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1、向量在几何中的应用最后向量在几何中的应用最后第1页，本讲稿共15页目录目录引言向量的发展史及其向量的基本定义及其定理向量的发展史及其向量的基本定义及其定理向量在几何中的应用向量在几何中的应用向量在几何中应用反思向量在几何中应用反思第2页，本讲稿共15页引言引言n作为新课程改革，高中数学教材的一个显著变化就作为新课程改革，高中数学教材的一个显著变化就是将是将“向量向量”的引入即充分体现了他的工具性的引入即充分体现了他的工具性n将向量引入使得研究空间图形能够更简化、更直观，而将向量引入使得研究空间图形能够更简化、更直观，而用传统方法去解决可能比较复杂用传统方法去解决可能比较复杂n空间向量的引入，在
2、数学的某些方面研究提供了比较空间向量的引入，在数学的某些方面研究提供了比较新颖而易懂的研究工具，其意义重大新颖而易懂的研究工具，其意义重大第3页，本讲稿共15页向量的发展史及其向量的基本定义及其定理向量的发展史及其向量的基本定义及其定理n向量的发展史向量的发展史n向量的基本定义及其定理向量的基本定义及其定理第4页，本讲稿共15页n主要内容：主要叙述了主要内容：主要叙述了19世纪初期维塞尔利用平世纪初期维塞尔利用平面坐标上的点表示复数面坐标上的点表示复数ai+b到到19世纪中期哈密尔世纪中期哈密尔顿发现四元素，后来的麦克创造了矢量分析，但顿发现四元素，后来的麦克创造了矢量分析，但却未正式分列四元
3、数。而海维塞和居伯斯将四元却未正式分列四元数。而海维塞和居伯斯将四元数的正式分裂的并各自独立完成这一研究向量数的正式分裂的并各自独立完成这一研究向量积与数量积也因此被他们借用并且将向量代数积与数量积也因此被他们借用并且将向量代数拓展到变向量的向量微分中拓展到变向量的向量微分中第5页，本讲稿共15页n共线和平行共线和平行n垂直问题垂直问题n角度问题角度问题n距离问题距离问题n面积问题面积问题n体积问题体积问题第6页，本讲稿共15页n向量的引用使几何的证明更简单明了利用向量来解向量的引用使几何的证明更简单明了利用向量来解决共线、平行及垂直问题，运用到两种方法即向量法决共线、平行及垂直问题，运用到两
4、种方法即向量法和坐标法利用向量法则是利用向量的概念技巧运算和坐标法利用向量法则是利用向量的概念技巧运算解决几何问题，而坐标法是利用数及其运算解决问题。解决几何问题，而坐标法是利用数及其运算解决问题。而人们常常让两种方法结合起来使用，使几何更加简而人们常常让两种方法结合起来使用，使几何更加简单化也让解析几何为人们更好服务，解决了实际问单化也让解析几何为人们更好服务，解决了实际问题。向量的坐标运用数的运算处理形的问题，在数与题。向量的坐标运用数的运算处理形的问题，在数与行之间建立起了紧密联系行之间建立起了紧密联系 第7页，本讲稿共15页n利用向量求线线，线面还有面面的夹角问题，可利用向量求线线，线
5、面还有面面的夹角问题，可以避免繁琐的做辅助线，证角度的过程，而解题以避免繁琐的做辅助线，证角度的过程，而解题的关键是确定直线的方向向量或平面的法向量和的关键是确定直线的方向向量或平面的法向量和相关的向量求角的公式如果问题中的法向量没相关的向量求角的公式如果问题中的法向量没有直接给出，那么必须创设法向量。其步骤为建有直接给出，那么必须创设法向量。其步骤为建立坐标系立坐标系 找出坐标找出坐标 求向量（方向向量或法向量）求向量（方向向量或法向量）求两向量的夹角求两向量的夹角 定角度定角度第8页，本讲稿共15页n运用向量解距离的重点是他们两之间的运用向量解距离的重点是他们两之间的联系，即向量和距离的联
6、系在解题过联系，即向量和距离的联系在解题过程中熟悉各数量之间的关系，内在的分程中熟悉各数量之间的关系，内在的分析各公式的真正含义，深入的参透向量析各公式的真正含义，深入的参透向量的运算及数量积公式间的关联向量使的运算及数量积公式间的关联向量使解题更加明了，不用像传统方法那样进解题更加明了，不用像传统方法那样进行几何推理来确定垂足，完全可以依靠行几何推理来确定垂足，完全可以依靠计算来解决问题计算来解决问题第9页，本讲稿共15页n利用向量解决几何中的求面积、利用向量解决几何中的求面积、体积问题，使学生从繁琐的计体积问题，使学生从繁琐的计算中解脱出来，这体现了数形算中解脱出来，这体现了数形结合的思想
7、结合的思想第10页，本讲稿共15页n向量法和综合法的比较向量法和综合法的比较n利用向量法解几何问题的方法利用向量法解几何问题的方法第11页，本讲稿共15页n向量的特性是向量的特性是“数形结合数形结合”所谓所谓“数数”就是用一对实就是用一对实数对表示向量的方向及其大小；那么数对表示向量的方向及其大小；那么“形形”就是用有一就是用有一向线段表示一向量从某种意义上讲向量是代数关系和向线段表示一向量从某种意义上讲向量是代数关系和几何图形之间的枢纽向量可以让图形之间的联系代数几何图形之间的枢纽向量可以让图形之间的联系代数化，让图形量化，这样我们就不必困扰于复杂的图形分化，让图形量化，这样我们就不必困扰于
8、复杂的图形分析中，仅仅探究图形之间的向量联系便可得出所要结果。析中，仅仅探究图形之间的向量联系便可得出所要结果。使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严谨性使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严谨性第12页，本讲稿共15页n用向量方法解几何问题的一般方法是：用向量方法解几何问题的一般方法是：（1）结合图形特征来建立空间直角坐标系）结合图形特征来建立空间直角坐标系（2）认真写出需要用到的点的坐标）认真写出需要用到的点的坐标.并列出求解过并列出求解过程中所要用到的向量的坐标；程中所要用到的向量的坐标；（3）分析题意，并运用公式解决具体问题）分析题意，并运用公式解决具体问题（4）将结果进行转化）将结果进行转化第13页，本讲稿共15页创新点创新点n本文先回顾向量的一些基本定理。接着本文先回顾向量的一些基本定理。接着分别从两个方面总结归纳向量在解决几分别从两个方面总结归纳向量在解决几何问题中的应用。并逐一进行举例说明，何问题中的应用。并逐一进行举例说明，用向量去解决几何问题，提供了新的视用向量去解决几何问题，提供了新的视角，避免了传统方法中进行大量繁琐的角，避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析。向量的方法主要采用了定性分析。向量的方法主要采用了“形形-数数-形形”的推理的推理第14页，本讲稿共15页谢谢观赏谢谢观赏第15页，本讲稿共15页