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1、第1页，本讲稿共19页771 1 极小值原理极小值原理 2）在最优轨线上有：与最优控制 相应的 H 函数取绝对最小值 性能指标为：则实现最优控制的必要条件为：最优控制 、最优轨线 和最优协状态变量 ，满足如下关系：1)沿最优轨线满足正则方程：第2页，本讲稿共19页771 1 极小值原理极小值原理 3)H 函数在最优轨线终点处的值决定于 4)协状态终值满足横截条件 5)满足边界条件第3页，本讲稿共19页771 1 极小值原理极小值原理 例.给定受控系统：控制变量 满足如下不等式 求最优控制和最优轨迹，使如下性能指标取得极小值。解：哈密尔顿函数为 协状态方程：第4页，本讲稿共19页771 1 极小
2、值原理极小值原理 由协状态方程得：运用极小值原理：得到：横截条件为：第5页，本讲稿共19页771 1 极小值原理极小值原理 由此得出：于是有最优控制为：代入状态方程最优轨迹为：第6页，本讲稿共19页772 2 时间最优控制问题时间最优控制问题 问题：已知受控系统的状态方程为：式中：求满足如下不等式约束条件 的控制 ，使系统自某一初始状态 转移到状态空间原点的时间最短。即使如下性能指标取极小值：第7页，本讲稿共19页772 2 时间最优控制问题时间最优控制问题 可得最优控制为：哈密尔顿函数为：协状态方程为：运用最小值原理可得：第8页，本讲稿共19页772 2 时间最优控制问题时间最优控制问题 由
3、协状态方程 可得：当：有：状态方程为：解得：消去t可得：第9页，本讲稿共19页772 2 时间最优控制问题时间最优控制问题 当：有：状态方程为：解得：消去t可得：第10页，本讲稿共19页772 2 时间最优控制问题时间最优控制问题 通过原点的曲线为：当 ：当 ：合并为一个方程为 称为开关曲线：故最优控制规律与初始状态的位置有关，当初始状态 在 的上半支上：在 的下半支上：在 的上方：在 的下方：第11页，本讲稿共19页772 2 时间最优控制问题时间最优控制问题 最优时间的计算步骤：1)根据初始状态的位置确定 的取值。2)将 代入状态方程求出状态轨线。3)计算状态轨线与开关曲线的交点，并计算从
4、初始状态到交点处的时间。4)计算从状态轨线与开关曲线的交点，到座标原点的时间。5)将两段时间加起来就是总的最优控制时间。第12页，本讲稿共19页第八章第八章 线性二次型最优控制问题线性二次型最优控制问题 一一.线性二次型最优控制问题的数学描述线性二次型最优控制问题的数学描述 问题LQ：给定线性定常系统：寻找最优控制 ，使得系统由指定初始状态 出发的运动，导致如下二次型性能指标 取得极小值。其中，为终端时间，S、Q为nn阶半正定对称权矩阵；R为rr阶对称权矩阵。目标函数的物理意义：应用最小的控制能量使得系统在指定时间区间内的状态与平衡状态的偏差最小。第一项，强调了终端时刻与平衡状态的偏差最小；第
5、13页，本讲稿共19页第八章第八章 线性二次型最优控制问题线性二次型最优控制问题 第二项 希望系统的整个运动轨迹与平衡状态的偏差最小；第三项 表明希望控制能量最小；线性二次型最优控制系统的分类：1.当终端时刻是固定的且为有限值时，称为有限时间线性二次型最优控制问题；2.当终端时刻 ，称为无限时间线性二次型最优控制问题；此时 3.当寻找最优控制的目的是将系统由初始状态驱动到平衡状态，同时使二次型性能指标最小，称为线性二次型最优调节问题；第14页，本讲稿共19页第八章第八章 线性二次型最优控制问题线性二次型最优控制问题 4.当寻找最优控制的目的是使系统的输出跟踪已知或未知的参考信号，同时使二次型性
6、能指标最小，称为线性二次型最优跟踪问题；有限时间问题与无限时间问题，对控制及控制系统的要求有着显著的不同；而跟踪问题则可以看作是调节问题的一种推广。二二.有限时间有限时间LQLQ调节问题调节问题 1结论：对于有限时间LQ调节问题，为具有最优控制的充要条件是其具有如下形式：最优轨迹 为下述状态方程的解：而最优性能值为：第15页，本讲稿共19页第八章第八章 线性二次型最优控制问题线性二次型最优控制问题 其中，为下述黎卡提微分方程的半正定对称解阵：第16页，本讲稿共19页第八章第八章 线性二次型最优控制问题线性二次型最优控制问题 2.2.有时限线性二次型最优调节器的设计步骤(1).根据工程经验和性能
7、分析，确定权矩阵S，Q，R；步骤(2).求解黎卡提方程(3).计算反馈增益阵 及最优控制(4).计算最优状态轨迹(5).计算最优目标函数值 第17页，本讲稿共19页第八章第八章 线性二次型最优控制问题线性二次型最优控制问题 三.无限时间LQ调节问题 1结论：对于无限时间LQ调节问题，为具有最优控制的充要条件是其具有如下形式：最优轨迹 为下述状态方程的解：而最优性能值为：其中，为下述黎卡提代数方程的正定对称解阵：第18页，本讲稿共19页第八章第八章 线性二次型最优控制问题线性二次型最优控制问题 2.无时限线性二次型最优调节器的设计步骤(1).根据工程经验和性能分析，确定权矩阵S，Q，R；步骤(2).求解黎卡提方程(3).计算反馈增益阵 及最优控制(4).计算最优状态轨迹(5).计算最优目标函数值 第19页，本讲稿共19页