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1、14.2 14.2 乘法公式乘法公式14.2.1 14.2.1 平方差公式平方差公式 人教版人教版 数學数學 八年级八年级 上册上册 某同學在计算某同學在计算97103时将其变成时将其变成(1003)(100+3)并很快得出结果并很快得出结果,你知道他运用了什么知识吗你知道他运用了什么知识吗?这节課这节課,我们就来一起探讨上述计算规律我们就来一起探讨上述计算规律.导入新知导入新知观察与思考观察与思考1.掌握掌握平方差公式平方差公式推导及应用推导及应用.2.了解平方差公式几何意义了解平方差公式几何意义,体会体会数形结数形结合合思想方法思想方法.素养目标素养目标多项式与多项式是如何相乘多项式与多项
2、式是如何相乘?(x 3)(x5)=x25x 3x 15=x28x15.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn探究新知探究新知知识点平方差公式平方差公式面积变了吗面积变了吗?a米米5米米5米米a米米(a5)米米相等吗相等吗?探究新知探究新知(x 1)(x1);(m 2)(m2);(2m 1)(2m1);(5y z)(5yz).计算下列多项式积计算下列多项式积,你能发现什么规律你能发现什么规律?做一做做一做探究新知探究新知x2 12m222(2m)2 12(5y)2 z2 这些计算结果有什么特点这些计算结果有什么特点?想一想想一想(a+b)(ab)=a2b2两数两数和和与这两数与这两数差差积
3、积,等于等于这两个数这两个数平方差平方差.u公式变形公式变形:1.(a b)(a+b)=a2 b22.(b+a)(b+a)=a2 b2探究新知探究新知平方差公式平方差公式注注:这里两数可以是两个这里两数可以是两个单项式单项式单项式单项式也可以是两个也可以是两个多项式多项式多项式多项式等等 (a+b)(ab)=(a)2(b)2 相同为相同为a 相反为相反为b,b适当交换适当交换合理加括号合理加括号探究新知探究新知平方差公式平方差公式1.公式中公式中a和和b,既可以是既可以是具体数具体数,也可以是也可以是单项单项 式或者多项式式或者多项式;2.左边是两个二项式积左边是两个二项式积,并且有一项完全并
4、且有一项完全相同相同,另另 一项互为一项互为相反数相反数;3.右边是相同项平方右边是相同项平方减去减去相反项绝对值平方相反项绝对值平方.(a+b)(a b)=a2 b2.温馨提示温馨提示探究新知探究新知(1+x)(1x)(3+a)(3a)(0.3x1)(1+0.3x)(1+a)(1+a)aba2b21x3a12x2(3)2a2a1a212 0.3x1(0.3x)212(ab)(a+b)填一填填一填探究新知探究新知口答下列各题口答下列各题:(1)(a+b)(a+b)=_.(2)(ab)(b+a)=_.(3)(ab)(a+b)=_.(4)(ab)(ab)=_.a2b2a2b2b2a2b2a2做一做
5、做一做探究新知探究新知例例1 计算计算:(1)(3x2)(3x2);(2)(x+2y)(x2y).(2)原式原式=(x)2 (2y)2=x2 4y2.解解:(1)原式原式=(3x)222=9x24;素素养养考考点点 1利用平方差公式计算利用平方差公式计算易错警示易错警示:当相同项带有当相同项带有“负号负号”时时,必须用必须用括号括起来括号括起来.探究新知探究新知 利用平方差公式计算利用平方差公式计算:(1)(3x5)(3x5);(2)(2ab)(b2a);(3)(7m8n)(8n7m)解解:(1)原式原式=(3x)2529x225;(2)原式原式=(2a)2b24a2b2;(3)原式原式=(7
6、m)2(8n)249m264n2;巩固练习巩固练习例例2 计算计算:(1)10298;(2)(y+2)(y2)(y1)(y+5).=100222解解:(1)10298=10000 4=(1002)(1002)=9996;=y24y24y+5(2)(y+2)(y2)(y1)(y+5)=y222(y2+4y5)=4y+1.通过合理变形通过合理变形,利用平方差公式利用平方差公式,可可以简化运算以简化运算.不符合平方差公式运不符合平方差公式运算条件乘法算条件乘法,按乘法法则进按乘法法则进行运算行运算.素素养养考考点点 2利用平方差公式简便运算利用平方差公式简便运算探究新知探究新知(1)5149;(2)
7、(3x+4)(3x4)(2x+3)(3x2).解解:(1)原式原式=(501)(501)=50212=2500 1=2499;(2)原式原式=(3x)242(6x2+5x6)=9x2166x25x+6=3x25x10.巩固练习巩固练习 计算计算:例例3 先化简先化简,再求值再求值:(2xy)(y2x)(2yx)(2yx),其中其中x1,y2.解解:原式原式4x2y2(4y2x2)原式原式51252215.4x2y24y2x25x25y2.当当x1,y2时时,素素养养考考点点 3利用平方差公式进行化简求值利用平方差公式进行化简求值探究新知探究新知先化简先化简,再求值再求值:(3x)(3+x)+(
8、x+1)(x1),其中其中x=2.巩固练习巩固练习解解:(3x)(3+x)+2(x+1)(x1)=9x2+2(x21)=9x2+2x22 =7+x2 当当x=2时时,原式原式=7+22=7+4=11例例4 对于任意正整数对于任意正整数n,整式整式(3n1)(3n1)(3n)(3n)值一值一定是定是10整数倍吗整数倍吗?即即(3n1)(3n1)(3n)(3n)值是值是10倍数倍数解解:原式原式9n21(9n2)10n210.(10n210)10=n21.n为正整数为正整数,n21为整数为整数素素养养考考点点 4利用平方差公式进行证明利用平方差公式进行证明探究新知探究新知 对于平方差中对于平方差中
9、a和和b可以是具体数可以是具体数,也可也可以是单项式或多项式以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数在探究整除性或倍数问题时问题时,一般先将一般先将代数式化为最简代数式化为最简,然后根据然后根据结果特征结果特征,判断其是否具有整除性或倍数关判断其是否具有整除性或倍数关系系 归纳总结归纳总结探究新知探究新知巩固练习巩固练习 如果两个连续奇数分别是如果两个连续奇数分别是2n1,2n+1(其中其中n为正整为正整数数),),证明两个连续奇数平方差是证明两个连续奇数平方差是8倍数倍数.证明证明:(2n+1)2(2n1)2 =(2n+1)+(2n1)(2n+1)(2n1)=(2n+1+2n1)(2n+12n
10、+1)=4n2 =8n 因为因为8n是是8倍数倍数,所以结论成立所以结论成立.例例5 王大伯家把一块边长为王大伯家把一块边长为a米正方形土地租给了邻居李米正方形土地租给了邻居李大妈今年王大伯对李大妈说大妈今年王大伯对李大妈说:“我把这块地一边减少我把这块地一边减少4米米,另外一边增加另外一边增加4米米,继续租给你继续租给你,你看如何你看如何?”李大妈一听李大妈一听,就就答应了你认为李大妈吃亏了吗答应了你认为李大妈吃亏了吗?为什么为什么?a2a216,解解:李大妈吃亏了李大妈吃亏了理由理由:原正方形面积为原正方形面积为a2,改变边长后面积为改变边长后面积为(a4)(a4)a216,李大妈吃亏了李
11、大妈吃亏了素素养养考考点点 5利用平方差公式解决实际问题利用平方差公式解决实际问题探究新知探究新知 解决实际问题关键是根据题意解决实际问题关键是根据题意列列出算式出算式,然后根据然后根据公式化简算式公式化简算式,解决解决问题问题 归纳总结归纳总结探究新知探究新知如图如图1,在边长为在边长为a正方形中挖掉一个边长为正方形中挖掉一个边长为b正方形正方形(ab),把余下部分剪成一个矩形把余下部分剪成一个矩形(如图如图2).).通过计算两通过计算两个图形个图形(阴影部分阴影部分)面积面积,验证了一个等式验证了一个等式,这个等式是这个等式是()()A.a2b2=(a+b)(ab)B.(a+b)2=a2+
12、2ab+b2C.(ab)2=a22ab+b2D.(a+2b)(ab)=a2+ab2b2ba图图1ba图图2巩固练习巩固练习A1.化简化简(x1)(x+1)结果是结果是 2.某同某同學學化简化简a(a+2b)(a+b)(ab)出现了错误出现了错误,解答过程如下解答过程如下:原式原式=a2+2ab(a2b2)(第一步第一步)=a2+2aba2b2(第二步第二步)=2abb2(第三步第三步)(1)该同该同學學解答过程从第解答过程从第步开始出错步开始出错,错误原因是错误原因是 ;(2)写出此题正确解答过程写出此题正确解答过程 原式原式=a2+2ab(a2b2)=a2+2aba2+b2=2ab+b2x2
13、1二二去括号时没有变号去括号时没有变号连接中考连接中考1.下列运算中下列运算中,可用平方差公式计算是可用平方差公式计算是()A(xy)(xy)B(xy)(xy)C(xy)(yx)D(xy)(xy)C2.计算计算(2x+1)(2x1)等于等于()A4x21 B2x21 C4x1 D4x2+1 A3.两个正方形边长之和为两个正方形边长之和为5,边长之差为边长之差为2,那么用较大正方形面那么用较大正方形面积减去较小正方形面积积减去较小正方形面积,差是差是_10基基 础础 巩巩 固固 题题課堂检测課堂检测(1)(a+3b)(a 3b);=4a29;=4x4y2.原式原式=(2a+3)(2a3)=a29
14、b2;=(2a)232 原式原式=(2x2)2y2 原式原式=(a)2(3b)2(2)(3+2a)(3+2a);(3)(2x2y)(2x2+y).4.利用平方差公式计算利用平方差公式计算:課堂检测課堂检测解解:解解:解解:5.计算计算:20152 20142016.解解:20152 20142016=20152 (20151)(2015+1)=20152(2015212)=20152 20152+12=1課堂检测課堂检测6.利用平方差公式计算利用平方差公式计算:(1)(a2)(a+2)(a2+4)解解:原式原式=(a24)(a2+4)=a416.(2)(xy)(x+y)(x2+y2)(x4+y
15、4).解解:原式原式=(x2y2)(x2+y2)(x4+y4)=(x4y4)(x4+y4)=x8y8.課堂检测課堂检测先化简先化简,再求值再求值:(x+1)(x1)+x2(1x)+x3,其中其中x2.解解:原式原式=x21x2x3x3=2x21.将将x2代入上式代入上式,原式原式=2221=7.能能 力力 提提 升升 题题課堂检测課堂检测已知已知x1,计算计算:(1x)(1x)1x2,(1x)(1xx2)1x3,(1x)(1xx2x3)1x4(1)观察以上各式并猜想观察以上各式并猜想:(1x)(1xx2xn)_;(n为正为正整数整数)(2)根据你猜想计算根据你猜想计算:(12)(1222232
16、425)_;222232n_(n为正整数为正整数);(x1)(x99x98x97x2x1)_;1xn+1632n12x1001拓拓 广广 探探 索索 题题課堂检测課堂检测平方差平方差公式公式内容内容注意注意两个数两个数和和与这两个数与这两个数差积差积,等于这两个等于这两个数数平方差平方差.1.符号表示符号表示:(a+b)(ab)=a2b22.紧紧抓住紧紧抓住“一同一反一同一反”这一特征这一特征,在应在应用时用时,只有两个二项式积只有两个二项式积才有可能应用平才有可能应用平方差公式方差公式;对于不能直接应用公式对于不能直接应用公式,可能可能要经过要经过变形变形才可以应用才可以应用.課堂小结課堂小结課后作业課后作业作业内容教材作业从課后习题中选取从課后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习七彩課堂七彩課堂 伴你成长伴你成长