应力步）按满应力准则求下一个设计点（4）迭代收敛条件以上完成一次循环（包括一次射线步，一次调整步），将所得作为下一次循环的初始点，如此反复迭代，直到进行力学分析，求出应力比 ,；或为止。（5）输出最优方案近似局优解。第2
15、8页，本讲稿共40页四、带有位移约束时的齿行法 1.基本思路 最严约束 位移约束 应力约束 在每产生一个方案之后射线步使设计点落到当前最严的约束面上(同时考虑应力约束和位移约束)满应力步直至连续二个可行设计点足够接近或它们的目标函数值开始增加为止。满位移步 第29页，本讲稿共40页求设计变量 使结构重量 并满足约束 优化设计问题描述：每一个迭代循环中都用优化准则步得到新的设计点后，再检验尺寸约束，当某个方案：在处理位移约束和应力约束时，先不管尺寸约束。时，令。第30页，本讲稿共40页2.射线步完成了射线步 并有总刚度矩阵 第31页，本讲稿共40页3.满应力步 若射线步把设计点射到应力最严约束面
16、上，则用满应力准则来修改设计变量：式中，即 ，是控制步长的阻尼系数。无位移约束有位移约束 ，取与位移步相同的值。第32页，本讲稿共40页4.满位移步若射线步把设计点射到位移最严约束面上，则用满位移准则来修改设计变量。这里需要求解一个子规划问题：这里沿最严约束搜索，只需考虑这一个约束，所以约束取等号 第33页，本讲稿共40页构造Langrange函数：根据K-T条件得（1）（2）将式（1）乘 以并求和，可得（3）上式中（4）第34页，本讲稿共40页结构分析的基本方程为 左右两端分别对求偏导：左右两端乘以并求和：根据杆件刚度与间的线性关系，有 证法 第35页，本讲稿共40页将式（4）代入式（3），
17、并考虑到式（2），便可求出Langrange乘子（2）（3）（4）（6）（1）（7）第36页，本讲稿共40页 式中为相应于最严约束的工况作用下的号位移。其一阶导数为：=0虚位移原理满位移步公式 满位移步公式 式中为工况中杆件的内力，为沿位移方向的单位力在杆中引起的内力。它们都与设计点相应。为控制步长的阻尼系数。效果较好。第37页，本讲稿共40页当满位移迭代公式中圆括号内为负值时，该式无意义，说明第杆截面不能用满位移步调整。这时该杆截面可保持不变，或根据当前最严的应力约束，用满应力准则步修改截面。第38页，本讲稿共40页5.迭代程序1）选定初始方案进行力学分析，求其应力比和挠度比：，2）射线步求出所以应力比和挠度比中的最大者，将设计点引到当前最严的约束面上，按下式求应力比 3）调整步若最严约束是应力约束，走满应力步，则其调整截面为 式中 若最严约束是位移约束，并且，走满位移步，则其调整截面为 检查尺寸约束，使各杆，确定 当 时，可令 ，或根据当前最严应力约束确定 。第39页，本讲稿共40页4）迭代收敛条件 以上完成一次循环，将所得 作为下一次循环的初始点，如此反复迭代，直至射线步后所得目标函数不再减小，即 或满足其他收敛条件为止。5）输出最优方案，以最后二次射线步后所得点之一作为近似最轻点。即或 第40页，本讲稿共40页